Zmn-1296 薛问天: 数学中的符号有严格规定，己有定义就不能随意再作它用。评师教民《1292》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1292》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

数学中的符号有严格规定，己有定义就不能

随意再作它用。评师教民《1292》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1 ，所谓【其实就那么两下子】

1)，所谓【空喊口号，不说理由．】

①，师先生说【薛问天先生在其文章 1287 的 1 中①里说：“用 β=o(α) 来表示无穷小 β 是比无穷小α 高阶的无穷小，…对这里的等号…．严格地用集合论语言来说应是属于(∈)的意思．…这个等号(=)不满足传递律就对了…．”薛问天先生只是喊了【β=o(α)】中的【=】【应是属于(∈)的意思】，【这个等号(=)不满足传递律】的口号，没有说明【这个等号(=)不满足传递律】的理由，没有说明【β=o(α)】中的【=】【应是属于(∈)的意思】的理由． 】

不是我没有说理由，而是师先生没动脑子，我已说过多次，这里等于(=)应是属于(∈)的的理由．就是对于任何无穷小α，所有滿足β/α→0，即记作β=o(α) 的β不止一个，它构成一个集合。师先生，你动动脑子，说说你的观点，你同意还是反对？

②，师先生说【我虽然没有问〖我不知为什么【o(Δx) 表示的高阶无穷小】不能用【表示高阶无穷小的符号 o(Δx) 表示】〗，但是我确实不知道〖为什么【o(Δx) 表示的高阶无穷小】不能用【表示高阶无穷小的符号 o(Δx) 表示】〗．我不知道那句话的原因是：薛问天先生说的那句话确实不是人话，我又没有研究过鸟语、兽语，所以我不知道那句话就成了理所当然的事情了．】

师先生竟然不知道，无穷小是极限为0的函数，因而任何一个无穷小都必须用它的函数表示来表示，o(Δx)不是函数表示，o(Δx)表示的高阶无穷小当然不能用不是函数表示，而是表明它是高阶无穷小的符号o(Δx)来表示。这就是【为什么【o(Δx) 表示的高阶无穷小】不能用【表示高阶无穷小的符号 o(Δx) 表示】】的理由。

就如同张三是北京人，只能用张三这个姓名来表示这个人，而不能用【是北京人】来表示这个人是一样的。师先生说他听不懂人说的话，竟然认为这是【不是人说的话】。

2)，所谓【编造观点，强加于人．】

师先生说【薛问天先生与我讨论的正题是，极限理论的微分定义的前提式 Δy=AΔx+o(Δx)，薛问天先生放下该正题 Δy=AΔx+o(Δx) 不敢讨论，而去编造一个非正题的 Δy=AΔx+β(Δx) 强加给极限理论和我来讨论，】

师先生说出此话，说明师先生就没有弄懂什么是高阶无穷小o(α)这个概念。只要谈到o(α)，就应知道有无穷小β=o(α)，它是比无穷小α高阶的无穷小。因而极限理论中的 Δy=AΔx+o(Δx)的意思，就是有无穷小β(Δx)，使Δy=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o(Δx)。师先生连这都不懂说什么是【编造一个不应该讨论的问题】，确实需要再去学学高阶无穷小的定义。师先生，你说Δy=AΔx+o(Δx)中的o(Δx)是什么意思，不正是有一个比无穷小α高阶的无穷小β(Δx)，使Δy=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o(Δx)吗。你还能做出其它什么另外的解释？

2 ，关于高阶无穷小的定义中的【记作 β=o(α)】。

①，师先生说【选择字母：α≠0 为低阶无穷小，β 为高阶无穷小，o 为高阶无 穷小的符号，然后说：“α≠0 及 β 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，并且 lim 是在这个变化过程中的极限．定义：如果 lim（β/α）=0，就说 β 是比α 高阶的无穷小，记作 β=o(α)．”】

《高等数学》教材在定义【高阶无穷小】时是这样说的：“α 及 β 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 α≠0，而 lim 也是在这个变化过程中的极限．定义：如果 lim(β/α)= 0，就说 β 是比α 高阶的无穷小，记作 β=o(α)”．

请师先生注意，不要说【α≠0】是无穷小，无穷小是【α】不是【α≠0】。α≠0是个不等式，是对无穷小的限制和约束。在教材中说得很清楚【α 及 β 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 α≠0，】而且我们对α≠0的含义如何理解，作了正确详细的解释。既然α 及 β 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，假定这个自变量是Δx→0。自然这个α 及 β可以写为函数式α=α(Δx)及 β=β(Δx)，而且这个α≠0只要求在Δx≠0时，函数α(Δx)≠0。对于Δx=0时，没有规定不允许α(0)=0。

另外在定义之前只能说α和β是无穷小，不能说α是【低阶无穷小】，说β是【高阶无穷小】。定义中有limβ/α=0这个条件，只有在【然后说】的这个条件满足时，才能称α是【低阶无穷小】，β是【高阶无穷小】。对此条件尚不知是否满足的α和β，不能这样称呼。

②，师先生说【假如同济名著选择字母：Δx≠0 为低阶无穷小，β 为高阶无穷小，o 为高阶无穷小的符号，说：“Δx≠0 及 β 是在同一个 自变量的变化过程中的无穷小，并且 lim(是在这个变化过程)中的极限．定义：如果 lim β/Δx = 0，就说 β 是比Δx 高阶的无穷小，记作 β=o(Δx)．”请问薛问天先生，你敢说该定义错误吗？】

我早已说清，如果你是把Δx作为一个特殊函数表示的无穷小，这句话基本上没有错(当然对我在①中所说的错误要作适当政正)，但是它是定义对一个特殊的具体的无穷小的应用，只是在说β是比这个具体的无穷小α(Δx)=Δx高阶的无穷小，把它认为是高阶无穷小的一般定义，就是错误的。原因很简单，Δx在数学上表示的是变量x的增量，是个已有定义的具体的变量，不能用来作为表示任意无穷小量的符号。

③，师先生说【假如同济名著选择字母：Δx≠0 为低阶无穷小，β 为高阶无穷小，β 为高阶无穷小的符号，说：“Δx≠0 及 β 是在同一个 自变量的变化过程中的无穷小，并且lim (是在这个变化过程)中的极限．定义：如果 lim β/Δx =0，就说 β 是比Δx 高阶的无穷小，记作 β=β(Δx)．”请问薛问天先生，你敢说该定义错误吗？ 】

这个语句当然是错误的。刚才己说过在定义之前只能说β是无穷小，不能说β是【高阶无穷小】。定义中有limβ/α=0这个条件，只有在【然后说】的这个条件满足时，才能称β是【高阶无穷小】。因而β=β(Δx)中的这个β(Δx)是己有定义的无穷小的函数符号。既使limβ/α=0这个条件不满足，也有β=β(Δx)成立。另外，不能在定义中再把它定义为【高阶无穷小的符号】。人人皆知定义中【高阶无穷小的符号】是o，不是己有定义的β。这个语句犯有乱用符号的错误。

④，师先生说【假如同济名著选择字是：Δx≠0 为低阶无穷小，β(Δx)为高阶无穷小，o 为高阶无穷小的符号，说：“Δx≠0 及 β(Δx) 是同一个自变量的变化过程中的无穷小，并且 lim(是在这)个变化过程中的极限．定义：如果 lim β(Δx) /Δx=0，就说 β(Δx) 是比Δx 高阶的无穷小，记作 β(Δx)=o(Δx)．”请问薛问天先生，你敢说该定义错误吗？ 】

这个④同②同样，我早已说清，如果你是把Δx作为一个特殊函数表示的无穷小，这句话基本上没有错，但是它是定义对一个特殊的具体的无穷小的应用，只是在说β(Δx)是比这个具体的无穷小α(Δx)=Δx高阶的无穷小，把它认为是高阶无穷小的一般定义，就是错误的。原因很简单，Δx在数学上表示的是变量x的增量，是个已有定义的具体的变量，不能用来作为任意无穷小量的符号。

⑤，师先生说【假如同济名著选择字母：Δx≠0 为低阶无穷小，β(Δx)为高阶无穷小，β 为高阶无穷小的符号，说：“Δx≠0 及 β(Δx) 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，并且 lim(是在这)个变化过程中的极限．定义：如果 limβ(Δx)/Δx=0，就说 β(Δx) 是比Δx 高阶的无穷小，记作 β(Δx)=β(Δx)．”请问薛问天先生，你敢说该定义错误吗？】

这个⑤同③一样，β(Δx)=β(Δx)中的这个β(Δx)是己有定义的无穷小的函数符号。不能在定义中再定义为【高阶无穷小的符号】。人人皆知定义中【高阶无穷小的符号】是o，不是己有定义的β。这个语句犯有乱用符号的错误。

关键错误就是没有认清数学中的符号是有严格规定的。己经有了定义的符号，就不能再来随意在定义中应用。不是像师先生所说的那样【不断地更换字母或者其他符号，想定义几条，就能定义出几条来．】这样就犯了乱用符号的作用。

⑥，师先生说【假如同济名著选择字母：h≠0 为低阶无穷小，k 为高阶无穷小，j 为高阶无穷小的符号，说：“h≠0 及 k 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，并且 lim(是在这个变化过程中的极限)．定义：如果极限 lim k/h=0，就说 k 是比 h 高阶的无穷小，记作 k=j(h)．”请问薛问天先生，你敢说该定义错误吗？】

当然，如果这里的k.h.j是未曾用作其它定义的符号，在文字上把我上述指出的错误改正过来，不用h≠0作为无穷小，而是用h作为无穷小，前面不说【h为低阶无穷小，k 为高阶无穷小，】而只说【h，k 为无穷小，】这个说法並无错误，基本上是正确的。关键是这里的k.h.j是未曾用作其它定义的符号。

⑦，师先生说【在中国没有字母，所以只能用汉字．假如同济名著选择 汉字：鸡≠0 为低阶无穷小，鸭为高阶无穷小，鹅为高阶无穷小。(lim)是在这个变化过程中的极限的符号，说：“鸡≠0 和鸭是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，并且 lim鸡/鸭是在这个变化过程中的极限．定义：如果极限=0，就说鸭是比鸡高阶的无穷小，记作鸭=鹅(鸡)．”请问薛问天先生，你敢说该定义错误吗？ 】

师先生，我可以告你，没有人会接受你这样的【垃圾数学】，你所说的【鸭是比鸡高阶的无穷小，记作鸭=鹅(鸡)．】只有你和你的同类才会接受。我们认为这是【垃圾数学】。认为【在中国没有字母，所以只能用汉字．】因而限制数学中只能用汉字而不能用其它字母和符号，这是严重的错误观念。现代数学仅用汉字是不够的，必须引入一定数量的数学符号和其它字母。我们称为用这种落后观念建立的所谓数学，为落后的要抛棄的【垃圾数学】。没有人会同意这样的观念。

综上所述②③④⑤这四条，师先生的错误的关键，在于他没有认识到数学中的符号是有严格规定的。己经有了定义的符号，就不能再来随意在定义中应用。不是像师先生所说的那样【不断地更换字母或者其他符号，想定义几条，就能定义出几条来．】这样就犯了乱用符号的作用。

例如，②和④中的Δx己定义作为x的增量，就不能再定义为任意无穷小的符号。③和⑤中的β己定义为无穷小函数的符号，就不能再定义为高阶无穷小的符号。

师先生说【薛问天先生使用了上述以字母 β，Δx，o 组成的第 2 条定义，那么以字母 β，α，o 组成的 第 1 条定义就不复存在了，因为第 1 条不复存在了，所以第 1 条 选择的字母 β，α，o 就不复存在了，从而就无 α 了，薛问天先生还要弄出个 α(Δx)=Δx 就错了，就是在眷恋 β=o(α) 的定义了．】

师先生说这段话，说明他没有认识到这个道理。在作高阶无穷小的定义时。α，β，o是末曾有其它定义的符号，所以可以用α，β来作为表示两个任意无穷小的符号，用0为表示是高阶无穷小的符号。当然，如果由你来进行定义，你也可以选择另外的符号 ，例如你提出的⑥，选h，k 作为任意无穷小符号，选j作为是高阶无穷小的符号，这个说法並无错误，是正确地表达了一个高阶无穷小的等价定义。关键是这里的k.h.j是未曾用作其它定义的符号。

为什么在②④中选Δx就不对了呢？这是因为Δx是己有明确定义的符号，Δx有明确的含义，它是函数自变量x的增量，它可以表示b=1 ，a=0的线性函数α=bΔx+a所表示的无穷小，即α=Δx。即它表示的是高阶无穷小的一个具体的应用，而不是等价的定义了。

3 ，关于师先生所说的几条错误的辩解。

1)，师先生说【在我上述的以字母 β，Δx，β 组成第 3 条高阶无穷小的定义 β=β(Δx)中，已经没有了字母 α 和 o，因此就不能使用以字母 β，α，o 组成的第 1 条高阶无穷小的定义 β=o(α)了，薛问天先生在他的文章 Zmn-1287 中又弄出个 α(Δx)=Δx，β=o(Δx) 来解释第 3 条高阶无穷小的定义 β=β(Δx) 当然就错了．】

③和⑤中的β己定义为无穷小函数的符号，既使limβ/Δx=0的条件不满足，都有β=β(Δx) 。当然就不能再将β定义为高阶无穷小的符号，这在逻辑上是混乱的。

2)，师先生说【薛问天先生在他的文章Zmn-1287 的 4 中 1)里的第 2 段内说：“我没有说 o(Δx) 它代表的高阶无穷小不是Δx 的函数…．” 其中的【o(Δx) 它代表的高阶无穷小】是 β 还是 o(Δx)？高阶无穷小 o(Δx) 还代表不了自己吗？ 】

师先生要注意，每个满足β=o(Δx)的无穷小β，都是确定的无穷小，都有它的唯一确定的函数表示β=β(Δx)。但所有满足β=o(Δx)的无穷小β，不止一个。是个集合，因而o(Δx)代表的是所有比α=Δx这个无穷小的高阶的无穷小β。o(Δx)表示不出每个β的函数表示。类似的，每个北京人都是确定的人。都有他唯一确定的姓名来表示，但所有的北京人不止一个，是个集合。【是北京人】表示不出来它代表的人的姓名。

3)，师先生说【薛问天先生在他的文章Zmn-1287 的 4 中 1)里的第 2 段内接着说：“表达式 o(Δx) 的含义，不是在说它代表的是【Δx 的函数】．要注意这个高阶无穷小确实是Δx 的函数…．” 其中的【这个高阶无穷小】是 β 还是 o(Δx)？这个高阶无穷小还代表不了自己吗？】

每个满足β=o(Δx)的无穷小β，都是确定的无穷小，都有它的唯一确定的函数表示β=β(Δx)。但所有满足β=o(Δx)的无穷小β，不止一个。是个集合，因而o(Δx)代表的是所有比α=Δx这个无穷小的高阶的无穷小β。o(Δx)表示不出每个β的函数表示。

4)，师先生说【薛问天先生在他的文章Zmn-1287 的 4 中 2)里的第 2 段内说：“只有师先生喜欢讨论什么【名总统和宠物狗的】问题，我薛某对此类同我们讨论的数学问题无关的问题亳无兴趣，所以，对此类谈论我一直是漠不关心置之不理，指放在一边不予理睬，看都不看，当然不会回复．” 薛问天先生说的：“一直漠不关心置之不理，指放在一边不予理睬，看都不看，当然不会回复”是句瞎话．理由为：如果不是瞎话，那么薛问天先生就不会知道【此类问题同我们讨论的数学问题无关】．其实，此问题同我们讨论的数学问题有关，它揭示出薛问天先生把数学问题【函数 y=f (x) 的自变量 x 的增量 Δx 的自身的含义与该增量 Δx 在 β(Δx) 和 o(Δx) 中扮演的角色】相混淆的错误．所以，薛问天先生说的“亳无兴趣、漠不关心、置之不理、放在一边、不予理睬、看都不看、不会回复”，只不过是薛问天先生为了掩盖自己的错误而扯来的遮羞布而已．】

我还要再次重申，师先生喜欢讨论什么【名总统和宠物狗的】问题，这是你的隐私。我薛某对此类同我们讨论的数学问题无关的问题亳无兴趣，所以，对此类谈论我一直是漠不关心置之不理，指放在一边不予理睬，看都不看。

师先生的错误在于他没有认识到，同一个数学概念，在不同的地方可以具有不同的含义和作用。函数 y=f (x) 的自变量 x 的增量 Δx，在 β(Δx) 中表示函数的自变量，在 o(Δx) 表示的是一个特殊的无穷小α=Δx。师先生要提高对数学含义的正确认识。

5)，师先生说【薛问天先生在其文章 Zmn-1276 的一中 1)里说：“o(Δx) 中的 o 不是函数符号，这个Δx 也不是【函数 o】的自变量．”既然式子 o(Δx) 中的 o 不是函数符号，Δx 也不是 o 的自变量，那么 薛问天先生说的 o 就不是函数了，因此就没有【函数 o】了，薛问天先生在没有【函数 o】的条件下说【函数 o】当然就错误了． 】

这就叫师先生不动脑子。师先生说Δx是函数的自变量，就犯了说Δx是不存在的【函数o】的自变量的错误。我说的“o(Δx) 中的 o 不是函数符号，这个Δx 也不是【函数 o】的自变量．”当然说的就是这个Δx 不是不存在的【函数 o】的自变量。这里一点错误都没有。错在师先生把自变量取值为0时o(Δx)所代表的的高阶无穷小的函数值写成o(0)。是师先生错把o(Δx)中的o认为是函数符号，错把这个Δx认为是函数的自变量。

6)，师先生说【我的论文 Zmn-1283 的 1 中③和本文 2 中③里说了第 3 条高阶无穷小的定义，薛问天先生在其文章 Zmn-1287 的 1 中③里 说：“β=β(Δx) 的意思只是说 β 是以 Δx 为自变量的函数表示的无穷小，这个 β 是函数符号． 请问薛问天先生，【意思只是说 β】中的 β 是 β=β(Δx)中的哪个 β？【这个 β 是函数符号】中的 β 是 β=β(Δx)中的哪个 β？薛 问天先生说的【β=β(Δx)】与我说的【β=β(Δx)】有何不同？】

请师先生再看㸔你在③中是怎么说的，你在③中说【定义：如果 lim β/Δx =0，就说 β 是比Δx 高阶的无穷小，记作 β=β(Δx)．】你是把定义中的【β是比Δx 高阶的无穷小，记作 β=o(Δx)．】改写为β=β(Δx)。当然不是我所指的原本定义里所说的【β=β(Δx) 的意思只是说 β 是以 Δx 为自变量的函数表示的无穷小，】这里的β和0(Δx)是两个完全不同的概念，师先生的错误就是把两者混为一谈了。陷入了逻辑的混乱。o应选择不同于α和β的另一符号。就如同你在⑥中的符号j不应等于h和k是一个道理理。师先生你首先需要把你的逻辑清理一下，再进行讨论。

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