Zmn-1312 薛问天: 我们所说的【允许Δx=0】，是对无穷小函数α(Δx)的要求。评师教民《1310》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1310》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

我们所说的【允许Δx=0】，是对无穷小

函数α(Δx)的要求。评师教民《1310》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，是错误就应该承认並改正。

1)，师先生说『我在任何时候、任何文章中都没有承认：由于我的疏忽，没有看见你薛问天先生对我的论文《1284》的评论．】

你没有承认是不对的，你必须承认这是你犯的错误，要知道这是事实。你认为薛问天先生没有对你的《1284》发表评论，而事实上这是你师教民犯的认识上的错误。薛问天事实上是发布了这个评论 。

不要再为此错误作辩解了，你所说的【下载后的 1284 不显示跟帖，】正说明你的无知，这种下载方法不对，根本不是【再正常不过的事情】。正说明〖一个计算机专业的教授，竟然不知道要用浏览器去查看科学网的网页．竟然不知道可以进行文后的评论．这一切都说明，明明是由于个人的无知和疏忽，没有看到别人的评论，却错误地认为别人没有评论，还明目张胆地不肯承认自己的错误．〗

2)，在科学网上讨论和评论问题，长的论述写成文章，短点的评论就直接写在文后。师先生竟然不知道除了发文评论外，还可以进行文后的评论。要知道，这是习以为常的基本常识，不知道这个常识的人真是少見。

师先生竟然发出这样的问题【我问的问题是：为什么 3 篇文章中的 2 篇以及以前的几十甚至上百篇文章都是以与我对决的形式发表、唯独评论我的论文 1284 时采用跟帖的形式?】太可笑了，我在《专栏》中发布过多少评论，其中长点的用文章，短点的用文后的跟帖，师先生竟然不知，还要问为什么用文章为什么用跟帖。你没看看你的《1284》短的只有不到一页，我的评论也很短，当然可以用文后的跟帖来评论，连这点常识都不知，还在这里【笨头笨脑】地发问，还说【就是韦神来了也想不到】。问这样的问题简直是毫无意义！

2 ，师先生说【在求极限时：我认为【绝对不允许 Δx=0】；薛问天先生认为【可以有 Δx=0，而只是不涉及Δx=0】。

判断谁对谁错，要把话说全。关键是这个【允许】还是【不允许】 Δx=0，是对什么函数来说的。我们是在说当Δx→0时函数f(Δx)的极限是A，即f(Δx)→A。此时师教民认为【函数f(Δx)绝对不允许 Δx=0】，显然是错误的。薛认为〖函数f(Δx)可以允许 Δx=0〗是正确的。因为f(Δx)→A，在求极限时〖未涉及Δx=0〗，即未涉及f(0)，因而对于f(Δx)→A成立的函数f(Δx)，f(0)可以有定义(允许 Δx=0)，f(0)也可以没有定义(不允许 Δx=0)。这里的求极限时【未涉及Δx=0】，不是口号，就是理由。极限f(Δx)→A成立根本就不涉及函数f(Δx)在Δx=0点的值，即求极限时没有用到f(0)，所以极限f(Δx)→A成立根本就不涉及函数f(Δx)在Δx=0点的值是否有定义。f(0)可以有定义也可以无定义。因而不是【函数f(Δx)绝对不允许 Δx=0】，而是〖函数f(Δx)可以允许 Δx=0〗。

师先生说【我在上篇论文 Zmn-1308 以及以前的论文中早已说过：在求极限时，【绝对不允许 Δx=0】；在连续函数中，【允许 Δx=0，允许极限值等于函数值】；在间断函数中，【绝对不允许Δx=0】．】

第二句话【在连续函数中，【允许 Δx=0，允许极限值等于函数值】；】是正确的。这说明，我前面己评论过，第一句话【在求极限时，绝对不允许 Δx=0】，如果认为是函数f(Δx)绝对不允许 Δx=0，则是错误的，因为函数f(Δx)是有可能允许 Δx=0的。例如对连续函数f(Δx)，就明确允许Δx=0。第三句话【在间断函数中，绝对不允许Δx=0．】这说得不对。间断函数有两种情况，一种情况是f(0)没有定义，还有一种情况是f(0)有定义，但f(0)不等于极限值。

师先生接着说【薛问天先生与我讨论的是求间断函数的极限，所以就只涉及【绝 对不允许 Δx=0】，根本就涉及不到【可以有 Δx=0，而只是不涉及 Δx=0】了，】

这就是师先生的认识错误。我们讨论的是高阶无穷小的定义，讨论的是两个无穷小β(Δx)和α(Δx)，这两个函数是否可以允许Δx=0的问题。根本就没有讨论什么【间断函数的极限】。所讨论的极限lim[Δx→0]β(Δx)/α(Δx)未涉及Δx=0。这里对函数β(Δx)/α(Δx)的极限的讨论也只限于Δx≠0的变域。根本不涉及这个求极限的函数是否是连续还是间断函数的问题。所以师先生说【讨论的是求间断函数的极限】完全是错误的无中生有多此一举的论断。所讨论的极限lim[Δx→0]β(Δx)/α(Δx)未涉及Δx=0。从未对函数α(Δx)提出过【不允许Δx=0】的要求。

3 ，师教民先生在他的文中进行过乱七八糟的妙想天开的胡乱【推导】．这样的胡乱【推导】简直是在胡说八道，是严重的错误。这次师教民还在为其狡辩。

我们来看看师教民先生的胡说八道。师先生说【把薛问天先生说的【Δx=0】代入薛问天先生说的 【β(Δx)=o[α(Δx)]】，就得出 β(0)=o[α(0)]=o(0)，而符号 o(0)是比 0 更高阶的无穷小量，可是，比 0 更高阶的无穷小量的概念是不存在的．所以，按照薛问天先生的逻辑，就推导出不存在的概念 o(0)来．】

这就是师教民的胡说八道。我说的允许函数β(Δx)和α(Δx)中的Δx=0，代入后其函数值是β(0)和α(0)。这当然没有问题。但是你根据什么说【把薛问天先生说的【Δx=0】代入薛问天先生说的 【β(Δx)=o[α(Δx)]】，就得出 β(0)=o[α(0)]=o(0)，】

要知道这就是师教民的胡说八道的【推导】。师先生竟然不知【β(Δx)=o[α(Δx)]】，表达的是无穷小β(Δx)是比无穷小α(Δx)高阶的无穷小。高阶无穷小说的是无穷小这个变量【高阶】，不是也不能说，这个变量的函数值【高阶】。o[α(Δx)]中的o不是函数符号，o[α(Δx)]括号中的内容只能是无穷小变量，不能是无穷小变量在Δx=0时的函数值，所以不能随便【代入】。师先生所述的【代入】就是在胡说八道！写出β(0)=o[α(0)]是严重的错误，根本推导不出:【β(0)=o[α(0)]=o(0)】，推导不出不存在的概念 o(0)来．

4 ，这是个非常简单的道理，由于在求极限lim[Δx→0]β(Δx)/α(Δx)时要求，【在Δx≠0时，函数α(Δx)≠0】，这同我说的允许【在Δx=0时，α(0)=0】，一点矛盾都没有。可师先生却硬说有矛盾。

师先生说【薛问天先生因为自己解决不了在与我讨论的极限中的“【允许α(0)=0】．即允许在Δx=0 时有α(Δx)=0”与“薛问天先生理解的、应该有求极限的 Δx≠0，α(Δx)≠0”的矛盾，】

师教民先生，请你说清楚对函数α(Δx)要求【在Δx≠0时，函数α(Δx)≠0】，这同【在Δx=0时，α(0)=0】的要求，究竟有何矛盾。

至于引进可以是连续函数的 f (x)在 x0 点的值 f (x0)，师先生说【这不仅未解决薛问天先生的 大错误“【允许 α(0)=0】．即允许在Δx=0 时有 α(Δx)=0”与“薛问天先生理解的、应该有的 Δx≠0，α(Δx)≠0”的矛盾，而且还增加了用可连续函数 f (x)解释间断函数 β(Δx)/α(Δx)的新错误．】

我在前面对师先生三句话的评论中已说清〖第二句话【在连续函数中，【允许 Δx=0，允许极限值等于函数值】；】是正确的。这说明，我前面己评论过，第一句话【在求极限时，绝对不允许 Δx=0】，如果认为是函数f(Δx)绝对不允许 Δx=0，则是错误的，因为函数f(Δx)是有可能允许 Δx=0的。例如对连续函数f(Δx)，就明确允许Δx=0。〗

不仅对函数α(Δx)要求【在Δx≠0时，函数α(Δx)≠0】，这同【在Δx=0时，α(0)=0】，一点矛盾都没有。也不存在什么【用可连续函数 f (x)解释间断函数 β(Δx)/α(Δx)的新错误】。我己经说过〖极限lim[Δx→0]β(Δx)/α(Δx)未涉及Δx=0。这里对函数β(Δx)/α(Δx)的极限的讨论也只限于Δx≠0的变域。根本不涉及这个求极限的函数是否是连续还是间断函数的问题。〗师教民先生认为这里求极限的函数β(Δx)/α(Δx)是【间断函数】，也是他主观的臆断，完全是错误的无中生有多此一举的论断。这里对函数β(Δx)/α(Δx)的极限的讨论也只限于Δx≠0的变域。根本不涉及这个求极限的函数是否是连续还是间断函数的问题。

1)，师先生说【据极限定义式 Δx≠0.所以，在薛问 天先生与我讨论的上述极限中，Δx≠0，α(Δx)≠0 是正确的．而薛问天先生却认为：在薛问天先生与我讨论的上述极限中，“【允许 α(0)=0】．即允许在 Δx=0 时有 α(Δx)=0”．所以薛问天先生 的认为的Δx=0，α(Δx)=0 就与正确的结果Δx≠0，α(Δx)≠0 相矛盾了．】

师先生的错误在于他没有认识到我们所说的【允许Δx=0】，是对无穷小函数α(Δx)的要求。因为极限【不涉及Δx=0】，所以这个极限对无穷小函数α(Δx)的要求只是【在Δx≠0时，α(Δx)≠0】，并没有对无穷小函数α(Δx)，要求【不允许有Δx=0】。因而对函数α(Δx)，【认为在【Δx=0时，α(Δx)=0】 就与结果【在Δx≠0时，α(Δx)≠0 】，没有任何矛盾】。

2)，师先生说【在间断函数 β(Δx)/α(Δx)中，由于α(Δx)在分母上，所以函数 β(Δx)/α(Δx)在α(Δx)=0 处根本就不允许有函数值，即根本就没有函数值. 】

要知道，对极限lim [Δx→0]β(Δx)/α(Δx)，【未涉及Δx=0】，指的是求极限时，只涉及Δx≠0的点的函数f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)的值，【未涉及Δx=0】时函数f(Δx)的值，因而只要要求【在Δx≠0时α(Δx)≠0】就不存在分母为0的情况。师说的情况，由于极限未涉及Δx=0，以及【在Δx≠0时α(Δx)≠0】，所以根本就不存在。

师先生又说【据极限定义式知 Δx≠0。所以，薛问天先生说【函数 β(Δx)/α(Δx) 对于Δx=0 点的函数值】就是大错误．薛问天先生说【不涉及 Δx=0】、【根本不涉及】、【不必涉及】错误也不小．】

请注意，极限不涉及 Δx=0，只讨论在Δx≠0的点上的函数内容，所以也根本不涉及函数 β(Δx)/α(Δx)对于Δx=0 点的函数值．这里说道不涉及【函数 β(Δx)/α(Δx)对于Δx=0 点的函数值】，有什么错误，一点错误都没有。由于【不涉及Δx=0】所以同函数 β(Δx)/α(Δx) 在Δx=0点是间断函数还是连续函数，根本不必涉及，也毫无关系。【允许α(0)=0】．即允许在Δx=0 时有α(Δx)=0”同这些内容没有产 生任何矛盾。

师先生又说【这些错误都是因为薛问天先生用连续函数解释间断函数造成的，所以薛问天先生用连续函数解释间断函数就成了【新的错误】】。

刚己说过，由于极限【不涉及Δx=0】，所以同函数 β(Δx)/α(Δx) 在Δx=0点是间断函数还是连续函数，根本没有涉及。而师教民先生说它是间断函数，说是【薛问天先生用连续函数解释间断函数】，【成了新的错误】。这全是他无中生有，多此一举的主观臆想。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】