Zmn-1285 薛问天: o(0)中的这个 0 表示 的不是函数自变量取值为 0，评师教民《1278》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1278》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

o(0)中的这个 0 表示的不是

函数自变量取值为 0，评师教民《1278》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 1 ，关于β(Δx)=o(Δx)，我问〖当自变量取值为0时，认为函数 β(Δx)的函数值是β(0)=o(0)，这个写法错在哪里？〗并说：〖关键的错误在于右边的 o(Δx) 中的 o 不是函数符号，这个Δx 也不是【函数 o】的自变量．〗

师先生说【薛问天先生说的【函数 o】和【o 不是函数符号】相矛盾】。

师先生不动脑子，这有什么矛盾。o 不是函数符号，当然就不存在有【函数 o】。这个Δx 自然也不是並不存在的所谓【函数 o】的自变量。不存在的函数怎么可能有自变量，当然没有。

2 ，我说过：〖o(0)代表的是比无穷小α(Δx)=0 的高阶无穷小．o(0)中的这个 0 表示的不是自变量取值为 0，而是当自变量取任何值时函数值皆等于 0 的常数 0 这个无穷小量 α(Δx)=0．根据高阶无穷小的定义，这样的无穷小量是沒有比它更高阶的无穷小量的．也就是说由 o(0)表示的高阶无穷小並不存在．〗

1)，师先生说【在极限理论的函数 y=f (x) 的微分定义中，Δx 是 y=f(x) 的自变量 x 的增量，Δx 只有函数 y=f (x) 的自变量 x 的增量这一个唯一的含义，再也没有其他的含义了．极限理论的函数 y=f (x) 的微分定义的前提式Δy=AΔx+o(Δx) 也是一个函数，该函数的自变量是Δx，因变量是Δy．因为极限理论的函数 y=f (x) 的微分定义中不允许 Δx=0，所以在前提函数式Δy=AΔx+o(Δx) 中只有比自变量 Δx 高阶无穷小 o(Δx)、而根本就没有 o(0)．只是薛问天先生在他的文章Zmn-1117的2中阐述极限理论的函数y=f (x) 的微分定义时，由于薛问天先生允许 Δx=0，所以把自变量 Δx=0 代入前提函数式 Δy=AΔx+o(Δx) 中后才得到 Δy(0)=A*0+o(0)，从而才出现了 o(0)．所以，o(0)是因为 o(Δx) 中的自变量 Δx 取值为 0 时才产生出来的，所以薛问天先生说【o(0)中的这个 0 表示的不是自变量取值为 0】就打了他自己说的【允许Δx=0】的脸．】

这句话的错误很多，咱们一个个地说。首先，师先生说【极限理论的函数 y=f (x) 的微分定义的前提式Δy=AΔx+o(Δx) 也是一个函数，该函数的自变量是Δx，】

师先生说的不对，根据高阶无穷小的定义。此式的含义是Δy=AΔx+β(Δx)，其中的β(Δx)=o(Δx) 。请注意，这里的Δy=AΔx+β(Δx)，是一个函数，该函数的自变量是Δx。但是β(Δx)=o(Δx)中的o(Δx)並不是函数，当然括号中Δx，它虽然是x的增量，但並不是函数的自变量。Δx在Δy=AΔx+β(Δx)中的含义和起的作用是函数的自变量。但在o(Δx)中的含义和起的作用根据高阶无穷小的定义，已不是函数的自变量，而是无穷小α=Δx。所以师先生所说的【Δx 只有函数 y=f (x) 的自变量 x 的增量这一个唯一的含义，再也没有其他的含义了．】也是一句错话，Δx它是增量没错，但在不同的地方，它可以作为函数的自变量，也可以表示一个特殊的无穷小α=Δx，具有不同的含义和作用。不能混为一谈。

另外要特别指出，师先生说【极限理论的函数 y=f (x) 的微分定义中不允许 Δx=0，】这是错误的，在微分定义中并没有【不允许Δx=0】这样的规定。所以由此推出的结论当然就毫无道理。

师先生说【由于薛问天先生允许 Δx=0，所以把自变量 Δx=0 代入前提函数式 Δy=AΔx+o(Δx) 中后才得到 Δy(0)=A*0+o(0)，从而才出现了 o(0)．】

这种说法是错误的。刚才说了Δy=AΔx+o(Δx)不是函数式，因为o(Δx)不是函数式。函数式是Δy=AΔx+β(Δx)。所以允许Δx=0，把自变量 Δx=0 代入函数式 Δy=AΔx+β(Δx) 中后，得到的是 Δy(0)=A*0+β(0)。这是正确的，没有任何问题。我早已指出错出在把β(0)写为o(0)，错在写为β(0)=o(0)。把o(Δx)错误地认为是函数式所犯的错误。

师先生说【o(0)是因为 o(Δx) 中的自变量 Δx 取值为 0 时才产生出来的】这完全是错误的说法。o(0)的确切含义，它是【比无穷小α=0高阶的无穷小】，是並不存在的无穷小。并不是师先生说的什么【因为 o(Δx) 中的自变量 Δx 取值为 0 时才产生出来的】，这括号中的Δx根本就不是什么【自变量】。因而薛问天先生说【o(0)中的这个 0 表示 的不是自变点量取值为 0】没有任何错误。

2)，师先生说【薛问天先生说【由 o(0)表示的高阶无穷小並不存在．】因为 o(0) 不存在，所以薛问天先生就不允许 o(Δx) 中的Δx=0．但是薛问天先生允许微分定义式AΔx 中的Δx=0．这就造成了前提函数式 Δy=AΔx+o(Δx) 中前部 AΔx 里的 Δx=0，后部 o(Δx) 里的Δx≠0 的矛盾。......薛问天先生也像牛顿、莱布 尼茨搞出贝克莱悖论那样，犯了Δx≠0 和Δx=0 相矛盾的错误。】

我刚才己说过，允许Δx=0，把自变量 Δx=0 代入函数式 Δy=AΔx+β(Δx) 中后，得到的是 Δy(0)=A*0+β(0)。並不能写成Δy(0)=A*0+o(0)。写成β(0)=o(0)是错误的。这里並不涉及要用到不存在的o(0)，所以没有要求Δx≠0 的矛盾。

3 ，在高阶无穷小的定义中，把 β 【是】比 α 高阶的无穷小，当作是 【等于】，记 作 β=o(α)。要知道 β 是无穷小，是确定的对象，但是比 α 高 阶的无穷小 o(α)，並不是一个无穷小，而是一类无穷小，是对象类，因而严格的记法应是【β∈o(α)】，而不应记成【β=o(α)】。

1)，师先生说【极限理论的教材的高阶的无穷小的定义式为 β=o(α)．这其中的“=”说明：无穷小 β 和 o(α) 是一一对应的。】

这恰好是对定义中等号含义的错误理解。要知道定义中的α和β肯定必须是指确定的无穷小。因为涉及到要求β/α的极限，如果不是确定的无穷小，如何求极限。师先生所举的例子α^3=o(α)，α^2=o(α)，恰好说明β1=α^3和β2=α^2中每个β都是一个确定的无穷小，而o(α)是由多个无穷小构成的无穷小的类。这个等号=的严格含义应是属于∈。这个等号並不满足传递律。即由A=B，B=C，推不出A=C。因而说〖α，β 是无穷小，是确定的对象，o(α)並不是一个无穷小，而是一类无穷小〗，並没有错误。

每一个满足β=o(α)的β都是一个确定的无穷小，但所有滿足β=o(α)的β当然是一类无穷小，而不是一个无穷小了。

2)，师先生说【薛问天先生说：〖严格的记法应是【β∈o(α)】，而不应记成【β∈o(α)】〗．这说明薛问天先生承认了极限理论的高阶的无穷小的定义式 β=o(α)是错误的】。

显然师先生误解了我的意思。我在文中清楚说明〖对于这个问题，我的看法是，尽管所说的高阶无穷小，严格地说，是关系不是函数，一个无穷小的高阶无穷小是无穷小的集合不是唯一确定的，严格地说【属于】不同于【等于】。可以严格地把β(Δx)=o(Δx)写成β(Δx)∈o(Δx)，这一切都是对的。但要正确对待数学的历史，不能认为高阶无穷小的定义是错误的。也就是说不要轻易地否定数学历史的定义，说它是错的，而是对过去定义中的用语，要进行宽泛的理解，作正确的解释和应用。〗

也就是说，对定义中的等号=要恰当的正确的理解。这个等号並不满足传递律。不要像师先生那样，错误地把它理解为一一对应，这样就对了。

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