Zmn-1322 薛问天: 正确认识蕴含命题的基本特征和定义以及两个特殊情况，评一阳生《1316》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1316》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识蕴含命题的基本特征和定义以及

两个特殊情况，评一阳生《1316》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

从一阳生的叙述看来，他对蕴含命题的基本特征和定义以及两个特殊情况，还没有真正认识清楚。不防通过实例再作一些解释，使对蕴含命题的基本特征和定义，以及这两个特殊情况，能有正确的理解。

一，对蕴含命题的基本特征和定义以及两个特殊情况再作一些认知上的解释。

首先从识知上要明确，什么是命题，命题就是一个叙述语句它有真有假，真和假就是所谓命题的真值。因而命题有真假两个真值就是命题的基本特征。蕴含命题定义为由两个命题p和q构成的复合命题，记作p→q。蕴含命题的基本特征就是p→q的真值是由p和q的真值按蕴含命题的真值表决定的。一个命题的真值有真或假两种可能，两个命题p和q的真值组合有四种可能。蕴含命题的真值表对这四种情况下，蕴含命题p→q的真值作了这样的规定，p为真q为真时为真，p为真q为假时为假，p为假q为真时为真，p为假q为假时为真。蕴含命题的真值表的这种规定也可以总结为: p→q为真当且仅当【当p为真时q一定为真，当p为假时，q可真可假】，即p→q为假当且仅当【p为真时q为假】。要知道这就是蕴含命题的基本特性和定义。所谓蕴含命题的基本特性和定义，就是它是蕴含命题所有特性和确切含义的基础和标准，所有的一切，如推理操作䓁都以它为准，由它来决定。以它为根据，起到数学中公理和定义的作用。

另外，请大家注意。我们所说的p，q等是命题变量。也就是说它在有些情况下为真，有些情况下为假。为了把问题说清楚，不防举例用x来表示这种变化的具体情况，例如，把p，q用p(x)和q(x)来表示，一般来说，对x的某些值，p(x)为真，对x的某些值，p(x)为假。例如p(x)=“x>5“，对于大于5的x，p(x)是真，对于小于或等于5的x，p(x)就是假。当然也有特殊情况，那就是对所有的x的值，p(x)都真，或都假，这些特殊情况我们也都要考虑在内。例如p(x)=“x+1>x”，对所有的x的值，p(x)都真，p(x)= “x+1<x”，对所有的x的值，p(x)都假。

我们现在开始讨论，认知上什么叫作【p(x)→q(x)为真】？从推理操作上如何推出【p(x)→q(x)为真】？

一般来说，对每个x(注意，是对每个x)，求出【p(x)→q(x)的真值】，分三步，第一步，求出p(x)的真值，第二步，求出q(x)的真值，第三步，根据所求出的p(x)和q(x)的真值，由蕴含命题真值表查出对该x(注意是对该x)【p(x)→q(x)的真值】。(注意蕴含命题真值表有三项为真，一项为假)。

这里请注意的是这三步是对每个x都要进行，而且结果是对该x的。对不同的x，这些结果即【p(x)→q(x)的真值】可能不同，有的为真有的为假。

例1，如p(x)=“x>6”，q(x)=“x>3”，我们来讨论p(x)→q(x)的真值。分几种情况来讨论不同的x。1)对于大于6的x情况，显然可求出x>6为真，求出x>3为真，查表，p(x)→q(x)为真。2)对于x处于6x>3的情况，可求出x>6为假，求出x>3为真，查表，p(x)→q(x)为真。3)对于x处于3x的情况，可求出x>6为假，求出x>3为假，查表，p(x)→q(x)为真。即在所有情况下，即对所有的x都有p(x)→q(x)为真。

例2，如p(x)=“x>3”，q(x)=“x>6”，我们来讨论p(x)→q(x)的真值。分几种情况来讨论不同的x。1)对于大于6的x情况，显然可求出x>3为真，求出x>6为真，查表，p(x)→q(x)为真。2)对于x处于6x>3的情况，可求出x>3为真，求出x>6为假，查表，p(x)→q(x)为假。3)对于x处于3x的情况，可求出x>3为假，求出x>6为假，查表，p(x)→q(x)为真。即并不在所有x的情况下，即对所有的x都有p(x)→q(x)为真。而是在第1种和第3种x的情况下，有p(x)→q(x)为真，但在第2种x的情况下，有p(x)→q(x)为假。

其实，关于蕴含命题的一个重要关键是你是否从直观上接受蕴含命题的真值表。蕴含命题的真值表说p和q有四种可能的真假情况，当且仅当在三种情况下，即p为真q为真，p为假q为真，p为假q为假时，p→q为真。当且仅当在p为真q为假时，p→q为假。

例如你从直观上很客易接受蕴含命题“5>3→5>6”是假的，因为“5>3”是真“5>6”是假。又因为【当且仅当在p为真q为假时，p→q为假】。但是你从【当p为真q为真时，p→q为真。】是否承认“10>3→10>6”为真。从【当p为假q为假时，p→q为真。】是否承认“2>3→2>6”为真。如果承认和接受了这就很好。

我们来看看一阳生的观点。一阳生说【首先确定我们之间的分歧和产生分歧的原因。我说蕴含命题的基本特征和定义是：蕴含命题是如果p则q，记作p→q。其中即p是前提q是结论，即在推理q真值的过程中必然使用到p。我说推理蕴含命题p→q的真值分3步。第1步推理p的真值，第2步p参与推理q的真值，第3步根据蕴含命题的真值表推理出p→q的真值。分3步的原因或者说存在第2步的原因在于：经过p参与推理的q的真值才是真正正确的蕴含命题框架下的q的真值。不经如此推理的q真值不应直接作为蕴含命题真值表中q的真值使用。】

从上述蕴含命题一般情况的例1和例2来看。一阳生的叙述，有对的地方，也有不对的地方。在一般情况下，对任何情况下的x，求p→q的真值分三步是对的 。第一步求p的真值，第2步求q的真值，第3步查表求p→q的真值。但是说【第2步p参与推理q的真值】，还说什么【存在第2步的原因在于：经过p参与推理的q的真值才是真正正确的蕴含命题框架下的q的真值。不经如此推理的q真值不应直接作为蕴含命题真值表中q的真值使用。】从上述例1和例2中，在不同x情况下求q(x)的真值，都是根据x的值来求q(x)的真值的，例1的q(x)的真值是根据x的情况，在x的第1和第2情况下为真，在第3情况下为假，例2的q(x)的真值，在x的第1情况下为真，其它两个情况下为假，这都是根据x处的情况决定的，哪里有什么【p参与推理q的真值】。还说什么【经过p参与推理的q的真值才是真正正确的蕴含命题框架下的q的真值。不经如此推理的q真值不应直接作为蕴含命题真值表中q的真值使用。】纯粹是毫无根据的无的放矢！

我们承认“10>3→10>6”为真，承认“2>3→2>6”为真，请问一阳生先生，你怎么解释你所说的【p是前提q是结论，即在推理q真值的过程中必然使用到p。】请问如何在推理q=”10>6“真值的过程中必然使用到p=“10>3“？

当然我们学数学的人都知道，对于例1，p(x)=“x>6”，q(x)=“x>3”，我们讨论x>6→x>3 的真值。用三步查表所得出的结论【对所有的x都有x>6→x﹥3为真】，用求p和q的真值然后查表得出的这个结论，完全可以由数学的推理理论的推理来实现。即由数学可以对任何x由x>6推出x>3。因为由自然公理知x+1>x，从而知6>5，5>4，4>3，又因为大于关系有传递律，即若A>B，B>C则A>C。则由x>6可推出x>3。即由x>6推出x>3就是得出p→q为真的结论。要知道【由p为真推出q为真】即得出【当p为真时q一定为真，当p为假时，q可真可假】符合蕴含命题真值表，使p→q为真的的要求。

说清楚了，对于一般情况的例1，不是【第2步p参与推理q的真值，】而是对于一般情况的蕴含命题的例1，判断p→q的真值可以用数学的推理理论，进行【由p为真推出q为真的推理】来实现。对于这种【由p为真推出q为真的推理】，关键不是【p参与推理q的真值】。而是进行了【由p为真推出q为真的推理】，推出的结论是【当p为真时q一定为真，当p为假时，q可真可假】。一阳生你明白了你的错误了吗？

上面说的是一般情况，求出【p(x)→q(x)的真值】需要对每个x进行三步求出。或者说，断定p(x)→q(x)为真，有些例子p可以用证明对任何x，由p(x)为真推出q(x)为真的推理来实现。但对特殊情况並不需要这样。

特殊情况①，q(x)恒真，即对任何x，q(x)都是真的情况。可知在此情况下，对任何p(x)，都有对任何x，【p(x)→q(x)为真】。

显然对此情况，只需一步，证明q(x)恒真，就可推出对任何x【p(x)→q(x)为真】，並不需要对每个x进行三步求出。也不需要进行由p(x)为真推出q(x)为真的推理 。

例如我们判断蕴含命题p(x)→q(x)是否为真，其中的p(x)=“x是大于2的偶数而且可表示为两个素数之和”，q(x)=“x+1>x”。只需要证明p(x)=“x+1>x”是恒真命题一步即可，不需要而且也不可能对每个x分三步来证明。因为对此情况无论p(x)为真为假，p(x)→q(x)都为真。对任何x求p(x)的真值是哥德巴赫猜想，现在没人可求出来。在主观上客观上不做这一步，就可得出对任何x，p(x)→q(x)为真的结论。这就是特殊情况①的实情。

特殊情况②，p(x)恒假，即对任何x，p(x)都是假的情况。可知在此情况下，对任何q(x)，都有对任何x【p(x)→q(x)为真】。

显然对此情况，只需一步，证明p(x)恒假，就可推出对任何x【p(x)→q(x)为真】，並不需要对每个x进行三步求出。也不需耍进行由p(x)为真推出q(x)为真的推理。

例如我们判断蕴含命题特殊情况②p(x)→q(x)是否为真，其中的p(x)=“x+1<x”，q(x)=“x是大于2的偶数而且可表示为两个素数之和”。只需要证明p(x)=“x+1<x”是恒假命题一步即可，不需要而且也不可能对每个x分三步来证明。因为对此情况无论q(x)为真为假，p(x)→q(x)都为真。对任何x求q(x)的真值是哥德巴赫猜想，现在没人可求出来。在主观上客观上不做这一步，就可得出对任何x，p(x)→q(x)为真的结论。这就是特殊情况②的实情。

1，显然从上例就可看出一阳生所说的【我认为在蕴含命题p→q的框架下，p必然参与推理q的真值，经p参与推理出的q真值才是蕴含命题真值表中的q的真值。这是由p与q之间存在前提结论的关系决定的，没有例外和特殊情况。】是完全错误的，有这种特殊情况。对特殊情况①，在推理证明对任何x，q(x)恒真时，与哥德巴赫猜想无关，并没有【p必然参与】。证明q(x)恒真，没有p的参与当然仍是q的真值。对特殊情况②，根本就不需要也求不出q(x)的真值。一阳生所说的全部不符合。

2，对于这两种特殊情况，根本就不存在一阳生所说的什么【前提结论的关系】。一阳生把【前提必然参与推理结论的真值】看作是前提结论的关系毫无根据，是错误的认识。要知道真正的前提结论关系是【当p为真时，q一定为真】。这点两个特殊情况都是满足的。对于①，由于q恒真，当然当p为真时，q一定为真。对于②，p恒假就不存在p为真时，当然也是满足的。

前面己经说过，对于有些一般情况的蕴含命题，判断p→q的真值可以用数学的推理理论，进行【由p为真推出q为真的推理】来实现。显然有这种【由前提p为真推出结论q为真的推理】，並不能得出对所有的蕴含命题都有【前提p必然参与推理q的真值】这样的结论。要知道对于特殊的蕴含命题①和②就不需要甚至有些就不可能进行这样的推理。

二，推理的操作过程同认知是一致的。

对特殊的蕴含命题①和②，判断p→q为真，只需一步即可。对情况①只需判定对任何x，q(x)恒真即可。对情况②只需判定对任何x，p(x)恒假即可。一阳生对此提不出令人信服的反驳意见。一阳生应该知道哥德巴赫猜想没有人能给出回答，但是由哥德巴赫猜想构成的两个特殊蕴含命题①和②却可判定为真。一阳生先生，你对此如何解释 ？

三、关于逻辑演算中的【可推出关系】。

一阳生，你应该理解为什么〖第一种特殊情况①是由“Σ⺊q”推出对任何p，有“Σ⺊p→q”，〗因为对于此逻辑系统可以证明，只要Σ⺊q，就可推出对任何p，Σ⺊p→q。由于在系统中有这样的规则，若Σ⺊A，则对任何Σ′，有Σ，Σ′⺊A。所以只要 Σ⺊q，就可推出对任何p，Σ，p⺊q，即可推出对任何p，Σ⺊p→q。

类似地，你可以理解为什么〖第二种特殊情况②是由“Σ′⺊乛p”推出对任何q，有“Σ⺊p→q”，〗因为对于此逻辑系统可以证明，只要Σ⺊乛P，就可推出对任何q，Σ⺊p→q。由于在系统中可以推出这样的推理规则:如果Σ⺊乛A，则对任何B，有Σ⺊A→B。所以只要Σ⺊乛P，就可推出对任何q，Σ⺊p→q。

我们知道，对于有些一般情况下的蕴含命题，如果在数学公理Σ下，对某个p，

能由p推出q，则p→q为真。这在逻辑演算中表示为Σ，P⺊q，从而Σ ⺊p→q 。

对于特殊情况①，並不需要在数学公理Σ下，由p推出q，而是只要“Σ⺊q” ，即可推出对任何p，有“Σ⺊p→q”，

对于特殊情况②，並不需要在数学公理Σ下，能由p推出q，而是只要“Σ⺊乛p” ，即可推出对任何q，有“Σ⺊p→q”，

在逻辑演算和逻辑学中这都是统一的。蕴含命题p→q为真当且仅当⺊p→q，同时也有p⺊q。称为在演算系统中由命题p推出命题q，没有一阳生所说的什么【真蕴含关系】同【蕴含关系】的区别。蕴含命题中的前提和结论的关系就是【前提p是真时，结论q一定为真】。 不是一阳生所说的【在推理q真值的过程中必然使用到p】，【前提必然参与推理结论的真值】。

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