Zmn-1323 薛问天: 对高阶无穷小定义中的α≠0的要求要有正确的理解，评师教民《1318》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1318》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

对高阶无穷小定义中的α≠0的要求

要有正确的理解，评师教民《1318》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，不要再狡辩了。

你没有承认错误是不对的，你必须承认这是你犯的错误，要知道这是事实。你认为薛问天先生没有对你的《1284》发表评论，而事实上这是你师教民没有看评论，犯的错误。薛问天事实上是发布了这个评论的。

师教民狡辩说【我看不见你薛问天先生发了跟帖是很正常的事情，绝对不是你薛问天先生说的【疏忽】】，显然是毫无道理的。什么是文后的【跟帖】。科学网写得很清楚是【发表评论】。任何人在科学网博文上发表文章，都要㸔看别人对他的文章有何评论。你不看评论，错误地认为别人没有评论当然是【疏忽】或者【无知】所犯的错误。还奇怪地问什么【为什么你薛问天先生的 3 篇文章中的 2 篇以及以前的几十甚至上百篇文章都是以与我对决的形式发表、唯独评论我的论文 1284 时采用 跟帖的形式?，】科学网写得很清楚，文后的跟帖就是【发表评论】。我为什么不能用跟帖发表评论。

师教民先生的这种反复地狡辩是毫无意义的。

2，关于函数允许Δx=0的问题。

1)关于“允许还是不允许 Δx=0”的问题。要搞清楚，我说的是对相关的函数f(Δx)是否允许在Δx=0的点有函数值f(0)的问题，不是在谈在其它情况下，是否允许 Δx=0的问题。

①关于在函数求极限时，所说的是【绝对不允许 Δx=0】指的是在求极限时不涉及函数在Δx=0点的值。並不是指不允许求极限的函数在Δx=0的点有函数值。对求极限的函数没有这个规定。

②例如对连续函数，虽然在求极限时【绝对不允许 Δx=0】，但它指的是在求极限时不涉及函数在Δx=0点的值。並不是指不允许求极限的连续函数在Δx=0的点有函数值。连续函数允许Δx=0，也允许极限值=函数值〗。

③对于间断函数，有两种情况，一种情况是函数允许Δx=0，函数在Δx=0点有函数值但函数值不等于极限值。一种情况是函数不允许Δx=0，函数在Δx=0点没有函数值。

④所以一定要认识到求极限时的【绝对不允许 Δx=0】指的是在求极限时不涉及函数在Δx=0点的值。並不是指求极限的函数不允许在Δx=0的点有函数值。对求极限的函数没有这个规定。

2).师先生问【薛问天先生既然认为“在求极限时【未涉及 Δx=0】，即未涉及 f (0)”，那么就请薛先生说说“在求极限时【未涉及Δx=0】，即未涉及 f (0)”是 根据什么定义、】

很简单，根据的就是极限的定义。当Δx→0时f(Δx)→A的定义就是对任何ε>0，存在δ>0，当0<|Δx-0|<δ时，|f(Δx)-A|<ε。要求的只是在Δx≠0时，|f(Δx)-A|<ε，所以未涉及Δx=0点f(Δx)的函数值f(0)。

3)，师先生说【我在多篇论文里说过〖在极限中绝对不允许Δx=0〗......唯独没有说过【函数 f (Δx)绝对不允许Δx=0】．】如果师先生认为在函数求极限时，所说的【绝对不允许 Δx=0】指的是在求极限时不涉及函数在Δx=0点的值。並不是指求极限的函数不允许在Δx=0的点有函数值。对求极限的函数没有这个不允许Δx=0的规定。那我们就达到共识。

4)，对于间断函数，有两种情况，一种情况是允许Δx=0，函数在Δx=0点有函数值但函数值不等于极限值。一种情况是函数不允许Δx=0，函数在Δx=0点没有函数值。师先生认为没有第一种情况是不对的。第一种间断函数常常都是用师先生所说的双规律方式分段定义的函数，这话不假，但是把用这种方式定义的函数认为是【不在我们讨论的范围之内】则是错误的。凡是符合函数定义的单值函数，都在我们所研完的函数范围之内。函数的研究中，设有一个什么约定俗成规矩，说是：在没有特殊声明的情况下，一提到函数，都是指的显函数、单规律函数．需要研究隐函数、双规律函数（即分段函数）时，则要另行说明。没有这样的约定。这是师先生的主观错误臆想。

5)，师先生说【薛问天先生与我讨论的问题的确是【高阶无穷小的定义】．可是，【高阶无穷小的定义】中不只是有函数 β(Δx)和 α(Δx)，而且也有分数函数 β(Δx)/α(Δx)和极限 lim [Δx→0]β(Δx)/α(Δx)以及 α(Δx)≠0 的规定．其中的分数函数就是在 α(Δx)=0 处的间断函数（因为在α(Δx)=0 处无定义，所以该函数在此间断），所以薛问天先生说的“根本就没有讨论什么【间断函数的极限】”，“师先生说【讨论的是求间断函数的极限】完全是错误的无中生有多此一举的论断”就都错误了．】

这在概念上是相当清楚的。这个分数函数只在Δx≠0时成立。高级无穷小定义中说的当Δx→0时，函数f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)→0。求极限时不允许Δx=0的含义就是指这里只涉及在Δx≠0时f(x)=β(Δx)/α(Δx)。在Δx=0时f(Δx)等于什么並未涉及和规定。在Δx=0时f(Δx)可能等于β(Δx)/α(Δx)，也可能等于其它内容。当然如果这里在Δx=0时f(Δx)等于β(Δx)/α(Δx)，而且当Δx=0时α(Δx)=0，这时的f(Δx)是无函数值的间断函数。如果在Δx=0时f(Δx)不等于β(Δx)/α(Δx)，而是等于其它内容，例如f(Δx)=f(0)=0，则f(Δx)完全可以是连续函数。因而在这里认为f(Δx)【求极限时不允许Δx=0】就是【函数f(Δx)不允许Δx=0】，是间断函数，当然是错误的。这里没有规定f(Δx)一定是间断函数，可以允许是连续函数。

3，关于对高阶无穷小β(Δx)=o[α(Δx)]的理解。

1)，对师教民先生的胡说八道的说法:【把薛问天先生说的【Δx=0】代入薛问 天先生说的【β(Δx)=o[α(Δx)]】，就得出 β(0)=o[α(0)]=o(0)，......】师先生说【薛问天先生只是喊了“是在胡说八道了”的口号，未敢说明“是1在胡说八道了”的理由】。

其实我己把理由说得相当清楚了。师先生在2)中所引的我说的话，说的就是理由〖师先生竟然不知【β(Δx)=o[α(Δx)]】表达的是无穷小 β(Δx)是比无穷小 α(Δx)高阶的无穷小．高阶无穷小说的是无穷小这个变量【高阶】，不是也不能说，这个变量的函数值【高阶】。o[α(Δx)]中的 o 不是函数符号，o[α(Δx)]括号 中的内容只能是无穷小变量,不能是无穷小变量在 Δx=0 时的函数值，所以不能随便【代入】．师先生所述的【代入】就是在胡说 八道！写出 β(0)=o[α(0)]是严重的错误，根本推导不出【β(0=o[α(0)]=o(0)】，〗这个理由己说得相当清楚。

①师先生所说的他对【β(Δx)=o[α(Δx)]】表达的4 层意思的理解是正确的．β，α 是两个无穷小量；说了【α 及 β 的自变 量是Δx】后，β(Δx)，α(Δx)还是无穷小量，而且是Δx→0 时的 两个无穷小量；β(Δx)，α(Δx)都是自变量Δx 的函数；符号 o 说明 β(Δx)是比 α(Δx)高阶的无穷小．没有问题，这样的理解完全正确。

②师先生说的允许函数 β(Δx) 和 α(Δx)中的Δx=0，代入后其函数值是 β(0) 和 α(0).，这当然也没有问题．这都正确。错误出在把【β(Δx)=o[α(Δx)]】中的函数 β(Δx) 和α(Δx)在Δx=0 时的函数值代入到【β(Δx)=o[α(Δx)]】中得出 β(0)=o[α(0)]．出现了严重的错误。错误就出在我所说的〖【β(Δx)=o[α(Δx)]】表达的是无穷小 β(Δx)是比无穷小 α(Δx)高阶的无穷小．高阶无 穷小说的是无穷小这个变量【高阶】，不是也不能说，这个变量的 函数值【高阶】。o[α(Δx)]中的 o 不是函数符号，o[α(Δx)]括号 中的内容只能是无穷小变量,不能是无穷小变量在 Δx=0 时的函数值，所以不能随便【代入】〗这个【代入】完全违犯了你在①中谈的四点正确理解 。

③，因而这就是为什么允许函数 β(Δx) 和 α(Δx)中的 Δx=0，代入后其函数值是 β(0) 和 α(0)没有问题．而把 Δx=0 代入到【β(Δx)=o[α(Δx)]】中的函数β(Δx) 和α(Δx)后得β(0) =o[α(0)]就是胡说八道的【推导】，出现错误的原因很清楚。

4，对于高阶无穷小定义中要求α≠0的理解。

1)，要明确在高阶无穷小的定义中对无穷小α的要求α≠0一定要有正确的理解 。当无穷小α的自变量是Δx，而且是当Δx→0时的无穷小时，这个无穷小α可以表示为函数α(Δx) 。那么对无穷小α的要求α≠0，这个要求是当Δx≠0时，α(Δx)≠0即可。並不需要要求对所有Δx的值都有α(Δx)≠0。例如就可允许Δx=0时α(0)=0。关于这点，我早在《1280》就己讲得相当清楚。

〖大家都知道学习数学，必须多动脑子，多思考，最忌讳的就是【死记硬背，不动脑子】的坏习惯。数学上的髙阶无穷小的定义中说要求无穷小α≠0，我们当然要动动脑子，想想，为什么要有这个要求。才能正′确理解定义中要求α≠0的真正含义。

师教民说【上述《高等数学》中的定义式 β=o(α)里的α≠0 是死的，是不可改变的．你薛问天先生企图通过给这两条蛇 β，α 添上足(Δx) 并令Δx=0 的方法使【允许α(0)=0】，这就真正违背了上述《高等数学》教材中的定义式 β=o(α)里的α≠0 的规定，】

师先生把数学中的定义㸔成是【死的】，说【α≠0 是死的，是不可改变的．】说允许α(0)=0，就【違背了.....α≠0 的规定】，请问师教民先生，你思考过沒有，为什么在定义中要求α≠0?请你明确回答一下究竟是为什么。稍微动动脑筋就知道是因为要求当Δx→0时，β(Δx)/α(Δx)→0。这里α(Δx)要作除数，所以α(Δx)不能等于0。

但是我们知道在极限理论中说得很清楚，当x→x0时求f(x)的极限，同函数f(x)在x0点的值f(x0)是无关的，根本不涉及x=x0时的情况。也就是说当Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0，根本同这个函数在Δx=0时的情况无关。所以说这里要求的α≠0根本同Δx=0无关，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0就完全满足定义中当Δx→0时，β(Δx)/α(Δx)→0，对求极限时除数不为0的要求。也就是说对定义中的α≠0要求的正确理解是，要求的α≠0根本同Δx=0无关，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0就可以了。不能把α≠0错误地理解为，不论是Δx≠0 还是Δx=0，都必须有 α(Δx)≠0。要注意这是对定义中α≠0的正确的理解问题，而不是什么师先生所说的【改变】。要说改变，只能说是对错误理解的改变。〗

2)，对函数α(Δx)要求【在 Δx≠0 时，函数 α(Δx)≠0】，同允许【在Δx=0 时，α(0)=0】一点矛盾都没有。而师教民却硬说有矛盾。这次师先生狡辩说矛盾是【【在Δx≠0 时，要求函数 α(Δx)≠0】是正确的，【在 Δx=0 时，α(0)=0】的要求是错误的，所以，上述 的【在Δx≠0 时函数α(Δx)≠0】与【在Δx=0 时α(0)=0】的矛 盾是正确与错误的矛盾】。这简直是逻辑混乱。你跟据什么说允许【在Δx=0 时，α(0)=0】是错误的。你原来说它的错误在于是同【在Δx≠0 时，要求函数 α(Δx)≠0】发生矛盾。现在又说【 矛盾是正确与错误的矛盾】，这简直是逻辑混乱。

3)，师先生说【薛问天先生允许Δx=0 时，就有他认为 的【Δx=0 时，α(Δx)=α(0)=0】．即有α(Δx)=0．然而，同济名著中的高阶无穷小的定义却白纸黑子地写着 α≠0，即写着薛问天 先生的α(Δx)≠0．这样，薛问天先生对无穷小函数α(Δx)的要求 的【允许 Δx=0】就违背了同济名著中的高阶无穷小的定义里说 的α(Δx)≠0，因此，薛问天先生就犯了违背高阶无穷小的定义的 错误．】

关于这点，我己说得很清楚，这是师先生受到【死记硬背，不动脑子】的坏习惯的影响，产生了对教科书的理解和认识上的错误。师先生对α≠0的要求理解错了。不要把α≠0理解为所有的Δx，都要求α(Δx)≠0。而是只要求当Δx≠0时α(Δx)≠0即可。因而，允许【在Δx=0 时，α(0)=0】並没有违背同济名著中的高阶无穷小的定义里说 的α≠0的要求。要动脑子想想，为什么在定义中要提出α≠0的要求，就会对这个要求有正确的理解。

4)，关于我说的【不涉及Δx=0】。师先生说【因为这句话错误，所以推导出来的结论也就不能正确了．那么，这句话为什么是错误的呢？因为这句话只说了半句，全句应为：允许Δx=0，只是不涉及Δx0】。

这句话【不涉及Δx=0】当然没有说错，关键是看这句话的含义是在说什么。你说的这个【全句】，也並未把它的含义表达清楚。

我们所说的【不涉及Δx=0】的含义是这样的。关于在函数求极限时，所说的是【绝对不允许 Δx=0】指的是在求极限时不涉及函数在Δx=0点的值。並不是指求极限的函数不允许在Δx=0的点有函数值。对求极限的函数没有这个规定。即说求极限时不允许Δx=0 ，指的是求极限时【不涉及Δx=0】时函数f(Δx)的值。並不是指函数f(x)【不允许Δx=0】，不允许【函数f(Δx)在Δx=0的点有函数值】。求极限时【不涉及Δx=0】是因为极限的定义说的很清楚，在要求丨f(x)-A丨<ε时，明确要要求Δx≠0。

要知道正是由于求极限时【不涉及Δx=0】。在对教材关于高阶无穷小的定义中，对α≠0的理解，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0，就保证分母不为0了。因而完全可以允许在Δx=0时α(Δx)=α(0)=0。这毫不违犯对教材的定义的正确理解。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】