Zmn-1286 薛问天: 正确认识有理数的两个等价定义，评杨六省《1282》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对杨六省先生的《Zmn-1282》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识有理数的两个等价定义

评杨六省《1282》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

杨六省先生所说的【教科书在证明√2 不是有理数过程中犯了 5 个错误】，事实上没有一个是错的，都是杨六省先生自己认识的错误。

①，杨六省说【√2=p/q（p，q 互质）能作为√2 不是有理数的反论题吗？ 不能。】是错误的。教科书在证明√2 不是有理数，用的是反证法。用【√2 是有理数】作为证明【√2 不是有理数】这个定理的反论题当然是【能】，怎么说是【不能】呢？杨六省的错误就在于，他只认识到【存在着整数p和q，使√2=p/q】是【√2 是有理数】的定义，而没有认识到【存在着互质的整数p和q，使√2=p/q】也是【√2 是有理数】的等价定义。胡说什么【把√2=p/q（p，q 互质）作为√2 不是有理数的反论题，就是把有理数与无理数之间的矛盾（变成了有理数系统内的矛盾（指√2= p/q 中的两个整数 p 与 q 能否互质），】要知道【存在着互质的整数p和q，使√2=p/q】同【存在着整数p和q，使√2=p/q】这是【√2是有理数】的等价命题。根本不是什么【指√2= p/q 中的两个整数 p 与 q 能否互质）】，说什么这是【有理数系统内的矛盾】。要知道这里一点矛盾都没有，这里有存在量词是等价的，存在着互质的整数p和q使A=p/q，就可推出存在不是互质的整数p和q使A=p/q; 反之，存在着不是互质的整数p和q使A=p/q，就可推出存在是互质的整数p和q使A=p/q，都说明A是有理数。

扬六省说【√2=p/q（p，q 互质） （即√2 是最简分数）只是一个无意义无真假的语句，而不是命题，当然不能做反论题。】

当然说得不对。说存在互质整数p和q使√2=p/q，√2是简分数。当然是说了√2是有理数，这明显是个假命题，怎么能这样明目张胆地说【只是一个无意义无真假的语句，而不是命题，当然不能做反论题。】没想到杨六省竟然可以如此公开地说错话。

至于杨先生说【下文中的③、④、⑤均 表明教科书证明中的逻辑链条是断裂的，因而论证是无效的。】我们再进一步分析它的错误。

②杨六省说【由√2=p/q（p，q 都是整数）能推出√2=p/q（p，q 互质）吗？ 不能。否则，以同样的理由也可以由√2=p/q（p，q 都是整数）推出√2=p/q（p，q 不互质）。但是，由√2=p/q（p，q 都是整数）推出相互矛盾的结论是荒谬的。】

关于这点，杨先生的错误在于他忽視了命题中的存在量词。由√2=p/q（p，q 都是整数），对于同样的p和q，当然不能推出√2=p/q（p，q 互质）。但是由带有存在量词的【存在着整数p和q，使√2=p/q】完全可以推出【存在着互质的整数p和q，使√2=p/q】。这个推理是完全严格的推理，就不存在杨先生所说的【推出相互矛盾的结论是荒谬的】问题。因为如果存在的整数p和q不互质，则由数论知有公因子r，则令p′=p/r，q´=q/r，则存在着这互质的p´和q´使√2=p´/q´。杨先生说这是【套用“分数总可以写成最简分数的形式” 】还说【这是诸错之源】，这些都是错误的。任何分数当然总都可以写成它等于最简分数的形式。

要知道在证明中的反论题是带有存在量词的。杨先生的错误在于他忽視了这个存在量词的存在。关于这点，我们曾经说过多次，不知杨先生为何到现在还在坚持他的这个错误。

③杨先生说【由 p^2是偶数能推出 p 也是偶数吗？ 不能。】

首先要搞清楚，这是反证法，是在假定反论题成立下的推理。反证法已假定存在互质的整数p和q使√2=p/q，是在这个假定成立下的推理。这里的p和q已经假定是整数而且互质。由于√2=p/q，所以p^2=2q，由于这里的p和q已经假定是整数，当然由p^2是偶数可以推出p是偶数。怎么能说【不能】呢？

也就是说这里的推理是在反证法的假定成立下推出的。杨先生的错误在于他不认为应该是在反证法的假定成立下进行推理。这是他认识上的错误。

杨先生还说【“由于 p^2是偶数，p 必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的，再加上此前的 q 是整数这个假设，那就是说，对于√2=p/q，假设 q 是 整数，则 p 是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2 可表成两个整数之比，但这与证明目的相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的。】

杨先生说【说明√2 可表成两个整数之比，但这与证明目的相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的。】说明杨先生对反证法的逻辑根本不懂，要知道反证法的假定就是反论题。在反证法的假定下，当然是同证明的命题相矛盾的。在反证法的假定下说明√2 可表成两个整数之比，这与证明目的相矛盾，是非常自然合理的事。怎么能由此推出说【推理是不成立的】呢？显然是没有道理的。因而在反证法的假定下，应用“p 是整数”这个假设由 p^′2是偶数推出 p 是偶数,这是完全合理的。

杨先生说【笔者认为，这种说法 将陷于自相矛盾。】事实上不是陷于【自相矛盾】，而是要由反证法的假定推出矛盾来，用这个矛盾来推翻这个反证法的假定。

杨先生接着说【当推出了 p 是偶数的结论后，依据反证法，理应揭示会有矛盾发生，从而才有可能否定“p 是整数”这个假设。但是，教科书并没有否定“p 是整数”这个 假设。】

扬先生根本就不没有看懂教科书的证明。原有的证明是在反证法的假定下推出p是偶数后，又根据p是偶数推出q是偶数。所【揭示的矛盾】非常明确，那就是p，q互质同p，q都是偶数並不互质的矛盾。由这个矛盾所否定的並不是去否定什么【p是整数】这个假设。而矛盾所否定的是反证法的假定，正是【存在互质整数p和q使√2=p/q】，这个假定，从而使定理【√2不是有理数】得到严格的证明。关键是扬先生没有㸔懂教科书是怎么证明的。

④，杨先生说【由 p 是偶数能推出 q 也是偶数吗？ 不能。因为与“p，q 互质”矛盾。】

说明扬先生根本不懂得反证法的证明。正是由于在反证法的假定下，由p 是偶数能推出 q 也是偶数，p和q都是偶数才同p和q互质发生矛盾，正是由于这个矛盾，否定了反证法的【√2是有理数】的假定，才使定理得证。杨先生的错误在于他没有认识到这个矛盾否定的是反证法的假定，而不是【由 p 是偶数能推出 q 也是偶数】的这个推论。在这个假定下能作出这样的推论在逻辑上是正确的推论。当p是偶数令p=2r，代入P^2=2q得q^2是偶数，从而得出q是偶数，这是严格正常的推理。杨先生没有认识到这点是又一个认识上的错误。

⑤杨六省说【由“p 和 q 都是偶数”与“假设 p 与 q 互质”相矛盾能推出√2 不是有理数吗 ？ 不能。上述矛盾只能说明“p 与 q 互质”的假设不成立，等价的说法是“p 与 q 非互质”成立。但后者蕴涵“p 和 q 都是整数”，所以，由上述矛盾不能推出√2 不是有理数。】

扬先生的这个错误太明显了。关键还是对有理数的两个定义是相互等价性缺乏认识。那就是杨先生没有认识到【存在整数p和q使√2=p/q】和【存在互质整数p和q使√2=p/q】是【√2是有理数】的两个等价的定义。所谓等价性就是在逻辑上的真假值等价，可以互相推出。由反证法假定推出了矛盾，由“p 和 q 都是偶数”与“假设 p 与 q 互质”相矛盾推翻了反证法的假定。而反证法的假定是【存在互质整数p和q使√2=p/q】，它同【√2是有理数】是等价的。所以推翻了反证法的假定自然就推出了√2不是有理数，怎么还能说【上述矛盾不能推出√2 不是有理数】呢？杨先生错误地以为反证法的【的假设不成立，等价的说法是“p 与 q 非互质”成立。但后者蕴涵“p 和 q 都是整数”】是完全错误的认识。要正确认识有理数的这两个等价定义以及其否定命题的含义。

由以上分析可知杨六省先生所得的【结论：教科书在证明√2 不是有理数的过程中，每步推理皆错，故其论证是无效的。】是完全错误的。杨先生所说的【教科书在证明√2 不是有理数过程中犯了 5 个错误】，没有一个是错的，都是杨六省先生认识的错误。

其实他的这些错误，在我们的《专栏》中早已做过多次的评论。问题是杨先生直到现在还在坚持他的这些错误。而且对他的错误观点曾经发表过，得到众多人的浏览，感到沾沾自喜。不过我们还是真诚地劝告杨先生，希望他能早日承认和纠正错误，这样不仅不再使错误流传，也会挽回他个人的一些声誉。

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