Zmn-1287 薛问天: 关于正确理解高阶无穷小定义的若干问题，评师教民《1283》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1283》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关于正确理解高阶无穷小定义的

若干问题，评师教民《1283》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，关于高阶无穷小定义中β=o(α)的表示。

①，用β=o(α)来表示无穷小β是比无穷小α高阶的无穷小，这引自定义当然是对的。但是要注意，对这里的等号要正确的理解。严格地用集合论语言来说应是属于(∈)的意思。但要遵重数学的历史，不要说它是错的。它没错，只是要注意，这个等号(=)不满足传递律就对了，要正确理解。

②，师先生说【按照我的定义②，β=o(Δx) 就成了最原始、最直接、最等价的高阶无穷小的定义的表述了，】这是错误的。

师先生没有认识到β=o(Δx)不能作为一般高阶无穷小定义的等价表示，因为这里Δx表示的是一个特殊的无穷小α(Δx)=Δx，这个无穷小的函数表示的是a=1，b=0的一次函数α(Δx)=aΔx+b=Δx。不是所有的无穷小量α都能用此式表示，它是一个特殊的等值函数代表的无穷小。β=o(Δx)只是高阶无穷小定义β=o(α)的一个特例和应用，这不是定义 的等价表述。师先生对此缺乏认识，

一个简单的例子，当β是比无穷小α=Δx^2高阶的无穷小时，可用β=o(α)这个具有一般性的符号表示，就不能用β=o(Δx)来表示。因为o(Δx)表示的那个低阶无穷小只是那个特殊的a=1,b=0的无穷小α(Δx)=aΔx+b=Δx，表示不了其它的无穷小如α(Δx)=Δx^2等。

另外师先生还说什么【Δx≠0 为低阶无穷小】，要知道这里的低阶无穷小指的是a=1，b=0的一次函数α(Δx)=aΔx+b=Δx。这个函数不能用【Δx≠0】来示。【Δx≠0】是个不等式不是无穷小，用它来表示无穷小明显是错误的。而且函数α(Δx)=Δx，只有在自变量Δx≠0时函数值α(Δx)≠0，在Δx=0时当然有函数值α(0)=0。

③，当β 是比无穷小α(Δx)=Δx 高阶的无穷小时，按定义应明确记作β=o(Δx)，而师先生把它记作 【β=β(Δx)】。还问【请问薛问天先生，你敢说该定义错误吗？】我当然可明确回答，这定义是错误的，在定义中是用β=o(Δx)这个符号，来表明β是比无穷小α(Δx)=Δx高阶的无穷小。而β=β(Δx)的意思只是说β是以Δx为自变量的函数表示的无穷小，这个β是函数符号。

师先生说【与其说这是代换，倒不如说这是高阶无穷小的符号选择的字母不同，符号的字母选择 o 和选择 β，效果一样，所以都正确．】这种说法当然不对，我们对教材中的定义中的符号字母的选择，要尊重和遵从，既然定义中己把β作为函数符号，已把o作为高阶无穷小关系符号，这两个符号含义不同，就不要作为含义相同【效果一样】的字母再来随意选择和代换。显然这样的选择就会产生混乱和错误

④，我在《1277》中说得很清楚，〖④，师先生还说了【若把 β=o(Δx) 中的β换成 β(Δx) 就成为β(Δx)=o(Δx)，】显然这就是β=o(Δx) 的等价表述，等于o(Δx) 说明β(Δx)是比α(Δx)=Δx 高阶的无穷小〗，並没有说④不对。要知道β的函数表示就是β(Δx)，这正是师先生反对的认为是【画蛇添足】的我的观点。β=o(Δx)中的【β换成 β(Δx) 就成为β(Δx)=o(Δx)】怎么能错呢。β(Δx) 是比α(Δx)=Δx 高阶的无穷小，记作β(Δx)=o(Δx)並没有错，错在师先生这次把相应的低阶无穷小α(Δx)=Δx写成Δx≠0。

另外还要请师先生注意，④同②一样，β(Δx)=o(Δx)不能作为一般高阶无穷小定义的等价表示，因为这里Δx表示的是一个特殊的无穷小α(Δx)=Δx，不是所有的无穷小量α都能用此式表示。

所以说，师先生说【β(Δx)=o(Δx) 就成了最原始、最直接、最等价的高阶无穷小的定义的表述．】这当然是完全错误的，只有 β(Δx)=o(α(Δx))，才是 定义中 β=o(α)的等价表示。

师先生所说的【薛问天先生之所以写出 β(Δx)=o(α(Δx))，是恋旧情怀的产物，】还说什么这个式子是【复杂繁琐的式子】，以及无知地认为这是【太笨】等，都完全是错误的胡言乱语。

⑤，这次师先生又多了一个⑤，把β(Δx) 是比α(Δx)=Δx 高阶的无穷小，记作 β(Δx)=β(Δx)。这同③犯有同样的错误。β是函数符号，而o不是函数符号，它表示的是高阶无穷小这个关系 。两个概念的数学含义不同，不能把两者混为一谈随意替换。

师先生说什么【不断地更换字母，想定义几条，就能定义出几条．】完全是对数学的错误认识。数学对符号有严格的规定。对于已经定义过的表示不同概念的符号，不可随意更换。

我在这里还要指出师先生的有些说法是不对的。他说【薛问天先生却认为，o(Δx) 只是比Δx 高阶的无穷小，而不是Δx 的函数．】我说的是这个表达式o(Δx)的含义，不是因为括号中有Δx，就说它是Δx的函数，这个表达式o(Δx)不是函数表达式 。表达式o(Δx)的含义是说它代表的无穷小β是比无穷小α(Δx)=Δx高阶的无穷小，由于定义中说清楚了β和α是同一个自变量的函数，由于α(Δx)=Δx是Δx的函数，当然表达式o(Δx)所代表的高阶无穷小β也是Δx的函数，这点我当然承认。我没有说它代表的高阶无穷小不是Δx的函数，只是说o(Δx)不是函数表达式。

2，回答师先生提的有关高阶无穷小定义中的几个问题。

师先生问问题如下：在定义 β(Δx)=o(Δx) 中：

①，【请问 β(Δx) 是否比 Δx 高阶的无穷小？β(Δx) 中的 β 是否高阶无穷小的符号？然后说出理由．】

答。定义中说得很清楚，当Δx→0时，β(Δx)/Δx→0这个条件成立时，β(Δx) 才是比无穷小 α(Δx)=Δx 高阶的无穷小。第一，必须说清楚是当这个条件成立时才是，条件不成立时就不是。因而β(Δx) 中的 β 不是高阶无穷小的符号。第二，必须说清楚是【是比无穷小 α(Δx)=Δx 】高阶的无穷小，不要简单地说是【比 Δx 】高阶的无穷小。即要说明这里的Δx，不是简单的增量，而是特殊的无穷小，它的函数表示是a=1,b=0的线性函数α(Δx)=aΔx+b=Δx。

②，【请问 β(Δx) 是否 Δx 的函数？β(Δx) 中的 β 是否函数的符号？然后说出理由．】

答，当然是，β(Δx) 是以 Δx 作为自变量的函数，β(Δx) 中的 β 是函数的符号。理由很简单，β是无穷小，任何无穷小都是极限为0的函数，这个无穷小β，它的函数表示指定为β=β(Δx)，其中的β就是函数符号。

③，【请问 o(Δx) 是否 Δx 的函数？o(Δx) 中的 o 是否函数的符号？然后说出理由． 】

答。表达式o(Δx)的含义，不是在说它代表的是【Δx的函数】。是说它代表的无穷小β是比无穷小α(Δx)=Δx高阶的无穷小。o(Δx)不是该高阶无穷小的函数表达式。因而o(Δx) 中的 o 不是函数的符号，而是表示两个无穷小β和α(Δx)=Δx之间的高阶关系的符号。

但是要注意这个高阶无穷小确实是Δx的函数，由于定义中说清楚了β和α是同一个自变量的函数，由于α(Δx)=Δx是Δx的函数，当然表达式o(Δx)所代表的高阶无穷小β也是Δx的函数，这点我当然承认。我没有说它代表的高阶无穷小不是Δx的函数，只是说o(Δx)不是该高阶无穷小的函数表达式。表达式o(Δx)的含义，不是在说它代表的是【Δx的函数】。

3，师先生只知道数学的严格性，並不知数学中，在符号的应用中，也可以有它的灵活性，有些符号可以简写，根据上下文，它们的意思相同是完全允许和认可的。

例如【函数y=f(x)，x∈D】，在上下文明确的认可下可以筒称为【函数f(x)】，【函数f】或【函数y】，所指的都是同一个函数。

师先生，你对此【全称】和【简称】有何看法？你认为把全称【函数y=y(x)，x∈D】，称为【函数y(x)】或简称为【函数y】，所指的都是同一个函数。也认为是【缺陷】吗？把简称写全都是【画蛇添足】吗？

同理，什么是无穷小，无穷小就是极限为0的函数变量，因而无穷小α【称为α】，把它的函数表示写全，写为α(Δx)【称为α(Δx)】，所指的都是同一个无穷小。把无穷小β写全为β(Δx)，所指的都是同一个无穷小。这是简称和全称，是非常正常的事。不是师先生所说的简称是【缺陷】，写全是【画蛇添足】。

明明是简称和全称的事，却说什么【跟【简称和全称】就不再沾边了．你薛问天先生把【简称 和全称】的问题拉过来掩盖自己的错误也就徒劳了．】是不讲道理的乱说。

另外师先生说的【如果人家同济名著先把高阶的无穷小定义为 β(α)=o(α)，再简称为 β=o(α)，这才是【简称和全称】的问题．】

这简直是在胡说，要知道β是无穷小，当我们知道它是Δx的函数时，写全就是β(Δx)，怎么能写成β(α)呢？α是无穷小量，怎么能是β函数的自变量呢？真是胡编乱写不懂装懂，犯了大错。

4 ，回答师先生所提问题等。

1)，师先生所提问题如下： 【在定义式 β(Δx)=o(Δx) 中，薛问天先生已经承认 β(Δx) 既是比Δx 高阶的无穷小、又是Δx 的函数；o(Δx) 只是比Δx 高阶的无穷小、而不是Δx 的函数．我请薛问天先生说出：是Δx 的函数的 β(Δx) 与不是Δx 的函数 o(Δx) 相等的理由？】

师先生对我的观点理解错了。我没有说o(Δx)它代表的高阶无穷小不是Δx的函数，只是说o(Δx)不是该高阶无穷小的函数表达式。表达式o(Δx)的含义，不是在说它代表的是【Δx的函数】。要注意这个高阶无穷小确实是Δx的函数，由于定义中说清楚了β和α是同一个自变量的函数，由于α(Δx)=Δx是Δx的函数，当然表达式o(Δx)所代表的高阶无穷小β也是Δx的函数，这点我当然承认。我没有说o(Δx)它代表的高阶无穷小不是Δx的函数。所以这个问题并不成立。

2)，师先生说我对他【上篇论文中举出的名总统和宠物狗的例子未敢回复，可见该例太恰当了．】

说明只有师先生喜欢讨论什么【名总统和宠物狗的】问题，我薛某对此类同我们讨论的数学问题无关的问题亳无兴趣，所以，对此类谈论我一直是漠不关心置之不理，指放在一边不予理睬，看都不看，当然不会回复。

3) ，师先生的语言逻辑确实存在问题。

师先生说【薛问天先生还说到：【函数 o】，【o 不是函数符号】．这说明薛问天先生又不会说人话了，】

师先生连这么简单的话都听不懂，他所指的我说的【函数o】，是指我说符号o(Δx)中o不是函数符号，其中的Δx也不是【函数o的自变量】，也就是说我是在说Δx不是函数o的自变量中，提到的【函数o】。因为o不是函数符号，所以不存在【函数o】，符号o(Δx)中的Δx，自然也不是並不存在的【函数o】的自变量，因为【函数o】根本就不存在。师先生竟然㸔不懂这个，把说了【函数o】，又说了不存在【函数o】，认为是矛盾，是【打臉】。显然这样的逻辑是完全错误的。

5 ，所谓【不说人话】。

师先生说【我在我的论文 Zmn-1266 和 Zmn-1273 的最后，对薛问天先生的 2 条不说人话的事都做了评论，薛问天先生至今未敢做出具体的回复】。

我查了一下，原来是师先生在问他不知为什么【o(Δx)表示的高阶无穷小】不能用【表示高阶无穷小的符号o(Δx)表示】。这个问题很容易回答，理由很简单。师先生把他不明白的命题说成是【不说人话】是不对的，太不谦虚了。希望改正这种学风。

其实这个问题我早己说清。理由很简单。那就是β=o(α)这个等号並不满足传递律。也就是说当α是一个确定的无穷小时，满足β=o(α)的比α高阶的无穷β可能有多个，而不只是一个。很可能有β1=o(α)和β2=o(α)，但β1≠β2。

师先生清楚了吧，所以对于当α(Δx)=Δx这个特殊确定的无穷小时，等于o(Δx)的高阶无穷小可能很多，究竟是哪个β(Δx)=o(Δx)，这个无穷小具体要由函数β(Δx)来表示，由o(Δx)的表示决定不了，所以【o(Δx)表示的高阶无穷小】不能用【表示高阶无穷小的符号o(Δx)表示】。这同张三是北京人的例子是类似的。表示一个人必须要说出他的名字来，仅说他出生于北京是北京人是表示不了的，因为北京人很多，表示不出他是张三还是李四。希望师先生能动动脑子，想清楚这个简单的道理。

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