跳水运动员水池多深合适？

龚明，中国科学技术大学

我们通常的游泳池只有1.5到2米深，但是如果跳水的话，其跳水深度可能要到3米以上。为了安全起见，比常的10米跳台的水深要5米以上。由此，当我们看运动员跳水的时候，经常会见到这样的现象，他们垂直入射到水里面，很快其速度降为零，并最终浮出水面。那么，为什么是这样呢？这背后涉及什么样的数学和物理呢？

如果我们利用直觉和观察，就可以理解到，运动员之所以可以浮出水面，是因为人体的密度低于水的密度。可以想象一下，如果人体密度和水密度相同或者比水密度大，那么就不可能浮上来了。可见，浮力在其中发挥的重要作用。假设一个运动员从$h=10$米跳台往下跳，重力加速度为$g = 9.8$ m/s，那么他入水的时候的速度为$v_0 = \sqrt{2gh} = 14$ m/s。入水后，除了浮力，它还受到一个水的阻力，其大小和速度有关，即$F = C_d \rho S v^2/2$，其中$C_d$为阻力系数，一般为$C_d = 0.5 - 1.0$，$\rho$为水的密度，$S$为人体横界面，一般为$S = 0.1 - 0.3$ m$^2$。这样我们应该有\begin{equation} m{dv \over dt} = - A  - Bv^2, \end{equation}其中$m$为运动员的质量，一般为50 Kg，$A= (\rho - \rho_\text{human}) g V$为浮力和重力之差，$B=C_d \rho S /2$来自水的阻力，可以计算得到 \begin{equation} v =-\sqrt{{A\over B}}(\text{tan}({\sqrt{AB}t \over m} - \text{arctan}({\sqrt{B} v_0 \over \sqrt{A}})). \end{equation}这个表达式的速度为零的条件为\begin{equation} t^*={m \over \sqrt{AB}} \text{arctan}({\sqrt{B} v_0 \over \sqrt{A}}).\end{equation}利用它可以计算深度为\begin{equation}d=\int_0^{t^*} vdt = {m \over 2B} \ln(1+{B v_0^2 \over A}).\end{equation}显然，如果速度为零，则不会进入水中，距离为零。另外当速度足够大以后，我们看到这个深度和速度的关系为$d\sim \ln v$，所以即便是速度很快，深度也不会显著增加。让我们假设一个速度比较小的情况，这个时候有\begin{equation}d =  {m \over 2B} \times {Bv_0^2 \over A} = {m v_0^2 \over 2A} ={K \over A}. \end{equation}其中$K = mv_0^2/2$为动能。这个结果是显然意见的，因为当速度很小的时候，它速度降低为零将完全由浮力和重力之差做功决定，所以有$Ad = K$。这是因为这个时候，$B v^2 \ll A$，可以忽略不计。

接着，让我们把具体的参数代进入，看看这个高度是多少。代入具体的参数，$m=50$ kg,  $A = 0.1 mg$ （即0.1倍体重重力），$S = 0.2$ m$^2$，以及$h = 10$ m, 可以得到进入的深度为 1.8 - 1.9 m。如果取面积$S = 0.1$ m$^2$, 那么这个深度为3.2米。如果是27米跳台，这个深度会增加到3.8米。显然，这个深度远小于尺子的水的深度，所以如果取池子的深度为$5$米，是足够安全的。在这个分析中，深度$d$和速度的$\ln v_0$的关系，是本文的核心。

为什么写这篇文章？最近在看大学物理的《力学》，发现里面有一个题目，估算深度为5.7米 - 6.3米。这个结果显然和一些经验是不一致的。我们的很多教材，在参数选择上缺乏严谨性，所以给出了一些似是而非，让人哭笑不得的结论。写作过程中，我发现这个理论也可以用来描述弹道导弹钻入泥土或者岩石中的厚度，这些问题将另外单独讨论。需要强调的是，我们上面得到的公式并不是新的，很早就有人得到了这些结果了；感兴趣的读者可以直接利用deepseek得到。

查：我国运动会的收，10米跳台比赛跳水池面积为25×25米，池深不少于5.5米。已知全红婵从离水面的高度为H=10m的平台上跳水,她在空中的运动可以视为自由落体运动,落水后做匀减速直线运动,当速度为零时入水的深度为4m。【这一段的内容来自网络，它可能来自某个高中试卷的题目】