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[讨论，科普] 什么是数学证明？（关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

已有 198 次阅读 2025-9-18 16:55 |个人分类:资料与科普|系统分类:科普集锦

[讨论，科普] 什么是数学证明？ （关联：演绎、归纳、完全归纳、合情推理）

一、所有的数学证明都是演绎法

除了直接的“演绎推理”之外，完全归纳法被认为是演绎推理的逆向归纳法。

数学归纳法 Mathematical Induction，是一类特殊形式的完全归纳法。

苏联《数学百科全书》词条“证明 Доказательство”：

苏联数学百科全书 Доказательство_拉曲线（大）.png

其汉译、英译见：

2025-09-08 22:06，[资料，科普] 《数学百科全书》词条“证明”，以及数学“证明”的传奇：当证明长度增加时，错误的概率也增加了。

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1501040.html

二、推理：归纳、演绎

推理通常可以分为两种：

① 演绎推理 deductive inference。是根据一般规律得出具体结论的过程，是一种从一般到特殊的推理方式。

② 归纳推理 inductive inference。是从具体现象中归纳出一般规律的过程，是一种从个别到一般的推理方式。

2.1 归纳

以个别性或特殊性知识陈述为前提推出一般性陈述的结论的推理。

归纳推理的结论超出了前提陈述的范围（完全归纳推理除外），所以，当前提为真时，结论未必为真。

2.2 演绎

由一般性命题（前提）推出特殊性命题（结论）的逻辑方法。与归纳法相对。又称演绎推理。

演绎推理的特点在于如果推理形式正确（有效）且前提都真，则结论必然真。

演绎推理的结论早已包含在前提之中了，实际上是已知的，推理过程只不过是把前提中隐含的信息明朗化，是对前提中已有内容的某种重复。因此，演绎推理推不出新知识。

2.3 演绎（右半球）、归纳（左半球）

个体在完成演绎推理任务时，大脑右半球更活跃，而在完成归纳推理任务时，大脑左半球更活跃。因为大脑左半球主要负责个体的言语功能，因此这个研究结果也表明，演绎推理和言语活动是相对独立的，而归纳推理需要基于言语活动。

三、归纳与演绎的统一 unity of induction and deduction

归纳是演绎的基础，作为演绎前提的一般性原理是通过归纳从经验材料中概括出来的。

演绎是否符合客观真理，需要通过归纳求得检验，用新的事实来考验演绎，丰富并完善它。

参考资料：

[1] 2023-07-20，推理/inference；reasoning/诸葛殷同撰，张建军修订，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=135463&Type=bkzyb&SubID=104156

[2] 2022-02-18，推理/reasoning/姚翔，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=136216&Type=bkzyb&SubID=42601

[3] 2022-12-23，归纳推理/inductive inference/杜国平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=231490&Type=bkzyb&SubID=104156

[4] 2024-12-13，归纳推理/inductive reasoning/李小琳，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=216652&Type=bkzyb&SubID=81555

[5] 2023-08-18，归纳法/inductive method/张倩苇，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=117164&Type=bkzyb&SubID=49198

[6] 2025-08-12，归纳逻辑/inductive logic/张家龙撰，任晓明修订，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=122326&Type=bkzyb&SubID=104156

19世纪中叶以后，归纳方法的研究和数学里的概率统计相结合，得到迅速发展。现代不同的科学领域所应用的归纳方法不尽相同。如在设计科学实验时用培根、密尔的归纳方法与数理统计相结合的方法，在医学和经济学中多应用数理统计。现代归纳逻辑在理论方面的一种发展趋势，就是用数理逻辑的工具对归纳推理进行系统的、形式化的研究，构造出各种归纳逻辑的公理系统。帕斯卡概率逻辑（概率逻辑）和非帕斯卡概率逻辑就是其中的两种。

[7] 2022-01-20，不完全归纳推理/incomplete inductive inference/张晓芒，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=118654&Type=bkzyb&SubID=104156

不完全归纳推理的特点，是通过对一类事物的部分对象的考察，推出该类事物全部对象的一般性结论，这就超出了前提的范围。这种概括而成的结论只具有或然性。但由于不完全归纳推理突破了完全归纳推理的局限性，能够从较少的事物现象中概括出普遍的原理和规律，因此对于人类认识范围的扩大有重要意义，是人类探索新知识的重要工具。根据前提与结论之间的联系方式，不完全归纳推理主要包括简单枚举推理、科学归纳推理、统计推理等。

[8] 2022-01-20，完全归纳推理/complete inductive inference/张晓芒，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=118651&Type=bkzyb&SubID=104156

完全归纳推理由前提到结论之间是一种必然性推理，所以现代逻辑学认为完全归纳推理不属于归纳推理范围，属于演绎推理的范围，是演绎推理的逆向归纳法。

[9] 科普中国，2021-12-31，数学归纳法

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=285890

数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

[10] 2023-08-08，演绎法/deductive method/张倩苇，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=121222&Type=bkzyb&SubID=49198

[11] 2022-01-20，演绎推理/deductive inference/，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=135575&Type=bkzyb&SubID=104156