全新数学让古老的几何问题起死回生

使用一种相对年轻的理论，一组数学家开始解答萌芽于数学创始时期的问题。

Joseph Howlett 撰文

左     芬     翻译

【译注：原文2025年9月26日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】

公元前三世纪，（佩尔加的）阿波罗尼奥斯提出了这一问题：给定三个圆，能画出多少个圆跟它们每个都相切于一点。人们花了1800年才给出答案：八个。

这类问题，也就是寻求满足一组几何条件的解的数目，受到古希腊人的钟爱。接着它们又持续迷住了数学家们数千年。在一个三次曲面上有多少条直线？在一个五次三维流形上有多少条二次曲线？（分别是27和609250。）“这些问题虽然理解起来容易，但其实非常困难。”伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学家Sheldon Katz称。

随着数学家的推进，他们想要计数的对象也变得越来越复杂。它成为了一个独立自主的研究领域，并被称为枚举几何。

看起来数学家们能想到的枚举问题是无穷无尽的。可是到了20世纪中叶，数学家们开始丧失了兴趣。几何学家放下了有关计数的具体问题，转而聚焦于更一般的抽象概念和更深刻的原理。除了在1990年代有过短暂的复兴之外，枚举几何似乎被彻底搁置起来了。

Sheldon Katz被枚举几何与弦理论各自问题之间的联系所吸引。

这一状况如今可能会有所改变。一小撮数学家弄清了如何将一种已有数十年之久的理论应用到枚举问题上去。这些研究者不仅解决了原始问题，还为无穷多种奇特数系中这些问题的相应版本提供了解答。“如果你能做出某件事情一次，它会引人瞩目，”斯坦福大学数学家Ravi Vakil说道，“如果你可以一而再，再而三地做出来，它就成了一种理论。”

这一理论促进了枚举几何领域的复兴，并将它关联到包括代数、拓扑以及数论等其他研究方向——从而为它注入了新颖的内涵和魅力。这一工作也为数学家提供了全新的观点去看待各种各样的重要数系，远远超出他们最熟悉的那些。

与此同时，这些结果也引发了很多新的问题。理论给出了数学家寻求的那些数，但它也带来了额外的信息，而这些信息数学家们还难以解释。

这一谜团激发了新一代的人才参与其中。他们将携手把计数带进21世纪。

计数发展之路

枚举几何的所有问题本质上都归结为对空间中的对象进行计数。可是哪怕最简单的例子也会很快变得复杂起来。

考虑一张纸上分开一定距离的两个圆。你能画出多少条直线，跟每个圆都接触刚好一次？答案是四：

你可以把这些圆移得更远，或者把一个缩小到一半大小，答案不会改变。但是如果把一个圆移到跟另一个相交，就像Venn图那样，那么答案会突然改变——从四变到二。将小的圆移到大圆内部，那么答案会是零：你没法画出一条直线跟每个圆只接触一次。

这种不一致性真的让人感到痛苦。在这个例子中，还只有三种不同的构型需要考虑，但往往问题会复杂到让研究者无法处理每种可能的情况。对于一种情形你或许能找到答案，但当你改变条件时你完全不知道它会如何变化。

在实际中，数学家们会试着把问题的几何约束写成一组方程，然后弄清楚有多少解能同时满足所有这些方程。可是哪怕他们知道解的数目不会始终保持恒定，他们写下的方程并没有什么特性会提示他们，一个新的构型出现了，会给出一个不同的答案。

只有一个例外——当问题是以复数定义时。复数有两个部分，一个“实”部，就是一个普通的数，和一个“虚”部，是一个普通数乘以-1的平方根（数学家称之为）。

在上述关于圆和直线的例子里，如果询问你的方程有多少复数解，你得到的答案始终会是四，不管你关注的是什么排布。

到大约1900年时，数学家们已经发展出了求解复数王国里任何枚举几何问题的技术。这些技术不需要区分不同的构型：无论数学家得到的是什么答案，他清楚它对任何构型都适用。

可是当数学家只想找出一个枚举几何问题的比如说实数解或者整数解的数目时，这些方法就不再奏效了。当他们在复数以外的任何一种数系中求解一个枚举几何问题时，不一致性会再次出现。在这些其它数系中，数学家们没法系统地处理枚举问题。

与此同时，数学家们局限于整数或实数时遇到的不断变化的神秘答案使得枚举问题成为了探索这些其它数系——更好地理解它们之间的差异性以及它们内部的对象——的良好工具。数学家认为发展处理这些情况的方法可以开启全新的、更深刻的数学分支。

这其中就包括数学伟人David Hilbert。在列举他心目中20世纪最重要的未解问题时，他纳入了这个：将求解枚举几何问题的技术更加严格化。

在1960和70年代，Alexander Grothendieck及其后继者发展了新颖的概念性工具，这些工具不仅有助于解决该Hilbert问题，还为现代代数几何领域奠定了基础。由于这些概念相当地抽象，对于非专家人士而言极为费解，使得数学家们在致力于理解它们的过程中，最终反倒把枚举几何抛之脑后。此外，当试图解决未解的枚举几何问题时，“我们的技术撞到南墙了，”Katz说。枚举几何从未成为Hilbert希冀的灯塔；倒是其它的研究路线在照亮着数学家前行。

枚举几何不再像是一个核心的，活跃的研究领域。Katz回忆起1980年代他还是一个年轻教授时，被警告过要远离这一主题，“因为它对我的职业生涯没啥好处。”

不过数年后，弦理论的发展暂时地让枚举几何焕发了第二春。弦论中的许多问题可以表达成计数：弦理论家想要弄清给定类型的不同曲线的数目，因为它们表征着弦的运动——而弦则是10维空间中的一维物体，被视为宇宙的构建模块。枚举几何“再次异常流行起来，”Katz说道。

不过这没能延续多久。一旦他们的问题得到解答，物理学家就转移目标了。数学家依然缺乏在其它数系中处理枚举几何问题的一般性框架，并且也没啥兴趣去发展出一种来。其它领域看上去更靠谱一些。

就在这种情况下，数学家Kirsten Wickelgren和Jeesse Kass突然得到了一种领悟：或许枚举几何正好能提供Hilbert所期望的那种深刻见解。

鸟瞰

Kass与Wickelgren在2000年代晚期相识，并很快成为了常规的合作者。在很多方面，他俩的行为举止可以说有天壤之别。Wickelgren很热情，但内敛而审慎。每当我让她确认我是不是正确理解了一个给定的说法时，她会停顿片刻，接着给出一个肯定的答案：“是的，没错。”——她其实想表达的是：“非常对，就是这样！”与此相反，Kass则狂热得有些神经质。他很容易兴奋起来，并且说起话来像连珠炮似的。

Kirsten Wickelgren使用一套老练的数学技术来探索不同数系的本质。

不过Kass和Wickelgren合作得很好，并且有很多共同兴趣——包括热衷于将几何的触角延伸到其它领域中去。

2015年，Kass路过Wickelgren居住的亚特兰大市，于是决定去告诉她自己最近的痴迷：他想要重返受限数系中的枚举问题这一久已荒芜的征途。

他带来了看起来相关的一大堆粗糙想法和一些旧文献。“我意识到这有点像是个天上掉馅饼的项目，”Kass说道，“她很礼貌地向我解释，我所有的想法全都是荒谬的。”接着他提到1977年的一个结果，于是Wickelgren突然间“灵光一闪”。

在那篇1977年的文章里，数学家Harold Levine与David Eisenbud给出了一个涉及计数的证明。他们最终得到了一种特殊类型的表达式，所谓二次型——一种简单的多项式，其中每项的幂次加起来都是2，例如，或者。

Eisenbud和Levine意识到，他们感兴趣的计数简直一目了然。答案就在于二次型的“符号差”：当二次型以一种特定方式写出来的时候，正项的数目减去负项的数目。（例如，二次型有两个正项，和，以及一个负项，，所以它的符号差是2-1，也就是1。）

这就是Wickelgren的灵感所在。在Eisenbud和Levine发表他们证明之后的数十年里，数学家们构想出了一种看似毫无关联的框架，所谓动机同伦论。这一框架将方程的解视为特殊的数学空间并研究其间的关系，因而既巧妙又强大。别的且不论，它给予了数学家一种方法来刻画特定种类二次型之间的关系。

Jesse Kass在探索他所谓“天上掉馅饼的项目”的过程中，让最古老的的一种数学问题重获生机。

听Kass说起，Wickelgren立刻意识到Eisenbud和Levine曾经提出过这些二次型中的一种。这两位数学家在没有意识到的情况下已经在使用动机同伦论了——并且是它给出了他们寻求的答案。

尽管Eisenbud和Levine所研究的并不是枚举几何问题，但在性质上足够相似——毕竟它也涉及计数——从而引发了Kass和Wickelgren的思考。或许他们也能利用动机同伦论的框架来解决自己的计数问题。而由于动机同伦论可以广泛地应用到任何数系，或许它能解决在这些情况下困惑了数学家许久的枚举几何问题。

深层视角

回想一下，枚举几何问题通常需要找出满足一组方程的解的数目。Kass和Wickelgren的想法是不要试图去直接求解这些方程——这在复数以外的情况下很少能奏效。取而代之，两人将（处在一个给定数系中的）一个给定枚举几何问题重新表达成方程的空间以及刻画这些空间之间关系的函数。

把问题以这种方式重新表述后，他们就可以对它应用动机同伦论了。这使得他们能算出一个二次型。现在他们要弄清这个二次型里包含了原始问题里的什么信息。

当应用到复数时，他们意识到所要做的就是数出算得的二次型里不同变量的数目。这一数目就给出他们的枚举几何问题里解的数目。当然，这在他们看来不是特别有意思：数学家已经有很好的技术来得出这一答案了。

于是他们转向其它数系。对于实数而言，情况会有点微妙。一旦他们在这一设定下计算出二次型，他们必须转而考虑它的符号差。并且符号差不会给出准确的答案：它给出的是答案可能取的最小值。也就是说，对于任何涉及实数的枚举几何问题，他们找到了一种办法来计算出一个下界——一个不错的出发点。

不过最激动人心之处在于，当在其它更奇怪的数系中计算出二次型时，他们也能搜集到重要的信息。拿以所谓时钟算术进行运算的七个数字组成的循环体系为例。在这一体系中，7+1等于1而不是8。他们在该体系中把二次型重写成一个数字的阵列，也就是所谓矩阵。接着他们算出一个叫行列式的量，并证明：尽管它不能给出解的总数，它确实可以给出满足特定几何条件的那些解所占比例的一些信息。

2017年，Kass和Wickelgren就枚举几何中最著名的定理之一——一个三次曲面最多包含27条直线——展示了这一点。使用他们的新方法，他们证明在复数情形下答案确实是27。对于实数他们复现出了一个已知下界——并对每种有限数系都提供了全新的数值信息。这些全都一起打包给出来了。

一个著名的数学定理说的是，在一个光滑三次曲面——由最大幂次为3的一个方程定义出来的一个扭曲形状——上总可以画出27条直线。

这是数学家首次得以在复数和实数之外的数系里对于枚举几何问题给出重要的结果。此外，尽管问题的答案可能随着数系以及其中形状的构型而变化，数学家首次找到了一个理论可以囊括所有这些潜在的不同答案。

“它不仅仅是关于实数或者复数，”Wickelgren说道，“这些只不过是在任何数系中都成立的结果的特殊情形罢了。”

而这还仅仅只是开始。

全新开始

在那之后的年头里，Wickelgren、Kass以及其他人使用动机同伦论重塑了大量其它枚举问题，并在各种数系中推导出相应的二次型。

“所有几何构造通常会给出整数答案。”杜伊斯堡-埃森大学数学家，一直在独立探索相同想法的Marc Levine说，“现在你可以【把问题】喂进去，得到的东西会给你一个二次型作为答案。”

在Kass和Wickelgren的原始工作之后，数学家们已经就不同数系里的二次型能给出什么信息取得了大量进展。不过，有时候他们不确定该从二次型里搜寻什么。“对于它能给出的确切信息我们仍然有点困惑，”Levine说。还有大量内容有待解释。

“当前，”南加州大学的Aravind Asok称，从二次型中搜集枚举几何问题的信息“是一个系统产业”。它也是具体和可行的，而这一点吸引了年轻数学家们的注意，他补充道，“它令人兴奋，因为学生们可以比较快速地有所产出。”

这种具体性在如今抽象的数学王国里是不常见的。“数学一直在抽象性上节节攀升，有时候我觉得自己都不知道在说些什么了，”Wickelgren的第一个研究生，如今已是德国达姆施塔特大学教授的Sabrina Pauli称。不过这一全新的研究领域让她得以从高层次的抽象性上落回到实地。

Wickelgren、Kass、Levine与其他人最近使用他们的技术重温了与弦论相关的枚举问题——不过是在全新的数系和设定下。

在所有这些情况中，数学家们都找到了一种全新的方式来探索点、线、圆以及更复杂的对象在不同的数字体系中的不同表现方式。Kass和Wickelgren复兴的新版枚举几何为窥探数字的特定结构提供了一个匪夷所思的窗口。“我很难不被这样一个问题吸引住：一张纸上有多少条有理曲线？”Wickelgren说道，“这是一张纸的数学实在性的基础部分。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/new-math-revives-geometrys-oldest-problems-20250926/