物理启发的全新证明触及无序之边界

数十年来，数学家很难理解同时反映有序性和随机性的矩阵，比如用来建模半导体的那些。一种全新的方法有可能改变这一状况。

Leila Sloman 撰文

左   芬     翻译

【译注：原文2025年8月15日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】

数学家们长久以来就好奇随机性如何阻止流体的流动，并将微粒囚禁在某个位置。

谜团是这样出现的：1950年代，贝尔实验室一位名叫George Feher的物理学家将微量其它元素，例如磷或砷，注入到硅中。当他只加入一丁点时，电子可以在得到的材料中畅行无阻。可是当加入更多时，材料的内部结构变得更加随机，从而阻碍了电子的运动。你可能预期这种变化会逐渐发生，其实不然。当浓度超过一个特定值时，这一阻碍会突然发生，并囚禁住电子。于是它们的移动会完全停止。

“它一直导电，导电，导电，然后不再导电了，”伦敦大学国王学院物理学家Yan Fyodorov说道。有趣的是这一急剧变化的行为让人想起水在零摄氏度时突然冻结成冰的相变。“物理学家喜爱相变。”Fyodorov说。

不久，Philip W. Anderson——贝尔实验室另一位物理学家——发展了一个模型来刻画这种令人不解的行为。他希望严格证明他的模型的行为跟Feher的实验观测恰好是一样的。也就是说，他想证明，一旦材料的结构足够随机，它的电子就会从自由运动的或者说“离域化的”，转变为完全困住的，也就是“局域化的”。

部分因为这一工作Anderson后来获得了诺贝尔奖，而在他的获奖演说上他述说，努力去找到这一证明让他“在所有人眼里都变得讨厌”。

可是一份严格的证明最终还是对他避而远之。

它同样也逃避了其他研究者数十年，不过就在去年，研究人员就此问题公布了一系列结果，获得了自1980年代以来的最显著进展。

Philip W. Anderson构建了一个模型来刻画半导体材料中电子的行为。自那以后，数学家一直希望证明它准确地反映了实验中观测到的某些性质。

他们的技术不仅仅在分析Anderson这类模型的电子行为上是有希望的。这一工作还涉足了一个长期任务：理解不完全随机也不完全有序的体系。

“我实在太激动了，”哈佛大学的姚鸿泽说，他生涯的大多数时间都在研究这一问题。说到这些具有挑战性的种种模型，“我觉得这是头回找到了一种可能会产生巨大影响的方法。”

厚此薄彼

Anderson把材料视为一个格子的点，让电子可以在上面随机地穿梭。如果电子穿梭得很频繁，材料就导电。而如果它无法穿梭，就绝缘了。

要理解一个电子的全部行为，你可以使用一个数字的阵列，也就是所谓矩阵，来计算一些数值序列。这些数值序列被称为本征函数。

在一个相对纯粹的材料中，几乎所有本征函数中的数值通常都很小。这告诉你，电子会有大体上均等的几率穿梭到格子上各个不同位置。它是离域化的。

姚鸿泽花了数十年来研究矩阵中随机性与有序性的相互影响。

Anderson说过，要描述具有足够随机性的材料，每个本征函数会有一些数值突然变得非常大，而其它的下降到0。这意味着，电子现在被囚禁在格子的某个特定区域内。它是局域化的。

问题在于，对于Anderson使用的这种类型的矩阵，计算其本征函数相当困难。它们尴尬地处在常规方法的适用范围之外。

这就是带状矩阵介入的地方。

“带”指的是沿着矩阵的对角线方向零星分布的数字——Anderson矩阵的特征。如果矩阵仅有的非零数字都在从左上角到右下角的线上，这个矩阵的带宽就是1。围绕这一对角线的额外非零数字会让带变宽。在Anderson的模型里的矩阵总是有着非常窄的带。这类窄带矩阵的本征函数难以计算。

带宽表现得就像是电子移动远近的一种反映：如果带很宽，电子就可以传送到格子上比较遥远的点上去。（这并不是一个非常现实的模型，但是它仍然很有用。）

在Anderson的矩阵里，一些元素是随机的，而其它的不是。可是在1990年，物理学家们注意到，所有元素都随机的带状矩阵也会呈现局域化转变：宽带意味着离域电子，而窄些的带意味着局域化电子。不同于Anderson模型，这一转变是缓慢的，而不是突然的。不过研究者仍然可以探测到一个阈值——将离域态与局域态分离开来的一个带宽。因此，就跟Anderson模型一样，数学家们想要定下这一阈值。也就是说，他们想要找出最苗条的带状矩阵，使得本征函数的数值仍然都很小。

这仍然很困难，因为带越窄，对矩阵的本征函数加以分析就越困难。不过相比于计算Anderson窄带矩阵的本征函数，这很可能还是容易一些。而一旦数学家证实了这一新阈值，或许它会有助于理解那些更加困难的矩阵。

失控

发现带状矩阵这一转变的物理学家们是从一个更加简单的模型着手的。他们把材料想象成一根无限细的电线——该问题的一维版本。接着他们使用数值试验来定出局域化与离域化之间的精确阈值。

尹骏之前是物理学家，最初希望把自己的研究聚焦于气体的量子行为。可是他很快被一个新问题吸引住了，其中涉及随机矩阵和半导体的一种模型。

可是这些试验并不能等同于数学证明。“它们是基于完全不受控的近似的，而这些近似尽管有道理，往往很难严格化，”日内瓦大学的Antti Knowles称。因此数学家们仍然把带状矩阵保留在他们的待办清单里，希望把这些理论变成定理。在这些人中间就有姚鸿泽和他那时的博士后，尹骏。

尹2008年在普林斯顿大学物理系获得博士学位，之后就加入到姚的小组。两人从一维情形出发。到2013年，通过与Knowles及László Erdös合作，他们得以证明，一旦带非常宽，绝大多数本征函数是离域化的。可是这一宽度仍然比物理学家预言的阈值大很多。

在数年里，他们探索了种种方法来证明本征函数在更小的带宽下仍然很小。他们甚至还迂回到了问题的七维版本，希望能从中得到数学上的洞悉，尽管这一设定跟物理学已经没啥关系了。

可是经过了十年的努力，他们仅仅朝着目标靠近了一丁点儿。

看上去他们已经穷尽了所有手段。接着，2024年春天，他们意识到此前忽视掉的一种方法可能终究会有效。

噩梦连连

姚和尹最初不予理会的方法是随机矩阵理论中陈旧且老掉牙的：小心地微调一个顽固的、困难的矩阵来得到一个新矩阵，使得它更易于处理。这将一个困难问题——研究一个带矩阵的本征函数——转化为两个更加易于处理的。首先，数学家需要证明他们篡改矩阵的过程不会太影响其本征函数。接着他们得证明新矩阵的本征函数很小——使得电子是离域化的。

不过当姚和尹将这一技术应用到带状矩阵时，他们在理解新矩阵的本征函数时仍然遇到了麻烦。他们把分析归结到了最后一步：得证明一个特定方程的解很小。

可是在试图求解这一方程时，两人陷入了噩梦般的循环之中。他们本以为能得到一个明确的答案，结果却得到了一个全新的，更加棘手的方程。而当他们试图求解那个方程时，又得到了更加难以解决的问题。

“计算变得越来越复杂，于是你会说，真的吗？这就是你的计划？啥时候你才能求解它？”尹说道。

他摆弄了这些方程好几个月，并且画了超过200页的图去试图理解它们。“你一点一点地找到想法，”他说，“花了很长一段时间才找对方向。”

经过几个月的艰难探索，他和姚弄清了如何简化这些方程。这使得他们得以完成证明：一旦带宽超过预言的阈值一点点，本征函数的数值就必然会很小。这就确保了电子是离域化的。

这是自Anderson引入他的模型以来，在离域化现象上取得的最重大证明。

十六个冬天

姚和尹的证明处理的是一维模型。有了这一新结果在手后，他们立即着手去处理高维带状矩阵的阈值。他们招募了姚的研究生Sofiia Dubova和他的博士后Kevin Yang来帮忙。只用了几个月，这个团队就把姚和尹的技术适配到了两维格子里穿梭的电子上。并且就在上个月，姚、尹、Dubova和杨帆（男）在三维情况下——对我们三维物理实在最好的建模——也取得了显著的进展。

数学家们在理解仅有一丁点随机性的矩阵上一直苦不堪言。最近这一连串工作为其处理方法提供了新颖的见解。研究者们眼下希望把姚、尹及其合作者发展的这套方法应用到各种各样的情形中去。“总的来说你可以定义无穷多种不同的变体，并应用这些技术，”Knowles说道。

Sofiia Dubova（左）和Kevin Yang使用概率论来理解电子在材料中是会被困住还是不会。

当然，对于这一领域内的数学家而言，使用带状矩阵理解Anderson模型的前景让所有其它目标都黯然失色。“每个人都大致了解这些问题，也知道它们用常规技术是处理不了的，”哥伦比亚大学的Amol Aggarwal说道，“现在它们突然之间能被理解了，这使得人们对于一般的带状矩阵也激动不已。”

为此，尹和杨帆将他们的方法用到了另一类与Anderson模型契合程度更高的矩阵上。而在六月，Erdös和Volodymyr公布了一篇文章，对于更广泛的一类带状矩阵再现了姚和尹的一维结果。他们的证明或许对于更实际的电子行为模型也是有价值的。

半个世纪以来第一次，数学家们对于解决Anderson原始问题满怀希望。回过头看，尹想起曾经在2008年问过Erdös，他们的团队能否在冬天结束的时候完成关于带状矩阵的文章。“他想开个玩笑，所以说，哪个冬天？”尹说道，“我可没想到整整过了十六个冬天才最终完成它。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/new-physics-inspired-proof-probes-the-borders-of-disorder-20250815/