序：

关于数学“寻根”存在两个异议，一个是认为数学的根不就是熟知的“数”之初端么有什么难寻的呢？另一个是说，数学何必一定要寻到“根”？过去一直不知道根不也是发展的很好吗？不能不说形式上两种说法都有一定道理。

的确，如果说“根”就是令其生长发育的初短的话，数学的“根”概念的确还可以广泛一些呢。

特别在回答了“实轴结构之谜”获得数学之“根”的现在，也可进一步看到，数学之“根”概念的确可有“直观”和“抽象”两种（合起来可叫做广义根吧），正好分别对应着上述两种质疑的回答（见“2”“3”）。

1、实数结构的本质揭示（以直观的实轴为“模特”）

已知，是“二象论”揭示出实轴具有虚实二象结构，实轴=（有理数集，无理数集）=（实象，虚象），特别知道“二象”间具有深刻的空间层次差异，以致无理数集的空间界定（即使在本论中）也是迟迟才完成的。

在此基础上进一步获得，数学是建立在有理数集上的，无理数集只是它的背景和辅助（或可说数学是站在有理数集的“地”上背靠着无理数集的“墙”成长着的）。

亦即，实数的虚实两个空间分别（从不同角度）都对数学的“根”做出了贡献（如下），从而可谓共同构成了数学广义的“根”。

2、数学“直观”的根    

已知，数学的本质是数集+关系，或即“二元式”（数集，关系），数学正是随着二象间的“互动”而扩展升华着的。

其中基本的数集是“自然数”，基本的关系（运算）是“加”及其逆运算“减”，从而使得自然数扩展到整数了（逆运算总是拓展的动力）；

进一步是“乘”及其逆“除”，使得整数扩展至有理数了（成为实数“二象”中具有稠密性的实象有理空间，也是从线性扩展至非线性了）；

再进一步便是“乘方”与“开方”（产生了代数拓展），一是产生了“无理数”从而有了挑战数学的“无穷”概念，二是产生了虚数”i”（基于其旋转特性）从而有了宽阔的复数理论及调和分析理论等等；

再进一步是“指数”与“对数”（产生了函数升华）从而有了更为宽广的函数理论，比如实变函数、复变函数、代数函数和超越数研究等，此外，更有“对数理论”（比如对其指数、底数、真数“三变域”作创新和拓展，路子更广，如当前有个即将面世的“圆对数理论”即是一例）；

再进一步是微积分学（产生了分析学的拓展）可谓泛及整个现代数学的了（免赘）。

总之，从实数集的二象结构来说，或从已知的“数学是建立在有理数集上的”来说，有理数集对于数学的“根”自然应该是首当其冲的了，同时也简单，那就是“自然数”。

从这点上说质疑者的质疑也是不无道理的，不过这只是问题“平凡”的一面（本质性的还在于非平凡的如下数学倚靠的“墙”）。

3、数学“抽象”的“根”

数学之所以把“根”的注意力集中到这里，直接说来是系列历史性“谜题”的导引，根本上说来是“无穷”的本质亟待揭示。

“谜题”之所以成为历史性累积，就在于这里存在最神秘、最深刻的本质，需要突破性思维才能发掘。

尚需指出的是，质疑者认为“没有根数学同样在发展”是欠妥的。

首先，虽然（形式上）数学不是每一项都直接联系着此“根”，但是历史积累的谜题总得回答，否则就不能说是在正常发展了；

其次，现在知道了“根”就是数学整体的逻辑完备“点”，非同小可，特别是揭示出“无理数集”的无点概念、无逻辑等奇特本质，其深远意义是不言而喻的了。

特别的，正是数学的“寻根”挖掘出，原来它是直接通联逻辑之根、宇宙之根的，是直接通联终极大自然的呢。

总之，当初把数学的“根”定位在抽象的“无穷”本质上是具有先见之明的，数学之根不在其直观面，而是在抽象的（让正统数学不可直达的）深刻处。