Zmn-1082 薛问天: 变量相同而微分不同。微分是函数的微分不是变量的微分 ，评新华《1081》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新华先生的《Zmn-1081》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

变量相同而微分不同。微分是函数的微分，

不是变量的微分，评新华《1081》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

关于一，二和三有基本共识，但四和五有不同意见。

一，关于互为反函数的两个函数。

函数𝒚=𝒇(𝒙)与函数𝒙=𝒈(𝒚)是互为反函数的两个函数，它们有如下特点。变量x和变量y是这两个不同函数共有的变量。x是函数𝒚=𝒇(𝒙)的自变量，y是函数𝒚=𝒇(𝒙)的因变量。y是函数𝒙=𝒈(𝒚)的自变量，x是函数𝒙=𝒈(𝒚)的因变量。函数𝒚=𝒇(𝒙)与函数𝒙=𝒈(𝒚)互反，从而其函数关系的映射是双射，是一一对应。

二，函数表达式可以看成是方程式，但含义不完全相同。

互为反函数的函数𝒚=𝒈(𝒙)和函数𝒙=𝒈(𝒚)，它们的函数表达式都是等式，所以这两个函数表达式可以看成是两个方程式。但是由于它们互为反函数，所以这两个方程式实际上是一个等价的方程。当你把它看作是方程还是看作是函数，它们的含义是不完全相同的。看作是函数，它具有的是一个确定函数的特性，有明确的自变量和因变量，有确定的映射关系。如果把它看作是方程，它具有方程的特性。是统一的一个等价方程，它可以给定多个隐函数，这些隐函数中有以x作自变量的函数，也有以x作因变量的函数不等。

三，在数学上【方程】和【函数】是两个不同的概念。

【方程】F(x.y)=0和【函数】y=f(x)，x=g(y)，虽然涉及的都是变量x和y及其关系。但从概念上讲是不同的概念。从具体内容上讲，也有一定的不同。

【方程】F(x.y)=0，不涉及自变量和因变量，而且变量x和y之间的关系是一般的【关系】。

【函数】y=f(x)，变是x是函数的自变量，变量y是函数的因变量。而且变量x和y之间的关系是x到y的映射。

【函数】x=g(y)，变是y是函数的自变量，变量x是函数的因变量。而且变量x和y之间的关系是y到x的映射。

在数学上我们知道一般的【关系】和【映射】是不同的数学概念。满足单值条件的【关系】，才是【映射】。

因而在数学上【方程】和【函数】是两个不同的概念，不容混淆。从概念上直接说【函数是方程】或【方程是函数】都是不对的。′

教材中明确说明，是把【方程给定的函数】称为【隐函数】和【显函数】，并没有把【方程】称为【隐函数】和【显函数】，所以说【方程是函数】是错误的。

另一方面，虽然函数表达式是等式，可以看作是方程式。但是你把它看作是函数和看作是方程，它们的具体含义也是不完全相同的。所以也不要随意说【函数就是方程】。

四，关于关于对互为反函数的微分问题，

4.1)，新华先生错误地理解了张景中先生用算子对微分的解释。

张景文先生用算子来解释【微分】和【差分】。张景中先生把【微分】d看作是把一元函数映射到二元函数的算子，定义为d: f(x)→f´(x)h，从而函数y=f(x)的微分就是df(x)=f´(x)h。

关于自变量的微分，张景中认为【传统习惯说的自变量的微分，是指对恒等函数I(x)的微分】，即dI(x)=I´(x)h=h，简写为dx=h。

同时把【差分】Δ，也看作是一个把一元函数对应到二元函数的算子，定义为Δ: f(x)→f(x+h)-f(x)，同样把对自变量的差分看作是，对于恒等函数I(x)=x实施差分算子，则得到ΔI(x)=x+h-x=h，即可简写为Δx=h。

把差分Δx=h代入到前面的式中，这就是张景中先生对微积分中函数因变量的微分dy=f´(x)Δx，和函数自变的微分dx=Δx，的算子解释。

这就是张景文先生用算子方法对微积分中的函数y=f(x)的因变量微分和自变量微分的定义所做的他的解释。解释的结果内容同原有的微分定义完全一样，可見他对微积分中微分的定义是充分肯定的，并未有絲毫否定的意思。

4.2)，但新华先生却对微积分中微分的定义完全持否定的意見。他说【有人就是喜欢教材中 “𝒅𝒙=∆𝒙”和“𝒅𝒚= 𝒇′(𝒙)∆𝒙” 这两个错误定义做文章，】还明确地说【我一直认为：现行微积分教材的微分定义是错误的，那个定义只是为求某些近似值服务的，只是微积分的一个基本没有多少适用价值的附产品，与微积分没有任何关系，更何况从表达式中𝒅𝒚= 𝒇′(𝒙)∆𝒙可以看出，两边是不同的运算符号“𝒅” 和“∆”，用张景中院士的观点，就是代表不同的运算，也必然遵循不同的运算法则，因此用逻辑符号“=”表示两边的关系，显然违反逻辑同一律规则，那么必然就是错误的。】

4.3)，新华先生不懂什么是恒等函数I(x)=x，说什么【把编程语言中的恒等函数引入来做例证，真是不择手段，费尽心机。】这个错误太低级了。要知道在数学中常用恒等函数，是一元一次函数ax+b中a=1，b=0的特例。它的图形是分角线，它的导数等于1，这是非常普通的知识，不该不知道。

4.4)，新华先生还没弄懂，微分是函数的微分不是变量的微分。新华先生还没弄懂，虽然在互为反函数的两个函叔y=f(x)和x=g(y)中的变量x是同一个变量，变量y也是同一个变量。但它们的导数f´(x)=dy/dx和g´(y)=dx/dy中的两个微分dx却是不同的微分，两个dy也是不同的微分。变量相同但微分不同，为了不混淆所以分别用dx1,dx2.dy1,dy2来表示。而新华先生对此全然不懂。那我就要问新华先生，你究竟认为这两个dx是否是不同的，这两个dy是否是不同的，如果不同为什么不可以用不同的符号表示？用不同的符号表示不同的微分【精神有问题吗？】

4.5)，数学是逻辑缜密的科学，通常都用严格的推理，最好不要用直观比喻的方法来论述。因为直观比喻往往是粗略的，主观的，容易出错。新华先生用夫妻和妻夫关系比喻互为反函数的两个函数，用父親和女儿来比喻这两个不同函数产生的微分。夫妻函数的微分dy是父親，dx是女儿，而妻夫函数的微分，dx还是女儿。dy还是父親。本来不同函数的微分是不同的，这样的比喻使不同函数的微分成为相同的了，当然这样的比喻是错误的的 。你真的要做比喻，要这样，夫妻函数的微分dy是父親，dx是女儿，而妻夫函数的微分，dx:就应是母親。dy就是他们的儿子。不同函数的微分是不同的，这样的比喻比较恰当。不同函数有不同的微分，共有四个微分。dy有两个，父親和儿子，dx也有两个，母親和女儿。这样对于【微分戏剧】，两个演员就不够了，需要有四个演员才能完成。

其实不说演戏。真实生活中，夫妻两人(x，y两个变量)，共同生活多年，恩愛生育(相互求导)，生下一儿一女，家庭变为四口(形成四个微分)，即父(记作dy1)，女(dx1)，母(dx2)，儿(dy2)。对这样的幸福家庭，凡脑子正常的人都不会称其为【第三者、第四者...的挿足。】

五，现代数学分析没有【存在许多问题】。

新华先生认为【现代的数学分析并不完善，还是存在许多问题，】这个论断是错误的，不符合事实。

新华先生说【为什么现在许多学者，包括张景中院士在内都在探讨不要极限的微积分，不正是表明“现代的数学分析并不完善，还是存在许多问题”吗？】

新华先生误解了张景中先生的意見。他明确表态说【我基本上认为薛问天先生的看法是对的。现在的微积分，逻辑上已经不存在矛盾】《Zmn-014》。

我建议新华先生，不要空洞地，抽象地谈这些道理，说【决不能相信上了书本都是对的，真理都是相对真理，没有绝对真理，哪里还有绝对正确的书本内容？】要具体谈，如果你真的认为【现代的数学分析并不完善，还是存在许多问题】，把你认为不完善，有问题的地方讲出来，我们大家来讨论，不要只在这里空喊口号，要具体谈。

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