Zmn-1128 薛问天: 谈谈我对无穷观和无穷过程的看法。评一阳生先生的《Zmn-1127》

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谈谈我对无穷观和无穷过程的看法

评一阳生先生的《Zmn-1127》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，我认为实无穷观和潜无穷观是人们对客观上的无穷过程的认识、看法和【观点】的不同，而不是客观上的无穷过程【本身】就有两种不同的类型。在客观上并不存在有什么不同的【实无穷过程】和【潜无穷过程】。

集合论中研究的无穷集合，都是生成好的外延确定的无穷集合。所有存在的集合都是以它的生成过程完成为前提的。所有存在的无穷集合，生成它们的无穷过程都已完全完成。在它们的生成过程中不存在【以自然数计数，不断延伸，有始无终，不能完成，不能结束】的所谓【潜无穷过程】。这样的不能完成的生成过程，生成不了集合论中存在的无穷集合。

一阳生说【【有始无终】是潜无穷的特性，不是实无穷的特性。薛老师不能张冠李戴。】这种说法当然不对，以实无穷观为基础的集合论，明确证明了自然数集合没有最大数。

另外，我在《1120》中己说清楚，【有始无终】並不是所有无穷集合的特性，尽管全体自然数集合 N={0,1,2,...}的序集，可以是【有始无终】，但是全体整数的集合

G={...,-2,-1,0,1,2,...}也是无穷集合，而是无始无终。而超穷序数

ω+1={0,1,2,..., ω}也是无穷集合，而是有始有终。

而对那些不是序集的无穷集合，则更是谈不上始和终的问题。

二，在数学中【函数】有严格的数学定义，但【演算】和【运算】并无严格的定义。有时泛指所进行的各种计算。通常所说某数域中的【算术运算】就是指加减乘除四种【算术函数】，自然数集合中的【后继运算】就是指【后继函数】，并没有什么区别，都是一个意思。

一阳生先生把函数认为是一种静态的关系，把运算看作是一种动态的过程。把函数和运算的确切含义分开，也无不可。但要明确这只是一阳先生的理解，这种理解目前并不是业界的普遍共识。

而且要明确这种静态和动态的性质是密切相关的，动态的后继运算结果和静态的后继函数关系是完全一致的，并没有什么区别。n+1是n的后继数同n+1是由n经后继运算得到的数，是一回事，完全等价，没有区别。

三，一阳生先生说【由0开始的后继运算无法得出全体自然数。】和【数学归纳法无法有效证明命题〖任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到〗。】是错误的。我再有效地证一遍。

定理。任一自然数都可由0经有穷次的后继运算得到。

证明。设P(n)定义为 【自然数n可由0经有穷次的后继运算得到】。对n实施数学归纳法证明。

显然P(0)为真，因为自然数0，可由0经0次的后继运算得到。

假设P(n)为真。即【自然数n可由0经有穷次的后继运算得到】。显然知n+1可由n经1次后继运算而得到。由于自然数n可由0经有穷次的后继运算得到，而由0经有穷次的后继运算再加一次后继运算仍然是有穷次的后继运算。所以推出: 自然数n+1可由0经有穷次的后继运算得到。由P的定义可知这就是P(n+1)为真。

既然证明了P(0)为真，又证明了P(n)→P(n+1)，根据数学归纳法就证明了(∀n)P(n)为真。即〖任一自然数可由0经有穷次的后继运算得到〗，定理得证，证毕。

既然可证〖任一自然数可由0经有穷次的后继运算得到〗，又可证自然数集合的存在，肯定自然数集合的生成过程必然可以完成。从而全体自然数都可由0开始经后继运算而得出。

一阳生在后面的推理中有认识问题。是的，每一个自然数都是由0开始经【有穷次】的后继运算而得到，与此同时严格的对应着一个由【有穷个】自然数构成的有穷集合。也就是说对每一个自然数的生成，都需要有穷次的后继运算，面且同时生成一个有穷自然数集合。但是我们知道自然数有无穷多个，因而生成过程是一个无穷过程，要有无穷次的演算。最后要生成无穷多个自然数，同时生成无穷多个有穷集合。这无穷多个有穷集合的并集就是这个由全体自然数构成的无穷集合。

一阳生只看到了对每个自然数所形成的有穷集，当然【【有穷次】的后继运算严格的对应【有穷个】运算结果。】对每个自然数所形成的都是有穷集。一阳生没有看到这样的有穷集有无穷多个。由这些无穷多个有穷集的并集，形成了全体自然数构成的无穷集合。

这里主要是一阳生的认识问题。一阳生说【显然薛老师也认为运算无法进行无穷次】，这是一阳生直到现在还没认识的一个事实。对这点一定要有要明确的认识。要知道，在自然数中没有由0经无穷次后继运算得到的数。所有的自然数都是有穷数，即由0经有穷次后继运算得到的数。但是这样的有穷数有无穷多个。即由0经有穷次后继运算得到的数有无穷多个，而不是有穷个。对此一定要有正确的认识。

四，关键是对待这个(0.1)开区间的1这个端点怎么说，正确的说法是1是区间的端点，但区间不包含1这个点。

那么小球运动怎么说。我想正确的说法是我们所说的坐标是0.9,0.99,0.999,...的这无穷个点中不包含1这个点。我的结论当然是，小球运动到达1时，证明了小球经过了这无穷个点。即小球运动到达1时，小球经过无穷个点的无穷过程完全完成。在小球未到迖1时，此无穷过程没有完成。这是没有问题的。之不过，我要说明的是，由于1不是这无穷个点中的点，不是这无穷个点中的最后一个点。这无穷个点中没有最后一个点。所以【到达和经过1这个点】并不是【经过这无穷个点的无穷过程】中的一步。只是由小球【到达和经过1这个点】证明了【经过这无穷个点的无穷过程】完全完成了，是可以完成的。

关键要仔细分析和了解，我们是如何来描写小球经过这无穷个点的无穷过程的。事实是这样的，过程的第一步是经过0.9这个点，第2步是经过0.99这个点，第3步是经过0.999这个点，...，所有经过这无穷个点的无穷步，构成这个无穷过程。因而【到达和经过1这个点】并不是【经过这无穷个点的无穷过程】中的一步。它不属于这个无穷过程。这个无穷过程并无最后一步。

一阳生所说的如下断语是正确的。正确的说法是【小球到达1点，才能经过1点之前的这全部无穷个点。】和【小球不到达1点，就不能经过1点之前的这全部无穷个点。】但最后所说的【到达1点才是最后一次操作】这句话就要说清楚，它是小球的操作没有问题，由它的完成证明【经过这无穷个点的无穷过程】的完成也没有问题。但说它是这个【经过这无穷个点的无穷过程】的【最后一次操作】就错了。【到达和经过1这个点】并不是【经过这无穷个点的无穷过程】中的一步。它不属于这个无穷过程。这个无穷过程并无最后一步。

因而【经过无穷个点的无穷过程】可以分为两个子过程，第一子过程是【经有穷个点的有穷过程】，第二个子过程仍是【经过无穷个点的无穷过程】，而不是【到达和经过1这个点】。把它看作是无穷过程的【最后一次操作】就错了。

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