大学生在学习过程中对少数几个具体知识点或者具体现象的最初疑惑，经过学生和教师共同评估且提升，内容和意义基本明确、具有可行性、学生愿意深度参与的研究课题可以称之为学生学术兴奋点。这个学术兴奋点的激发主要不是来自前沿课题，而是来自学习过程。在长期的实践中，我发现利用学术兴奋点来牵引、把科研和教学深度融合，是拔尖创新人才培养的一个有效的途径，这一做法受到了学生和同行的高度肯定，参见“关于公布2025年湖南省高等教育教学成果奖获奖名单的通知”(湖南省教育厅文件 湘教通〔2025〕231 号)。

系综理论是统计物理教学的一个难点，我讲完之后，居然有同学能当场掌握并能进行进一步思考，是学生对学术问题高度兴奋的一个表现、是创造力的萌芽。同时，我也把学生的这种表现视为对我教学的高度肯定。

余同学的问题如下：

推导正则系综配分函数的一个关键技巧是，假设系统S处在一个微观状态上，用量子力学的语言就是系统处在一个确定的量子态s上，与此相应，库处在能量为E₀-E_s的任意一个微观状态上，不过微观状态数很多，记为Ω_r(E₀-E_s)，参见下图。最后的结果即正则分布函数ρ_s∝e^-βEs并不显含库的微观状态数，库的作用其实是提供了一个温度β，而系统和库发生热平衡。一般来说，同学往往会感慨这个推导不可思议的简单和有效性! 另外一点就是我经常提到的，物理学中经常”说一套做一套” ! 即花功夫对付的对象并不出现在最后的结果中。

余同学没有停留在欣赏上而是怀疑和批判，更为难能可贵的是他并没有就这个做法本身提问，而是往前走了半步之后反过来拷问这个做法：能不能从Ω_r(E₀-E_s)倒过来推断出系统所处的微观状态? 

这个问题本身稍有歧义，可以换成另外一个问题并作答。问题：系统处在一个能级E_l时正则分布函数的形式是什么? 答案是，Ω_l为系统能量的简并度。

本学期每次课后，都被学生围起来，在教师休息室答疑半小时至一小时。照片是最后一次课后的提问的六位学生。从我洋溢的笑容可以看出，能教这么一群学生是何其有幸。而且，我总是觉得学生一届比一届要好，这一点和很多老师不太相同。我能够想到的唯一原因是：我老了。

但是，学生可能并不这样看，他们的视角清奇，参看如下截图:

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注：本文在《物理与工程》公号上同步发布。在公号上有个附录，是系综理论三次小考题(附答案和少量答案解析)。这种小考，是即学即考，每次5分钟左右，效果非常好！