\author{崔雷}

幂指函数讨论基础

历史上，在1976年Donald Knuth提出Knuth's Up-arrow Notation和崔雷2011年独立提出广义幂指函数，主要是定义了 x^x=x^^2如何解决x^^0.5（不是x^0.5）的问题。

通常的分析历程是：a+a+a=a*3（3是加法中a的个数），a*a*a=a^3（3是乘法中a的个数）。在1976年，唐纳德（图灵奖获得者）在《Science》公开Knuth Up-arrow的计数法，用他的写法是：x^2 = x↑2, x^x = x↑x,x↑x = x↑↑2,x↑(x↑x) = x↑↑3...

Blakley在《Advance in Mathematics》严格定义了``↑''运算，并改动了写法：B↑T = k(B,1,T),B↑↑T = k(B,2,T)...

崔雷在2011年也改写了，a^{(a^a)}=a^^3（3是幂指a的个数，此时称a^^3幂指函数的2阶3次，其中二阶指的是有2个^，3次指的是有3个a。2阶幂指函数又称为迭代幂次）；

而历史上，标准符号记法a[4]n、高纳德箭号表示法a↑↑n、超运算符a^(4)n、ASCII符号a^^n、阿克曼函数、迭代指数法、Hooshmand符号记法等。1928年，Wilhelm Ackermann提出Ackermann函数，首次系统化定义了运算层级的递推结构。此后，Goodstein（1947）将其形式化为超运算序列，涵盖加法、乘法、幂运算及更高层级。超运算序列$H_n(a,b)$的递推定义如下：

H_n(a,b) = 

b+1,  n=0；a+b,  n=1；a*b,  n=2；a^b,  n=3；H_(n-1)(a,H_n(a,b-1)),  n≥ 4。

这些记为Tetration（后文称CF2函数）计数法。

此时可以继续推广至3阶等。一个不太严格的幂指函数（后称崔数函数）计算：

CuiMaF(bx,ex,cx=1,py,n)=bx^ex;

CuiMaF(bx,ex,cx,py2,n)=CuiMaF(bx,CuiMaF(bx,ex-1,cx,py1,n1),cx,py2,n);

CuiMaF(bx,2,cx,py,n)=CuiMaF(bx,bx,cx-1,py,n)。

这里面的bx是底数，就是前面举例的a；ex是指数，就是前面举例的3；cx为阶数，就是^的个数；px是前面的运算结果，n为顺序符。n顺序符指的是从原点向右的个数，这个对于多个值的表示是有用的。这里面的计算原则是：按照定义展开CuiMaF函数，然后按照最里层先降次、降至2次后再降阶、然后依次向外展开，最终展开至幂函数。

这种CuiMaF的推广并不是多余，因为对于前缀CuiMaF的崔数函数标记，对于bx、ex、cx、px存在一个假设：任意给出其中3个可得另一个。因此存在CuiMaFBP之类函数，其中指的是Bx是自变量、Py是因变量。

对于复合函数f(f(x))=g(x)类型可以进一步形式化定义：CuiMaF(f(x),ex,0,g(x))，ex是复合的次数，这种复合函数定义为0阶崔数函数。这种形式化定义用处是ex可以形式上定义为分数或者其他数。

CF2函数的更常见的办法是Kneser的解析延拓方法。在1950年Kenser解析延拓提出来后，通过复分析工具构造全局函数，成为分数次CF2函数的常规处理方法，然后应用Schröder方程与线性化解决计算问题。Kneser方法的关键步骤依赖于通过Schröder方程将CF2函数运算线性化，进而延拓到复平面。实际上，CF2函数x^x导数为x^x(1+\ln x)对数项导致分支点奇异性将导致CF2函数Schröder方程将迭代幂运算线性化失效。

结论与展望

在研究复平面积分表示时，在当初代数基本定理公开时，人们尚未意识到CF2函数的存在，进而复平面也有待于拓展。CF2函数揭示了传统解析延拓方法的局限性。

其他的CMF2函数，比如CMF2(bx,m)其中m为3以上整数时，能否表示其他典型超越数，也值得进一步推广。

参考文献：Knuth, D.: Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness [J]. Science, 1976, 194(4271):1235-1242.