Zmn-1328-下 薛问天: 错误在于没有完全弄懂β(Δx)=o[α(Δx)]的真正含义。评师教民《1326》

【编者按。下面是薛问天先生的文章下，是对师教民先生的《Zmn-1326》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

续前

4，对于高阶无穷小定义中要求α≠0的正确理解。

1)，师教民批评说【始终未敢说我说的〖分数函数及其极限里的 α(Δx)≠0 是死的、是绝对的、是不可改变的〗错误，】

我当然不能这么乱说，我说的意思是学习数学，一定不要犯【死记硬背，不动脑子】的毛病，不要把教材中讲的内容看作【是死的、是绝对的、是不可改变的】，而是要通过思考，接受正确的理论。教材的内容要通过思考正确地理解，对于高阶无穷小定义中α≠0的要求，【极限里的 α(Δx)≠0】的要求当然应当有，但有个正确理解的问题。对α≠0，即α(Δx)≠0，要有正确的理解。师教民先生把它理解为【在任何情况下，定义里的 α(Δx)都不等于 0，所以在Δx=0 时也有 α(0)≠0．】关于这样理解的不对，我在《1269》中己说得相当清楚。

〖问题是对定义中的要求【α≠0】如何理解？如果无穷小α及β的自变量是Δx，极限lim(β/α)= 0是Δx→0时的极限。这个【α≠0】的要求的理解是:

①对所有的Δx的值都要求有α(Δx)≠0，还是

②只要求对于Δx≠0的值使α(Δx)≠0即可，允许α(0)=0。

我认为应是②。理由是，之所以要求α≠0是要求α不在分母中出现，但因Δx→0时β/α的极限，同Δx=0时α及β的函数值无关。因而求当Δx→0时lim(β/α)= 0的极限时，如果α(0)=0，对求此极限毫无影响。所以可以允许α(0)=0。

例如求函数y=x^2的导数时，就承认β(Δx)=ΔxΔx是α(Δx)=Δx的高阶无穷小，而对此α(Δx)=Δx，就有α(0)=0。〗

那么对师先生的理解即①应如何评价呢，显然理解①是不对的，因极限仅依赖于趋近过程中的Δx≠0，在Δx=0时α(0)=0，对极限並⽆影响，没有必要要求α(0)≠0。要求过于严格了。在定义中若要求对Δx的所有值（包括Δx=0）均有α(Δx)≠0，会导致许多常⻅的无穷小（如α(Δx)=Δx）的⾼阶⽆穷⼩被排除，破坏定义的普适性。因而对教材定义中的α≠0要求作①的理解是不对的。

另外还要注意，定义中讨论的极限并不一定是师先生所说的【分数函数的极限】，我前面已讲清楚，〖在定义中要求极限lim [Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0，並没有规定这个极限珍对的一定是师先生所说的【分数函数β(Δx)/α(Δx)】(师先生所说的分数函数在Δx=0 时仍等于β(Δx) /α(Δx)，所以当α(0)=0时是函数值在Δx=0处无定义的第二类间断函数。)

要知道，对任何一个这样的函数f(Δx)，只要在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。当Δx=0时此函数f(Δx)可以是，也可以不是β(Δx)/α(Δx)，而是定义为其它任何数。珍对这样的函数f(Δx)(可能是连续函数，第一类或第二类间断函数)，lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0就是极限lim [Δx→0](f(Δx))=0，完全适用定义中的要求。〗

因而在定义中讨论的极限并不是师先生所说的【分数函数的极限】，而是这样的函数f(Δx)的极限。

2)，师先生说【我必须在这里第 n+1 次地说明薛问天先生的【极限理论中的高阶无穷小定义里的函数 β(Δx) /α(Δx) 内的 α(Δx)≠0 和他说的 α(0)=0 不是矛盾的】错误．】

师先生所说的这n+1次都是错误的。错误在于师先生没有认清，定义里极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0的这个求极函数f(Δx)，只是规定了在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。由于有满足α≠0的要求，α≠0的含义是在Δx≠0时α(Δx)≠0 。所以在Δx≠0时α(Δx)≠0同Δx=0时α(0)=0没有任何矛盾。

在Δx=0时，並没有规定f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。当f(Δx)不等于β(Δx)/α(Δx)时，自然没有什么矛盾。就是在Δx=0时，f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)，这同α(0)=0也没有矛盾。因为α(0)=0只是说时在Δx=0时，f(Δx)没有定义，f(Δx)是个间断函数。这很正常並无产生任何矛盾。对定义里极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0毫无影响。

3)，师先生说【不能因为你薛问天先生把α 改成 α(Δx) 就可以在Δx=0 时有α(Δx)=α(0)=0，即可以 有α=0．你薛问天先生如果胆敢在Δx=0 时令 α(Δx)=α(0)=0、 即 令 α=0，那么就与同济名著在定义高阶无穷小时规定的 α≠0 矛盾了，】

首先要说清，不是【薛问天先生把α 改成 α(Δx) 】而是当无穷小α的自变量是Δx，而且是当Δx→0时的无穷小时，无穷小α的函数表示就是α(Δx)。

关键是师先生对高阶无穷小定义中的α≠0的理解错误。正确的理解，α≠0是只要对Δx≠0的点，α(Δx)≠0即可，並不要求α(0)≠0。因而在Δx=0 时令 α(Δx)=α(0)=0，同α≠0並无任何矛盾。

4)，师先生说【薛问天先生让Δx=0时α(0)=0就违背了同济名著关于α≠0的规定而就 错误了.薛问天先生不愿意承认该错误，就放弃应该讨论的 β/α 而大谈函数 f (Δx)，这就已经是答非所问、理屈词穷、败下阵来了．】

我已多次说清，师先生的错误有两点。第一，对教材定义中α≠0这个要求理解错了。对α≠0的正确的理解，是只要对Δx≠0的点，α(Δx)≠0即可，並不要求α(0)≠0。所以，让Δx=0时α(0)=0並没有违背同济名著关于α≠0的规定。第二，师先生没有认清，定义里极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0的这个求极函数f(Δx)，只是规定了在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。並没有规定在Δx=0时，f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。所以谈论这个函数f(Δx)是我们讨论的正题。

5 ，师先生反复说【薛问天先生的文章 Zmn-1323 中的最突出的错误是：放弃了他与我讨论的【极限理论的高阶无穷小定义规定有 α(Δx)≠0 的函数 β(Δx)/α(Δx)】，而去讨论函数 f (Δx)．薛问天先生这样做的原因是：用函数f(Δx)来转移目标或视线，以便迷乱人们的心神 或眼球，从而达到掩盖自己的错误的目的． 】

我前面己说清楚，定义里极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0的这个求极函数f(Δx)，只是规定了在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。並没有规定在Δx=0时，f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。而且还说清楚了，既使在Δx=0时，f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。也没有说规定它是α(Δx)≠0 的函数。而是说这个函数在α(0)=0时，f(Δx)在Δx=0点没有定义 。要知道既使f(Δx)在Δx=0点无定义，也很正常。这对极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0的这个定义的要求也毫无影响。

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