Zmn-1329 薛问天: 允许Δx=0,α(Δx)=α(0)=0对极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0毫无影响。评师教民《1327》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1327》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

允许Δx=0,(Δx)=α(0)=0对极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0

毫无影响。评师教民《1327》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，师先生竟然不懂得这样的道理，任何数学概念都要符合它的原始定义。师先生说他讨论的是【极限理论里函数 f (x)的微分定义的前提式 Δy=AΔx+o(Δx)内的 Δx 或极限理论里高阶无穷小定义内的Δx】，要知道不管你讨论的是什么情况下的Δx，只要你讨论的是Δx，它就要符合Δx的原始定义。Δx的原始定义，是指变量x的增量。当变量x由x0变到x时，Δx指变量x的增量，即Δx=x-x0。当变量x=x0时，Δx=0。这就是Δx的原始定义。难道你讨论的Δx不符合这个原始的定义？还说什么【却大谈【原始的 Δx】，这就离薛问天先生和我讨论的正题十万八千里了，】简直是毫无道理，说明师先生的无知。

2，师先生说【薛问天先生把变量 β，α 分别改成以Δx 为自变量的函数 β (Δx)，α(Δx)后，就允许自变量Δx=0 因而也就允许 α(0)=0 了，从而就违背了极限理论中的高阶无穷小的定义〖在任何情况下都有 α≠0〗的规定，因此就错误了】。

先要说清，不是【薛问天先生把变量 β，α 分别改成以Δx 为自变量的函数 β (Δx)，α(Δx)】而是当无穷小β和α的自变量是Δx，而且是当Δx→0时的无穷小时，无穷小β的函数表示就是β(Δx)，无穷小α的函数表示就是α(Δx)。

关键是师先生的错误。他对教材定义中α≠0这个要求理解错了。对α≠0的正确的理解，是只要对Δx≠0的点，α(Δx)≠0即可，並不要求【在任何情况下都有 α≠0】，即没有要求α(0)≠0。所以，让Δx=0时α(0)=0並没有违背同济名著关于α≠0的规定。

师先生又说【薛问天先生之所以敢犯把在α=0处无定义的函数β/α理解成有定义（允许 Δx=0 因而也就允许 α(0)=0）的函数的错误，是因为薛问天先生在一内把【原始函数 f (x)】与非原始函数 β/α 混为 一谈的缘故．薛问天先生抛弃他和我讨论的正题函数 β/α 而大谈原始函数 f (x)就是一派废p话、答非所问、理屈词穷、败下阵来了． 】

这同Δx的原始定义无关，没有什么【原始函数】。关键在于师先生的另一错误。师先生没有认清，我们不是在单独地讨论函数β(Δx)/α(Δx)，而是在讨论定义里极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0的这个求极限的函数f(Δx) [注，不同的地方有不同的f。这里的f指的是那个求极限的函数]，只是规定了在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。並没有规定在Δx=0时，f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。所以谈论这个函数f(Δx)正是我们讨论的正题並不是【废话】。也就是说当Δx=0时，这个求极限的函数f(Δx)有可能不等于β(Δx)/α(Δx)，因而允许在Δx=0时α(0)=0对f(Δx)有无定义並无影响。其实师先生没有认清，我们曾说过，既使当Δx=0时，这个求极限的函数f(Δx)等于β(Δx)/α(Δx)，允许在Δx=0时α(0)=0，也只是使f(Δx)，在Δx=0时无定义，这对定义中的极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0也无任何影响。所以师先生对α≠0的理解是完全错误的。

另外，把【β是比α高阶的无穷小】，不说比字，说成是【β是α的高阶的无穷小】，这不仅在数学上是对的，从语言文字的表达上说，也一点没有错，不会在含义上导致任何错误。师先生让我查查字典【看看有【比】字和无【比】字的差别在哪 里？】我也建议师先生查查字典，看【高】字是否有【比较】的意思？说【B是A的高班的同学】是否同【B是比A高班的同学】的意思是一样的。

3，师先生说【薛问天先生在后边说：“请注意 β(Δx)=o(Δx)，式左端和 右端中的 Δx 虽然是同一个 Δx，但是它们的含义和作用完全不同”，因此 β(Δx) 和 o(Δx) 的含义也就不同了。所以薛问天先生改成的【β(Δx)=o(Δx)】也就错误了．这个错误正像我们在前边说的让 1 元=1 斤的错误一样．这个错误就是薛问天先生对极限理论中微分定义的前提式Δy=AΔx+o(Δx)的理解错误． 】

我们对这句话中所陈述的几个命题，分别作以下评论。

①〖β(Δx)=o(Δx)，式左端和右端中的 Δx 虽然是同一个 Δx，但是它们的含义和作用完全不同〗显然是正确的。β(Δx)中的Δx，指的是这个无穷小函数β(Δx)中的自变量。o(Δx)中的Δx指的是β(Δx)是α(Δx)的高阶无穷小的这个无穷小α(Δx)=Δx。它们的含义和作用当然不同。一个是无穷小函数β(Δx)中的自变量，一个是那个低阶无穷小α(Δx)=Δx，是函数的因变量。

②【因此 β(Δx) 和 o(Δx) 的含义也就不同了，】说【因此】在逻辑上是不对的。β(Δx) 和 o(Δx) 的本身含义就不同，不是由其中Δx含义不同引起的。β(Δx) 说是这个无穷小的函数式。 o(Δx) 的含义说的是它是无穷小α(Δx)=Δx的高阶无穷小。两者的含义本身就是不同的。

③【所以薛问天先生改成的【β(Δx)=o(Δx)】也就错误了】，这个【所以】的推理是完全错误的。两个不同含义的对象就不能相等吗？显然不是，无穷小β和一个无穷小α的高阶无穷小，虽然是两个含义不同的概念，但是按照高阶无穷小的定义，只要满足一定的条件β就可以是α的高阶无穷小，就可写成等式【β(Δx)=o(Δx)】，怎么能是错误呢？【张三】说的是一个人，【是北京人】说的是出生在北京。这是两个含义不同的概念，但绝不能说把它们相等就是错的，要知道【张三是北京人】完全可能是个真命题。

④【这个错误正像我们在前边说的让 1 元=1 斤的错误一样．】显然这个例子举的並不合适。金钱和重量虽然是不同含义的单位，但是在一定条件下也有可以使它们相对相等的可能情况，如菜市上的价目表1斤西瓜=1元钱，1斤挑子=3元钱，......等这都是常有的事。

⑤，【这个错误就是薛问天先生对极限理论中微分定义的前提式Δy=AΔx+o(Δx)的理解错误．】

显然推不出错误来，把Δy=AΔx+o(Δx)理解为Δy=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o(Δx)，是正确的理解，没有絲毫错误。

4，师先生说【薛问天先生与我讨论的正题是在α=0 处无定义的函数 β/α 的极限．薛问天先生放弃他与我讨论的正题 β/α 的极限而去讨论非正题 f (x)的极限就是一派废话、答非所问、理屈词穷、】

说明师先生的严重认识错误，我们讨论的正题，並不是师先生所说的【在α=0 处无定义的函数 β/α 的极限】。在高阶无穷小定义中讨论的是【极限lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0】，因而讨论的正题正是当Δx→0时极限为0的函数f(Δx)，而这个函数正是在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)，而且要求在Δx≠0时α(Δx)≠0。由于Δx→0时的极限，不涉及当Δx=0时f(Δx)的函数值，因而对Δx=0时f(Δx)是否等于β(Δx)/α(Δx)，並未作出具体规定。因而自然是允许它等于也允许它不等于。因而允许当Δx=0时α(Δx)=α(0)=0，f(Δx)並不一定没有定义。而且我们曾多次说明既使当Δx=0时α(Δx)=β(Δx)/α(Δx)，而且有α(Δx)=α(0)=0，也只是f(Δx)在Δx=0处无定义，对当Δx→0时f(Δx)的极限也毫无影响。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】