尼古拉·古里耶维奇·切塔耶夫 (Nikolai Guryevich Chetaev, 1902-1959)是苏联力学家和数学家，被誉为“20世纪最伟大的俄罗斯力学家”¹。他的名字出现在运动稳定性和分析力学的著述中。运动稳定性理论中有切塔耶夫不稳定定理、线性力学系统的开尔文-泰特-切塔耶夫定理。分析力学中有受非线性非完整约束的切塔耶夫条件和庞加莱-切塔耶夫方程。尽管有分析力学的重要工作，切塔耶夫最有影响的学术贡献还是在稳定性理论方面。1892年李雅普诺夫所开创的稳定性理论当时没有引起充分重视，也没有学生从事稳定性研究。直到30年后，是切塔耶夫敏锐地认识到稳定性理论的重要性，在完善理论的同时，也开展在工程问题中的应用研究，还培养了一批从事稳定性研究的杰出学者，在苏联航天事业中起重要作用，也使得苏联的稳定性理论研究水平处于世界前列。因此切塔耶夫被认为是李雅普诺夫稳定性理论的直接继承人，甚至被称为李雅普诺夫杰出的学生，虽然两人只有思想上和学术上的师承关系。

切塔耶夫的汉语传记资料很少，唯一的例外是《分析力学史略》²中有简要介绍。俄文资料有切塔耶夫的传记³和回忆文章¹，以及切塔耶夫的选集⁴中附有他的传略。本文概述切塔耶夫的职业生涯(取自[3]和[4]477-479)和学术贡献，并评介其有广泛影响的两部教材。

1 职业生涯

切塔耶夫从读大学起一直在高校和研究所工作，主要研究领域为运动稳定性理论和分析力学。1943年当选苏联科学院通讯院士。1945年获劳动红旗勋章，1953年获列宁勋章，1960年获列宁奖金。

1902年11月23日契塔耶夫出生于俄罗斯帝国喀山省(现在的俄罗斯联邦鞑靼斯坦) 莱舍夫斯基区卡拉杜里村。1920年至1924年就读于喀山国立大学数理系数学专业，力学课教师是塞利格(Dmitri Nikolajevich Zeiliger, 1864-1936)。在大学期间他领导了学生研究小组的活动，在光学研究方面发表了他的第一篇论文。在斯捷克洛夫院士(Vladimir A Steklov, 1864-1926)建议下，切塔耶夫开始学习李雅普诺夫和庞加莱的著作。

大学毕业后留校工作并结婚。1926年成为研究生，导师是本科时的力学课教师塞利格教授。塞利格1894年在莫斯科国立大学获得博士学位，其导师Valerian Nikolaevich Ligin (1846-1900)的导师Michel Chasles (1793-1880)是法国著名力学家泊松(Siméon Denis Poisson, 1781-1840)。切塔耶夫1929年获得博士学位。研究生期间，他发表了论文多篇。几篇论文是关于恒星动力学问题，研究了旋转液体的稳定形状及其分岔，发展了李雅普诺夫和庞加莱的工作。还有对庞加莱方程的推广，发表两篇论文，其中包括一篇法文论文。

1929年研究生毕业后，在导师塞利格教授建议下，申请公费资助到德国哥廷根大学进行博士后研究，在普朗特(Ludwig Prandtl, 1875-1953)领导的研究所工作，了解空气动力学的最新进展，并研究飞机飞行的稳定性问题。

1930年，切塔耶夫回到喀山国立大学担任副教授，随后晋升教授。1931年他建议成立独立的喀山航空研究所。1932年建所后，切塔耶夫担任研究所的科学与教育部副主任。在大学和研究所，切塔耶夫主讲一般力学、流体力学、机翼理论、飞机稳定性、运动稳定性理论、分析力学、相对论等课程。切塔耶夫开始主持稳定性和分析力学讨论班，参加者以青年教师和学生为主，也有已是通讯院士的成名学者。这标志着喀山/莫斯科切塔耶夫学派的形成。该时期代表性的成果是1934年对李雅普诺夫不稳定性定理的推广并应用于讨论保守系统的不稳定性，以及1933年提出非线性非完整约束对虚位移的限制条件，在俄文文献和部分汉语文献中称为切塔耶夫条件。1936年切塔耶夫夫人因肺结核去世。1918年，李雅普诺夫的夫人也是因肺结核去世，李雅普诺夫在同一天自杀，3天后去世。4年后，切塔耶夫再婚。1939年，切塔耶夫获得科学博士学位。

1940年，恰普雷金(Sergey Alekseyevich Chaplygin, 1869-1942)邀请切塔耶夫到莫斯科苏联科学院力学研究所创建一般力学部并担任主任。1944年任力学研究所副所长，在1945年到1953年间任研究所所长。切塔耶夫同时在莫斯科国立大学任正教授，在1957年到1959年间任理论与应用力学系系主任。在1945年到1959年间，切塔耶夫兼任苏联著名期刊《应用数学和力学(Journal of Applied Mathematics and Mechanics)》主编。在莫斯科国立大学主讲理论力学、分析力学、运动稳定性理论和相对论等课程。在完成繁重的行政和教学工作同时，切塔耶夫仍然保持学术研究的高产，出版了专著《稳定性理论》前两版⁵，发表40余篇稳定性理论和分析力学论文。代表性的研究成果是1955年用李雅普诺夫方法严格证明了耗散力和陀螺力对保守线性力学系统稳定性的影响，以及1941年对高斯变分原理的推广。1959年10月17日，因突发心脏病在莫斯科去世。

切塔耶夫培养了多位杰出人才。他和马尔金(Ioel Gilievich Malkin, 1907-1958)共同指导的乌拉尔国立科技大学博士生克拉索夫斯基(Nikolay Nikolayevich Krasovsky, 1924-2012) (1953年获得学位)在1964年当选苏联科学院通讯院士，4年后当选院士。切塔耶夫在莫斯科国立大学指导的博士生鲁米采夫(Valentin Vital'yevich Rumyantsev, 1921-2007)(1953年获得学位)在1992年当选俄罗斯科学院院士。在1957年至1959年，切塔耶夫还指导了来自沈阳东北大学的访问学者张嗣瀛，他在1997年荣膺中国科学院院士。

切塔耶夫的学生也有中国学生。清华大学的王照林教授在鲁米采夫教授指导下在莫斯科国立大学获得博士学位(1963年)。笔者的博士生导师刘延柱教授1960年至1962年在莫斯科国立大学进修期间，听过鲁米采夫主讲的稳定性理论课，所用教材的是切塔耶夫的《运动的稳定性》。刘先生曾回忆当年听课的情形，并赠送笔者切塔耶夫的选集⁴。张嗣瀛院士在上世纪60年代指导的研究生王铁光，是笔者硕士生导师。

2 学术贡献

切塔耶夫在一般力学领域的贡献主要反映在他的文集⁴中，如文集标题所揭示，文集包括两部分。第一部分是他的专著《运动的稳定性》，第二部分是分析力学方面的论文46篇。分析力学要广义理解，就是用分析方法解决力学问题，因此也包括充液刚体旋转运动稳定性([4]432-444页)这类工作。以下主要总结其中最为基础性的工作。

切塔耶夫最有影响的工作在稳定性理论方面，对不稳定性的判断有独到之处。针对李雅普诺夫不稳定性定理在应用中的不便之处，他在1934年发表了论文《一个不稳定性定理》(该文没有被收入[4]，但写入专著，参阅[4]24-28页)，在更便于检验的条件下证明了不稳定性，使得李雅普诺夫的两个不稳定定理为其特例。从判断不稳定性入手，切塔耶夫研究了保守系统稳定性的拉格朗日定理的逆定理。拉格朗日定理断言，势能有极小值时，平衡点稳定。切塔耶夫习惯用力函数而不是势能，平衡稳定条件是力函数有极大值。切塔耶夫研究平衡点不稳定的条件。初步结果于1930年用法文发表，1938年和1952年的两篇论文([4]225-244页)有更深入的讨论。粗略地说，在满足某些条件时，势能没有极小值，平衡点就不稳定。值得指出的是，国内外都有一些理论力学教材，讨论有势力场中平衡的稳定性时断言，势能有极大值时平衡不稳定。事实上，势能极大值这个条件，在多数情形不必要，在特殊条件下可能不充分。从切塔耶夫的证明过程看，他主要考察不稳定轨迹的趋向，从方法而论，是融合李雅普诺夫和庞加莱两种思路。切塔耶夫还有个重要的工作，用李雅普诺夫方法严格证明了开尔文和泰特关于耗散力和陀螺力对平衡影响的结论。这个结果似乎没有发表论文，1955年直接写入专著《运动的稳定性》第二版([4]76-83页)，就是现在所称的开尔文-泰特-切塔耶夫定理。对于稳定性理论，切塔耶夫还有些技术性更强的贡献，如借助初积分构造李雅普诺夫函数、周期运动的稳定性判断等。

在分析力学方面，切塔耶夫最重要的工作是对庞加莱方程的推广。1901年，庞加莱在虚位移代数可迁和约束定常时得到运动方程一种用群变量表示的新形式，被称为庞加莱方程。切塔耶夫特别欣赏该工作，称为“美妙的发现”([4] 197页)或“美妙的思想”([4] 199页)。在一系列论文中([4] 197-198, 199-200, 201-210, 381-383页)，他推广和完善了庞加莱的结果，包括考虑非可迁的虚位移代数和非定常约束，导出方程的正则形式等，相应的方程称为庞加莱-切塔耶夫方程。后续的研究⁶表明，庞加莱-切塔耶夫方程是用非正则变量表示的相对普遍的哈密顿方程。切塔耶夫对非完整力学基础也有贡献。在1933的论文([4] 323-326页)中，切塔耶夫提出受非线性非完整约束系统虚位移所满足的条件，后来被称为切塔耶夫条件。该条件本质上是非线性非完整约束的线性化或首次近似。从历史角度看，前面有阿佩尔(Paul Appell, 1855-1930)等早期的工作，后面还有哈默(Georg Karl Wilhelm Hamel, 1877-1954)等深入的分析。无论就独创性还是完整性而言，仅以切塔耶夫命名该条件都未必妥当。切塔耶夫对非完整力学基础贡献还有研究高斯原理的两篇论文([4] 327-334页)。其结果表明，适当定义虚位移的限制条件后，高斯原理与达朗贝尔-拉格朗日原理没有矛盾。

3 《运动的稳定性》⁵

李雅普诺夫论述稳定性理论的科学博士论文《运动稳定性的一般问题》1892年出版后并没有引起足够重视。切塔耶夫的《运动的稳定性》是此后的第一部稳定性理论的专著，也被用作教材，对运动稳定性理论的发展和传播有广泛深远的影响。该书1946年初版后，4次再版。汉译本和英译本都是依据1955年底二版，该版有实质性补充。收入选集的是1962年第3版。随后还有1965年和1990年两版。

《运动的稳定性》⁵共分10章。第1章为稳定性问题的提出。第二章为李雅普诺夫直接方法的一般定理。第3章为有势力场中平衡的稳定性。第4章为常系数线性微分方程。第5章讨论约束、耗散力、陀螺力对平衡的影响。第6章是李雅普诺夫的一次近似稳定性基本理论，随后第7和第8章分别讨论线性化系统有零特征值和实部为零特征值的过渡情形。第9章是非定常运动的稳定性，第10章是周期运动的稳定性。

该书的特点是内容系统丰富，叙述简明扼要。该书自成体系，主要结果都有证明，包括比较繁复的劳斯-赫尔维茨判据的证明，长达4页多。有些内容超出李雅普诺夫稳定性理论的原书框架，如包括庞加莱对稳定性分岔的研究，还有切塔耶夫自己的不稳定性定理和对开尔文-泰特定理的证明。行为非常简洁，全书不到200页，覆盖了当时稳定性理论的主要内容包括新的进展。这样的代价是该书不是很容易理解，要完成掌握需要自行补充大量推演。该书以独特的方式像李雅普诺夫的《运动稳定性的一般问题》致意，半数以上内容直接取自李雅普诺夫的著作，并标注相应节号，便于读者查对。

4 《理论力学》⁷

俄苏力学界有很好的传统，力学名家往往都讲理论力学课，并且出版教材。写有理论力学教材的著名学者包括“俄罗斯航空之父”茹科夫斯基(Nikolay Yegorovich Zhukovsky, 1847-1921) 、稳定性理论先驱者李雅普诺夫、变质量系统力学创立者密歇尔斯基(Ivan Vsevolodovich Meshchersky, 1859-1935)、非完整力学专家恰普雷金等。切塔耶夫也遵循该传统，长期从事理论力学课程教学，并出版教材。更难能可贵的是，在鲁米采夫院士等编辑下，该教材出版了英译本⁷。就笔者所见，有英译本的俄语理论力学教材仅有该书和朗道(Lev Davidovich Landau, 1908-1968)和栗弗席兹(Evgenii Mikhailovich Lifshitz, 1915-1985)多卷本理论物理学教程中的《力学》，后者有新的汉译本⁸。

该书包括8章和附录3个专题。第1章是矢量理论基础。第2章运动学包括点的运动、刚体运动和点的相对运动。第3章静力学包括矢量方法和能量方法即虚位移原理，重点是能量方法；随后3章分别是质点、质点系和刚体的动力学；质点和质点系动力学两章建模方法包括基于牛顿定律的矢量法和基于微分变分原理的能量法即拉格朗日方程，还有些典型运动如中心力场中运动的分析，以及约束力的确定；刚体动力学部分更强调分析，包括3种经典可积情形以及一些特殊情形。第7章是分析动力学，具体包括约束、达朗贝尔原理、哈密顿原理、正则方程、高斯原理、最小作用原理、正则变换和机械系统振动包括积分不变量和平衡稳定性。第8章是吸引理论，本质上是积分计算和相关的特殊函数。附录有三部分，光和力学类比、庞加莱方程和狭义相对论。

该书的突出特点是取材精当、行文简洁。前7章约270页覆盖了传统的理论力学内容，包括刚体动力学和分析力学这些提高性内容。内容表述力求简单，例如运动学中略去了一般曲线坐标这种繁复的内容。作者在序言中称其风格受塞利格教授和斯捷克洛夫院士建议影响，“宁可少些，但要好些(Better less, but better)”。推测原文是俄语成语，列宁曾用于文章的标题⁹，其中有名言“第一，是学习；第二，是学习；第三，还是学习”。《理论力学》中包括一些作者的研究成果，如条件较弱的不稳定定理，庞加莱方程的正则形式等。即使非常基本的内容如静力学，也讨论些不常见的问题，如单面约束静力学和连续体弦线的静力学分析。因为内容多解释少，该书阅读难度比较大，可能更适合教师用来进修提高，未必适合学生初学。此外，如编辑着所指出，该书少量术语与习惯的用法有差别，相对运动动力学中的惯性力，该书中称为科里奥利力；通常所称的达朗贝尔-拉格朗日原理，该书中称为欧拉原理。

该书编辑称切塔耶夫是遵循李雅普诺夫和茹科夫斯基的足迹，以可以追溯到拉格朗日的经典方式构建了课程。我个人认为，切塔耶夫的教材遵循的是拉格朗日、泊松、阿佩尔的解析化的理性力学传统，与茹科夫斯基更偏重工程考虑和偏爱几何方法的传统不同，切塔耶夫更强调解析方法的充分应用。

5 结语

本文概述切塔耶夫的职业生涯和学术贡献，并评介了他的两部经典教材《运动的稳定性》和《理论力学》。

参考文献

1 Rumyantsev VV. Wholehearted service to science and education: On 100th anniversary of Corresponding Member of Academy of Science of USSR N. G. Chetaev. Sketches of Scientists, 2003, 73(1): 56-64 (In Russian).

2 梅凤翔, 吴惠彬, 李彦敏. 分析力学史略. 北京: 科学出版社, 2019: 218

3 Skimel VN. Nikolai Gurievich Chetaev. Kazan: KSTU Publisher, 2002  (in Russian)

4 Chetaev NG. Stability of Motion and Works on Analytical Mechanics. Moscow: USSR Academy of Sciences, 1963 (in Russian)

5 契塔耶夫 ΗГ. (王光亮译). 运动的稳定性. 北京: 国防工业出版社, 1959

6 Rumyantsev VV. On the Poincare’ and Chetayev equations. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1998, 62: 495-502

7 Chetaev NG. Theoretical Mechanics. translated by Aleksanova I. Berlin: Springer-Verlag, 1989

8 朗道Л Д, 栗弗席兹E M.(李俊峰译). 力学(第5版). 北京: 高等教育出版社, 2007.

9 中国中央马克思、恩格斯、列宁、斯大林著作编译局. 列宁选集(第四卷). 北京: 人民出版社, 1975: 698

摘要  切塔耶夫被誉为“20世纪最伟大的俄罗斯力学家”。本文简要概述他的职业生涯。总结他在运动稳定性理论和分析力学方面的主要贡献。介绍他的两部经典教材《运动的稳定性》和《理论力学》的主要内容，并分析其特点。

关键词  力学史；稳定性；分析力学；理论力学；力学教学

Chetaev and His Two Classic Textbooks

Abstract: Chetaev is acclaimed as “the greatest mechanical scientist in Russia in the 20th century”. His career is briefly surreyed. His main contributions to stability theory and analytical mechanics are summarized. The contents his classic textbooks Stability of Motion and Theoretical Mechanics are presented with the analysis on their features.

Key Words: history of mechanics; stability; analytical mechanics; theoretical mechanics; mechanics teaching

发表于《力学与实践》2024, 46(3): 674-678  网页版   PDF版