一、模糊集合“模糊”吗？

模糊理论的基本思想起源于Lotfi A. Zadeh 发表于1962年的一篇论文：

L.A. Zadeh, “From circuit theory to systems theory,” Proc. Institution of Radio Engineers, Vol.50, pp.856-865, 1962.

在这篇文章中，Zadeh指出：“在处理生物系统时，需要一种彻底不同的数学 --- 关于模糊量的数学，该数学不能用概率分布来描述”。之后，Zadeh将这个思想数学化，于1965年发表论文“模糊集合”，标志着模糊理论的诞生：

L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets,” Information and Control, Vol.8, pp.338-353, 1965.

这篇论文在google scholar被引用140309次，是科学史上屈指可数的高被引论文之一。

模糊集合的概念其实很简单，就是把传统集合从离散（一个元素只能属于或者不属于某个集合，不能有中间状态）推广到连续（一个元素可以以连续区间[0,1]中的任何数为隶属度，属于任何一个集合）：

模糊集合：论域U上的集合A可以由其隶属度函数A(x)来定义。如果A(x)只能取A(x)=0（代表论域U中的元素x不属于集合A）或者A(x)=1（代表x属于集合A），则集合A为传统集合。如果A(x)可以取连续区间[0,1]中的任何数，则集合A为模糊集合，A(x)为论域U中的元素x属于模糊集合A的隶属度。

连续与离散是科学界普遍存在的一个本质性划分，比如：连续系统与离散系统，连续信号与离散信号，模拟电路与数字电路，微分方程与差分方程，等等。模糊集合的本质是“连续隶属函数集合”，或者简称“连续集合”。这里的隶属函数是精确的数学函数，没有任何模糊的地方。有人说：模糊集合的边界是模糊的。这也是站不住脚的，因为模糊集合本身就没有边界：任何元素都可以属于任何一个模糊集合，只是隶属度不同而已。总之，模糊集合是一个精确定义的数学概念，没有任何模糊的地方。不幸的是，正是模糊（fuzzy）这个字，以及Zadeh所宣传的模糊理念（传统理论太精确了，需要模糊化），让本来应该很好的一个领域历尽磨难。

反对模糊化最典型的代表是卡尔曼（Kalman，现代控制理论的奠基人之一）。卡尔曼说：

“Fuzzification” is a kind of scientific permissiveness. It tends to result in socially appealing slogans unaccompanied by the discipline of hard scientific work and patient observation.（“模糊化”是一种科学放任主义。它倾向于产生哗众取宠的口号，而这些口号并没有艰苦的科学工作以及耐心的观察作为支撑。） --- 摘自 L.A. Zadeh, “My life and work – a retrospective”, Appl. Comput. Math. (2011) 4–9.

1992年夏天我第一次见到Zadeh时，和他讨论的第一件事情就是关于模糊（fuzzy）这个字。我问他为什么当时不选择连续（continuous）或者平滑（smooth），这样更符合模糊集合的数学内涵，fuzzy这个字容易让人产生误解。Zadeh解释说：如果当时用continuous或者smooth，那么只能成为别的领域的一个子领域，不会像现在这样独树一帜。我当然不同意Zadeh的这个观点了，但我一个刚毕业的学生，也不好和鼻祖争论了。

直到2008年，模糊理论诞生四十三年之后，Zadeh才明确说出“模糊不模糊”：

"Fuzzy logic is not fuzzy. Basically, fuzzy logic is a precise logic of imprecision and approximate reasoning.（模糊逻辑不模糊。简单地说，模糊逻辑是关于近似推理的精确逻辑。）" --- 摘自L.A. Zadeh, “Is there a need for fuzzy logic?,” Information Sciences, Vol.178, pp.2751-2779, 2008.

所以，正如Zadeh最后所说：模糊逻辑并不是模糊的逻辑，而是关于近似推理的精确逻辑。近似 --- 这是任何科学领域都普遍使用的方法，如果Zadeh从一开始就说明模糊逻辑的这个本质，那么就不会有这么多年大家对模糊理论的误解与批评。

二、十年寒窗、卧薪尝胆

1965年Zadeh的“模糊集合”论文是一篇很数学化的论文：从模糊集合的定义开始，对模糊集合的基本数学运算和一些基本性质进行了定义和探讨。

模糊集合基本运算：给定模糊集合A,B，Zadeh定义A和B的交集和并集也是模糊集合，其中交集的隶属函数为A和B的隶属函数取最小，并集的隶属函数为A和B的隶属函数取最大：

见下图：

“模糊集合”论文发表之后，大多数主流科学家反对这个理论，支持者是少数。支持者中比较有名的包括现代控制理论的开创者之一、动态规划（dynamic programming）理论的创始人贝尔曼（R.E. Bellman），他和Zadeh联名发表了有关模糊决策的论文。在模糊理论诞生的前十年，模糊理论在争议声中顽强地发展起来，一系列以fuzzy开头的概念、理论、方法破茧而出：

1970年，Bellman和Zadeh提出模糊决策理论：

R.E. Bellman and L.A. Zadeh, “Decision-making in a fuzzy environment,” Management Science, Vol.17, No.4, pp.141-164, 1970.

这篇论文在google scholar被引用12355次。

  1973年，Zadeh发表了模糊理论的又一篇里程碑论文：

L.A. Zadeh, “Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes,” IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybern., Vol.3, No.1, pp.28-44, 1973.  

这篇论文系统阐述了模糊逻辑、模糊推理、模糊规则、模糊系统等基本概念与方法。

模糊逻辑：模糊逻辑就是将传统二值(0/1)逻辑“模糊化”（连续化）。在传统逻辑中，一个逻辑表达式只能是“对(1)”或者是“错(0)”,不能有中间状态；在模糊逻辑中，一个逻辑表达式就是一个模糊集合，其“对错程度”可以取连续区间[0,1]中的任何数。比如，模糊逻辑表达式“如果A则B”（A->B）就是将传统二值逻辑的A->B“模糊化”（连续化）而得到的：

即，给定模糊集合A,B，模糊逻辑表达式 A->B 也是一个模糊集合，其隶属函数可以取多种不同形式，比如：

 （Dienes-Rescher）

        （Lukasiewicz）

         （Zadeh）

模糊推理：模糊推理就是近似推理（approximate reasoning）。比如，对于模糊规则“如果A则B”（A->B），如果现实条件并不是A，而是与A比较接近的A’,那么结论也就不是B，而是与B比较接近的B’，其隶属函数为：

Zadeh的这篇论文在google scholar被引用13139次，为模糊理论的广泛应用提供了基础的框架与原理。

  1975年，Mamdani应用Zadeh的模糊推理与模糊规则，提出了模糊控制器：

E.H.Mamdani and S. Assilian, “An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller,” Int. J. Man Mach. Studies, Vol.7, No.1, pp.1-13, 1975.

如上图所示，模糊控制器由四个模块组成：“模糊规则库”将专家控制经验转换为模糊规则（“如果A则B”（A->B））的形式，“模糊器”将被控系统的输出x转化为模糊集合A’，“模糊推理机”基于模糊规则库中的模糊控制规则，应用模糊推理原理将模糊集合A’转化为模糊集合B’（比如），最后“解模糊器”将模糊集合B’转化为系统控制u。

Mamdani的这篇论文是模糊理论从理论到应用的转折点，开启了模糊理论蓬勃发展的大门。这篇论文在google scholar被引用10524次。

三、模糊控制、领航高飞

  1978年，Holmblad将模糊控制器应用于工业级水泥窑控制，取得良好效果：

L.P. Holmblad and J.J. Ostergaard, “Control of a cement kiln by fuzzy logic,” in: M.M.Gupta and E.Sanchez, eds., Fuzzy in Information and Decision Processes, North-Holland, pp.398-409, 1982.

这个水泥窑模糊控制有四个输入变量：废气中氧的比例，排出气体的温度，水泥窑的驱动扭矩，燃烧区的温度；两个输出控制变量：煤的供给率，气流；见下图：

其中,做为模糊控制器核心的模糊规则库是由下面这些控制经验转换而来的：

如果氧的比例高且温度低，则增加气流

如果氧的比例高且温度高，则稍微降低煤的供给率

... ...

1980年代，以Sugeno为代表的日本研究者们完成了一系列模糊控制的应用，包括污水净化、自动停车、机械手打乒乓球、倒立摆控制等等：

M. Sugeno, eds., Industrial Applications of fuzzy control, North-Holland, 1985. 

其中最有名的是1987年开始在日本仙台实际运行的地铁模糊控制系统：

是当时世界上最先进最平稳的地铁自动控制系统。另外，模糊控制器在家电领域取得了广泛的应用，各种“模糊”家电产品 --- 模糊洗衣机、模糊电冰箱、模糊电饭煲等等，走进千家万户。

（我家的松下模糊洗衣机）

  卧薪尝胆、厚积薄发。经过二十多年的不懈努力，Zadeh的模糊理论终于得到了学术界的认可。1992年2月，第一届IEEE模糊系统国际会议在美国圣地亚哥召开，标志着世界上最大的工程师协会 --- IEEE，正式接受模糊为一门独立的工程学科。1993年初，IEEE模糊系统汇刊（IEEE Trans. on Fuzzy Systems，现在的影响因子是11.9）创刊。从此，全世界模糊理论研究者们有了自己的国际会议和期刊，模糊理论在接下来的三十多年迎来了蓬勃的发展。