网络之匙解锁数十年波动难题

Fourier变换是数学家最普及、最强大的工具之一，但他们仍然在力求理解其基本性质。一项新成果的出现标志着这一征途中激动人心的一次进展。

Leila Sloman   撰文

左  芬       翻译

【译注：原文2026年1月28日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】

两个世纪前，Joseph Fourier给数学家们带来了一项神奇的技术。他猜想，可以把几乎任何函数写成一些简单波形的和，而这就是如今被称为Fourier变换的窍门。现在，Fourier变换被用于理解万事万物，从遥远恒星的化学组成，到深入地球外壳之下的情况，不一而足。

“Fourier级数在数学中无处不在，”哥伦比亚大学的Mehtaab Sawhney说道，“这已经成为数学家们的一种信仰了，Fourier级数很重要。”

然而关于Fourier变换的某些基本问题仍然顽固而神秘地无法解答。

1965年，数学家Sarvadaman Chowla提出了这样一个问题。他想要知道，一种极其简单的Fourier变换——一些余弦波的和——能小到什么程度。他的问题听起来很简单。然而，情况并非如此。

“这个问题有点像是个诱饵，”Sawhney说道；它设计出来就是为了凸显数学家所知之少。“因为我们连这个也证明不了，显然就根本不理解这些【求和】的结构了。”

数十年里，数学家们对Chowla余弦问题一筹莫展。它成为了Fourier分析技术的一项基准，用来考察能在多大程度上探测数字序列中的深层结构。结果不那么乐观。“进展几乎完全停滞，”牛津大学的Tom Sanders称。

去年九月，情况突然改变了。四位数学家——金之涵，Aleksa Milojević, István Tomon与张盛桐——公布了这一问题20年以来的首次重大进展。他们的策略跟传统的Fourier分析几乎毫不相干。

事实上，，四人组在去年夏天之前从未听说过Chowla的余弦问题。

感受低谷

1950年代早期，Chowla和他的数论家同行Nesmith Ankeny试图利用Fourier变换来更好地理解数字集合中的模式。考虑数字2,3和8组成的集合。首先，用集合中的每个数字来定义一个余弦波——例如，2给出cos(2x)。接着把你所有的波都加起来，得到cos(2x)+cos(3x)+cos(8x)。这不过是把你原始的集合重新写成了Fourier级数。这一级数是高度结构化的：所有的波都是余弦，并且因为在任何余弦前都没有数字，所有波都是同样大小的。“它是你能得到的最简单的Fourier级数，”剑桥大学的Benjamin Bedert说道，“并且一般来说，我们对Fourier级数非常熟悉。”

由cos(2x)+cos(3x)+cos(8x)定义的新波具有波峰和波谷，它们会揭示原始数字集合的有趣性质。于是Ankeny与Chowla试图测试他们对这样一种级数究竟懂得多少。他们好奇：对于N个整数的任意集合，这一求和所能取到的最小值是多少？

很容易算出和式的最大值。当x为0时，任何余弦函数都会达到最大值1。因此我们这三个余弦波的和给出1+1+1，也就是3。类似地，一千万个余弦波的求和的最大值是一千万。对于N个整数的任意集合，最大值就是N。

然而理解余弦和的最小值出奇地困难。尽管不同波全都同时达到最大值至少一次（当x为0），对于最小值而言情况并非如此。可能不同波的最低点仍然会充分对齐来产生一个非常低的和值。也可能这些波会相互干涉，因此和值就不可能变得太低。

金之涵（左）、Aleksa Milojević（右上）与István Tomon打算解决图论中的一个重要问题。在此过程中，他们无意间对Fourier变换里一个看似不相关的问题提出了一种新方法。

1952年，Ankeny与Chowla猜想，正如最大值会随着原始集合中整数的数目增大而变得越来越高，最小值也会变得越来越低。这在数年后得到证明——促使Chowla 1965年对问题加以提升。他想要确切地知道最小值随着N增大会降低得多快。

他知道有这样的N个整数的集合，其余弦和的最小值大约在左右。他能想到的任何其它集合都会下降得更低，于是他猜想对于任何N个正整数的集合，相应余弦和的最小值一定低于。

在随后的数十年里，一些数学家逐步开凿这一问题。可是到2000年代中期，他们所能证明的结果与Chowla的预言之间还有着巨大的鸿沟。按照最新的界，由匈牙利Alfréd Rényi数学研究所的Imre Ruzsa在2004年所证明的，10²⁰个余弦的和——在1后面有20个0，差不多是一立方英寸空气里分子的数目——一定拥有小于-7的最小值。而相比起来，Chowla预言最小值一定低于-10¹⁰。

尽管如此，在过去20年里，Ruzsa的结果已经代表了Chowla余弦问题的巅峰进展了。

接着一个完全无关的研究项目最终打破了这一壁垒。

弥合分歧

这一项目处理的是由节点和边组成的网络，也就是所谓图。

去年夏天，两组图论家——在欧洲的金、Milojević与Tomon，和在斯坦福大学的张——正满腔热情地在图论最核心的一个问题上做出进展。这就是所谓“最大割”问题，是指如何以最优的方式将图分成两部分，并使得二者之间有尽可能多的边。这是关于图结构的一个基本问题，在现实世界里会有用处：例如，图的最大割可能代表一种高效的电路设计，或者一个粒子体系的最低能量态。

可是没有万全之策可以找出一个图的最大割，至少目前没有。（它是所谓的NP-难问题之一。）因此数学家转而尝试对特定种类的图估算最大割。

2003年，Benjamin Sudakov，苏黎世联邦理工学院的一位数学家，同时后来也是金、Milojević与Tomon的导师，与三个同行提出了关于一种特定图的最大割的一个猜想。这个图没有团——也就是全都彼此相连的节点集体。

互连节点的集体构成团。这个图有一个五节点的团，用红色标记出来了。

去年七月，在20多年后，张证明了这类图最大割的一个新界。几天后，金、Milojević与Tomon改进了他的结果。

为此，研究者探讨一种重要的量，所谓本征值。本征值提供了图的结构方面的信息。比如，最大本征值计数了图的边数；第二大的本征值度量了图的连通性。金、Milojević、Tomon与张聚焦于负的本征值，构建出一条最新的研究思路，将它们联系到图的最大割上。对这些本征值的分析最终让他们得以证明他们的最新结果。

这些数学家决定把各自的成果合写到一篇文章里去。可是他们还没来得及完成，就收到了一封突如其来的电子邮件，是关于Chowla余弦问题的。

Cayley图

邮件来自印第安纳州普渡大学数学家Ilya Shkredov。Shkredov是一名数论家，他指出Chowla余弦问题可以重新用图来表述。不过不是这个团队正在研究的一般种类的图，而是一种特殊类型，由数学家Arthur Cayley于1878年所发明。

为了构建Cayley图，假定你又要处理集合 {2,3,8}。从一堆节点出发——到底有多少无关紧要，只要节点数比集合中最大的整数还大就行了。（取决于你想如何使用这个图，你可以还对这个数目附加一些额外的约束；在这个例子里，它还必须是素数。）然后，把节点排布在一个圆上，并用整数标记每个节点。接着在这样的两个节点间连一条边，如果它们的差在原始集合里。因此用1和3标记的节点间会有一条边相连，因为它们相差2，而2在集合 {2,3,8} 里。

到1970年代，数学家们已经弄清，在Cayley图的结构中内嵌着Chowla问题中Fourier级数的信息。事实上，Cayley图的本征值恰好对应于余弦和所能取的不同值。因此最小的本征值会告诉你余弦和能达到多低。

“这是个众所周知的结果，” Milojević说道，“这一关联是非常典范的。”

它让数学家们得以重塑这一问题。如果他们可以证明Cayley图的最小本征值可以变得很小，这就意味着余弦和也会变得很小——正好是Chowla余弦问题所关注的。

可是没人弄清该如何利用这一关联。

“你可以用锤子去敲钉子，但得先有锤子才行。”Sudakov说道。数学家没有办法把最小本征值分析得足够精确，从而获知余弦和的最小值上的信息。

张盛桐在著名的“最大割”问题上做出了重要的进展。这是关于图的一个基本问题，有着大量实际应用。

但在他们关于图的最大割的工作中，金、Milojević、Tomon与张不经意地生成了一把锤子。在研究图的本征值如何关联于其结构时，他们发现任何没有哪怕一个低本征值的图必然由团主导。Shkredov在阅读他们的证明时，意识到这意味着这个团队事实上已经把Chowla余弦问题再次重塑了：直接分析本征值已经不再必要。取而代之的，他们只需证明他们的Cayley图没有任何大团。这将导致每个这样的图都有一个非常低的本征值，从而最终让他们得以利用Chowla猜想与图论之间的关联。

在那之后，“我觉得主要的障碍就是相信我们能做到。”Tomon说道。

团之奇效

当Shkredov发来邮件时，这些数学家全都在度假。不过在家乡布达佩斯市游玩的Tomon抽出时间把玩了一下Cayley图。

在思考一会之后，“它确实有效，”他说。

要看出Tomon的想法如何运作，我们回到针对集合{2,3,8}的Cayley图。回顾一下，证明Chowla猜想意味着证明这个图的最小本征值要变得非常低。因此假定反面：没有哪个本征值很低。你想要证明这一假定最终会导致矛盾。

基于团队在最大割上的工作可知，如果Cayley图没有小本征值，那么它必然包含一个大的团——比方说，全都彼此相连的五个节点。这进而意味着，如果你取这些节点中的任何两个，它们的整数标签的差值会是2, 3，或8。

利用一套截然不同的技术，Benjamin Bedert在解决Chowla余弦问题上更进了一步。

现在对每个节点加1来得到一个新的五节点集合。它们也跟第一个集合一样相差相同的数量，意味着它们也形成一个团。持续下去，你会生成越来越多的团。可是这会带来一个问题：团有大量的边，可是Cayley图按照其定义方式只会有相对较少的边，并且它们会遵从一种特定的结构。最终，当你得到非常多的团后，你会生成比Cayley图的容量更多的边。这意味着，存在一个大团的最初假定一定是错的。这进而意味着最小本征值一定很低。

一旦Tomon弄清了这一点，证明的剩余部分很容易就成形了。九月，他、金、Milojević与张把联名文章在线公布了。它主要聚焦于如何分析图的最小本征值——这一成果首先可以让他们强化几个月前发现的无团图最大割的界。

不过他们的首要结果是关于Chowla余弦问题的。他们证明对于任何整数集合，相应的余弦和可以取到低至的值。对于任何的现实值，与Ruzsa数十年来的界差不太多。可是对于庞大的值，比方说，差异就开始明显了：金、Milojević、Tomon与张证明个余弦的和会下滑到-100以下，而Ruzsa的界是-7。

“在我看来，这是非常惊人的，”Sudakov说道。团队从图的一个结果出发，接着横空出世，他们获得了一个看似无关的问题上的新颖见解。

就在这些研究者公布他们文章的两天后，剑桥数学家Bedert也公布了他自己在这一问题上的进展，采用了Fourier分析中一种更加传统的方法。他的结果超出了该团队的界一丢丢：它表示对于任何

整数集合，余弦和可以取到低于的值。对于，这把金、Milojević、Tomon与张的最小值从-100降到了大约-720。

不过数学家们觉得最值得注意的是，这两个结果史无前例地表示，存在已证实的一个估计，其形式与Chowla猜想的界相同。换句话说，新的界跟Chowla的一样，可以写成的幂次。（Chowla的 界等价于。）Ruzsa之前的估计则无法写成这种形式。

围绕Fourier变换的迷雾依然厚重。不过这些新技术更有利于穿透它。

尽管两个证明都没有完全弥合与证明Chowla猜想之间的差距，数学家们已经激动万分了。当前来说，“我觉得有点像登月或者英里4分钟，”Sanders说道，“还没法提前看出这会带来什么。”

图在这个故事里扮演的角色尤其引人入胜。这并非图论与Fourier分析的首次邂逅。不过至今为止，这两个领域间的联系都是一次性的。现在，金希望Chowla余弦问题与最大割之间的特殊关联预兆着更广泛的内容。“不管在Chowla问题上得出什么预言，该现象都会更加广泛，”他说，“它会在图上也奏效。”

“我们如今在同样的影响范围内有了更多的问题，”Sawhney说道，“知晓不同的事情存在于同一世界是非常有用的信息。它会相当强有力。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/networks-hold-the-key-to-a-decades-old-problem-about-waves-20260128/