精选
在量子游戏中，你没法投机取巧
这些游戏汇集了量子纠缠，无穷大，以及无法计算的胜率。一旦研究者破解了它们，就将揭示深奥的数学秘密。
Kevin Hartnett 著
左 芬 译
【译注：原文2019年4月1日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
1950年代，四个热衷数学的美国陆军士兵使用原始的电子计算器得出了玩21点游戏的最佳策略。他们的结果后来发表在《美国统计协会杂志》，详述了在游戏中遇到的每种情况下玩家的最佳决策。
不过那一策略——后来演变为赌徒们所谓的“天书”——并不能保证玩家总是获胜。21点跟单人纸牌、西洋跳棋以及许多其它游戏一样，玩家能获胜的概率是有上界的，哪怕他们把游戏玩到完美的程度。
但是对于一类甚为怪异的游戏变种，这一最大获胜概率是没法计算出来的。于是，数学家和计算机科学家试图确定是否可以对这些游戏的最大胜率进行近似。而这一点是否可行取决于两种截然不同的物理思维方式的相容性。
这些“非定域”游戏是由物理学家John Stewart Bell在1960年代构想出来的，用以理解纠缠这一古怪的量子现象。尽管量子纠缠很复杂，非定域游戏却很简单。你有两个玩家，每个玩家被问到一个简单的问题。如果他们的答案能以某种方式协同起来，就赢得游戏。可是他们不允许彼此通信，所以每个人只能猜测另一人的回答会是什么。Bell证明，如果玩家可以共享纠缠的量子粒子，就可以强化他们的答案间的关联，从而以高于预期的概率赢得游戏。
在过去数年里，研究者们发展了Bell的框架，如我在近期文章《简单量子游戏揭示宇宙终极复杂度》中所述。William Slofstra 2016年的一篇文章和Andrea Coladangelo与Jalex Stark 2018年的一篇文章证明，对于某些非定域游戏，玩家共享的纠缠量子粒子对越多，他们就能玩得越好。这一关系会一直持续，意味着玩家需要无穷多对纠缠粒子（或者有无穷数目独立性质的纠缠对）来将非定域游戏玩到最佳。
这些结果的一个推论就是，某些非定域游戏的最大获胜概率是无法计算的。计算机无法处理无穷大的量，因此如果完美算法策略需要无穷数目的纠缠粒子，那么计算机无法计算出这一策略何时会给出收益。
“没有一般性的算法，让你只要输入游戏的描述，就会输出最大获胜概率，”多伦多大学的理论计算机科学家Henry Yuen称。
不过既然我们无法知晓最大获胜概率的准确值，是不是至少可以在比如说几个百分点之内计算它呢？
数学家们一直在这一问题上奋力拼搏着。奇怪的是，他们的方法依赖于两种截然不同的物理思维方式的相容性。
回顾一下，非定域游戏中的两个玩家禁止协商答案。有两种方法来确保这一点。第一种是在物理上将两个玩家彼此分离——将他们安置在各自独立的房间或是在宇宙相对的尽头。这一空间上的分离确保了他们无法通信。研究者们使用所谓“张量积”模型（涉及被称为张量的数学结构）来分析这一情况。
但还有另一种办法来确保玩家无法串通答案。不同于分离他们，你加上另一个要求：两个玩家测量纠缠粒子并给出答案的次序不能对答案有影响。“如果他们执行测量的次序无关紧要，那么他们显然没有在通信，”Yuen称。
“你确实可以把两个独立的物体放置在宇宙中两个分离的地方，这在数学层面上并不是一个既定事实。”
Henry Yuen
在数学中，当任务执行的次序不影响最终答案时，我们说操作是交换的：
。这种思考非定域游戏的方式——基于次序无关性而非空间分离性——被称为“交换算子”模型。
张量积与交换算子模型都被用在物理中，尤其在被称为量子场论的一个研究领域中用于探索亚原子粒子间的相互作用。这两种模型是对物理事件彼此因果不相关的不同思维方式。而尽管张量积模型更加直观——我们在脑海里倾向于将因果无关性用物理上的分离来图形化——交换算子模型提供了一种更加清晰的数学框架。这是因为“空间无关性”是一种模糊的概念，而交换关系则可以准确地定下来。
“对于研究量子场论的人们而言，物体能在空间上分离并不是一个天然的概念，”Yuen说道，“你确实可以把两个独立的物体放置在宇宙中两个分离的地方，这在数学层面上并不是一个既定事实。”
而所有这些跟非定域游戏的关系如下。
计算机科学家可以使用张量积模型来计算非定域游戏最大胜率的下界。他们使用的算法确保最大胜率总是在某个阈值之上。类似地，研究者们使用交换算子模型来给出最大胜率的上界。这一算法保证它一定在某个阈值之下。
有了这些工具，研究者想要把这些界限挤压得尽可能靠近，就跟两个活塞一样。他们知道不可能让这两个界限贴合来给出一个精确的最大胜率——Slofstra，Coladangelo与Stark近期的工作证明精确的最大胜率是不可计算的——但只要让它们尽可能地靠近，就可以更准确地逼近最大胜率。
确实，这些算法运行地越久，这两个活塞就会靠得越近，给出一个不可知的中间值的越来越好的近似，但永远无法达到它。可是人们不清楚观察到的这一收敛性是否会一直持续下去。“这些算法神秘莫测。它并非一种逐渐的，平稳的数值改进。我们根本不清楚它们收敛得多快，”Yuen说道。
这一活塞策略的前提是两个模型是等价的。它假定上界和下界会挤压到中间的一个值。如果两个模型真的是等价的，那么两个活塞确实有望靠近到任意距离。（而这也意味着，如果你能证明两个活塞在以任意距离靠近，那么你也就证明了两个模型是等价的。）
但也有可能这两个模型并非同一事物的不同表示方式。有可能它们就是不同的，不相称的，那么这一活塞策略可能会造成上限沉到下限底下这样的局面。在此情形下，计算机科学家会失去他们逼近最大胜率的最佳策略。可惜的是，没人知道确切答案。
在过去两年里，最大的进展也仅仅只是用两个证明来确立了这一问题有多难以解决。
2018年，Thomas Vidick和Anand Natarajan证明逼近非定域游戏的最大胜率至少跟解决像旅行商问题之类臭名昭著的难题一样困难。同样在2018年，Yuen，Vidick，Joseph Fitzsimons与季铮锋证明当活塞彼此靠近时，将它们推得更近需要的计算资源呈指数式地增长。
而在这个故事的另一个环节中，两个模型是否等价这一问题与纯数学中被称为Connes嵌入猜想的一个重要且困难的开放问题刚好对等。这便将数学家和计算机科学家置于一个一石三鸟的处境：一旦证明张量积和交换算子模型是等价的，他们也就同时生成了计算近似最大胜率的一个算法，并且也确立了Connes嵌入猜想的真实性。这一成就将在所有这些关联领域中获得无上荣耀。
一言以蔽之，所有这些问题都深度纠缠着。
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/in-quantum-games-theres-no-way-to-play-the-odds-20190401/
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自左芬科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-863936-1475383.html?mobile=1
收藏
