精选
获赠认知大礼，数学家急于领悟
计算机科学中一个里程碑式的证明附带解决了Connes嵌入猜想这一重要数学问题。数学家们急于领会个中奥妙。
Kevin Hartnett 著
左 芬 译
【译注：原文2020年4月8日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】
是否总有办法用有限大小的数组来近似一束光中的无穷多光子呢？
设想外星人在地球上着陆了，并且就我们最紧迫的问题——比如，上帝是否存在？黎曼猜想是否为真？Oswald是否单独行刺的？——向我们传达了确保正确的答案。
我们会珍惜这些信息，但如果我们不知道他们是如何获得答案的，这些其实也没多大用。
这正是数学家们如今所处的境地。今年一月，一个计算机科学家团队公布了一个包罗万象的证明，人们将其尊为该领域本世纪顶级成果之一。并且这一证明远远超出了计算机科学本身。通过一长串的推理，它还解决了数学中一个重要的开放问题。
数学家——这个问题所处的算子代数领域内的——如今就像这些地球人，获赠了来自异域的一份认知大礼。计算机科学告知他们关注的一个猜想是错的。但是要让这一信息有所收益，他们得设法将证明翻译成他们能理解的语言。
“如果算子代数领域更多的人在过去两年里予以关注的话，整个领域会更容易吸收这一结果，”加拿大滑铁卢大学数学家Vern Paulsen说道，“我们有大量准备工作需要去做。”
猜想
这一数学问题就是Connes嵌入猜想，由法国高等科学研究院的Alain Connes于1976年提出，与量子力学的数学中出现的某些数值对象有关。
让我们首先考虑一个简化的情形。将一个扔到空中的球画下来。你需要三个数字来指定它在空间中沿x,y,z轴方向的位置。将这三个数字插入方程中，你可以建模球的轨迹。
OK。
现在设想你要用数学来描述一束光。这是一个量子力学系统，数学家和物理学家们把数字组成的方阵插入方程里来加以描述。这些方阵被称为矩阵，扮演着球那个例子里数字的角色：它们包含了描述光束的位置所需的全部信息。
可是，描述球只需要三个数字就够了，描述光束的矩阵是巨大的：它们包含无穷行和列的数字。
为什么会如此之多呢？因为一束光其实是一条光子流。
思考它的一种方式是用单个的光子建立一个模型。只有一个光子的一束光用一个2*2的矩阵描述，其元素代表光子的“振动角”，大体上对应于其运动方向的一个测量结果。有两倍的——也就是两个——光子的光束需要4*4的矩阵。三个光子需要8*8的矩阵。四个光子需要16*16的矩阵，以此类推，每次你增加一个光子，行和列的数目会翻倍。
因此当你最终提升到整束光，需要多大的一个矩阵去描述它？ 这取决于光束包含多少个光子——而量子力学在某种意义上将光束视为包含无穷多个光子的波。
“你得把它看做一条无穷的光子流，”Paulsen说道。这条光子流需要拥有无穷行和列的矩阵来描述。数学家与博学家John von Neumann在1930年代发起了对起源于量子力学系统的无穷维矩阵的研究。
四十余年后，Connes拓展了这一工作。他提出了一种系统的方法来理解描述光子流这类系统的无穷维矩阵，猜想它们可以逐步从小的有限维矩阵构造出来。
数学家Alain Connes提出了一种严格的方法来逼近无穷维矩阵，但它并不总是适用。
你可以这样来理解。
假设你有地球表面的一张平面图，而你想知晓各处的温度。你可以把温度计放到地图上无穷多个点的每个点上去读数。这样你就可以构建一个有无穷行和列的矩阵来表示这些读数。
但这需要大量工作。现在来尝试一个粗暴的近似：将地图分成四个象限，然后计算每个象限的平均温度。你可以用一个简单的2*2矩阵来表示这一信息。
接着你想做得更好一点。将每个象限再分出象限来。现在你总共有了16个区域。计算每个区域的平均温度，然后用一个4*4的矩阵来表示这一信息。你可以一直这样持续下去，将象限再分成象限，并用越来越多——但仍然有限——行和列的矩阵来表示象限的平均温度。
现在，对于每个有限维度的矩阵，你可以问自己：它对无穷维矩阵的温度读数的近似程度如何？比方说，用2*2矩阵，你可能希望一个象限的平均温度在那个象限每个点的实际温度的10%以内。4*4矩阵要改进一点，因此你希望做得更好，也许可以做到在每个点实际温度的9%以内。
Connes嵌入猜想有着类似的意味。不过不同于地图上的温度读数，它跟描述光束这样的量子力学系统的矩阵有关。
Connes预言，知晓系统在简化层面——2*2矩阵版本——的行为总是允许你逼近整个系统行为到某个误差界以内。这一误差随着矩阵规模变大而缩小。随着你增加光子并扩大矩阵的规模，你会朝着真正描述光束行为的无穷维矩阵逐渐靠近。
证否
可是来自计算机科学的新结果证明Connes的预言是错的。这意味着，尽管这一近似方案对描述量子力学系统的某些无穷维矩阵适用，它并不适用于它们全部。
“他的猜想预言知晓每个子系统的足够信息就足以描述整个系统，在某个误差界以内，”Paulsen在一封电邮里写道，“现在我们知道不是这样的。”
Connes嵌入猜想的失败在数学领域有着诸多推论。第一点就是以上所述，并非所有的无穷维矩阵都可以用有限维矩阵逼近得很好。
“它确实阻止了人们去研究这些问题。不过如今游戏又再次启动了。” 滑铁卢大学，Vern Paulsen
第二个推论就是，一定存在一些数学家尚未知晓的无穷维矩阵家族。Connes预言所有无穷维矩阵家族都可以被有限矩阵近似得很好，而到目前为止，情况一直如此。新证明虽然确立了这一近似方案不会始终可行，但它并没有实际上给出任何偏离它的特定矩阵族。因此数学家们现在得去找出不可行的那些矩阵来。
这一浪潮也在向着其它方向涌进。不少其它猜想都跟Connes猜想紧密相关：如果它成立，如同许多数学家假定的那样，那么这些其它问题也自动地为真。可是既然它不对，这些其它猜想现在就很不确定了。而数学家们到目前为止一直忽略了它们。
“它确实阻止了人们去研究这些问题。不过如今游戏又再次启动了。”Paulsen称。
可是，数学家们在探究任何这些推论之前，他们得先理解诱发它们的计算机科学成果。这并不容易。这一新证明经历了多年的发展，写成了一篇165页的长文，并深深地植根于计算理论而非算子代数。如同QuantaMagazine近期诠释的那样，它可以上溯至Alan Turing早期的计算理论，并利用了量子纠缠和那些被称为非定域游戏的趣味问答类竞赛。对于数学家来说这些内容大多是陌生的。
“如果你在过去两年里没有关注过，”Paulsen说道，“听到[这些方法]竟然解决了Connes猜想一定会相当吃惊，因为这是一个关于矩阵的问题。”
数学家们如今试着自己去读这篇文章。已经读懂的那些人在组织研讨班，教给其他人。撰写文章的五位计算机科学家也在筹备着讲座，将他们的工作解释给数学界。
最终数学家们会吸收这一新成果，并很可能设法用他们领域的语言来重新表述它。可人类文明不会在一夜之间听从一些地外预示。同样，数学也不会。
“这会需要好些时间，”Paulsen称。
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-grapple-with-sudden-answer-to-connes-embedding-conjecture-20200408/
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