Zmn-1358 薛问天: 正确认识β(Δx)=o(α(Δx))中等号的确切含义，评师教民《1352》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1352》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识β(Δx)=o(α(Δx))中等号的

确切含义，评师教民《1352》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

0，高阶无穷小的定义中，并未规定α(Δx)和β(Δx)的定义域是Δx≠0。

1)，我之所以要说明为什么要把α 写成 α(Δx)，β 写成 β(Δx)，那是因为α和β是无穷小。当这些无穷小是自变量Δx的函数时，很自然把α 写成 α(Δx)，β 写成 β(Δx)。师先生不仅要知道这样写没有错，还要懂得这样写的道理是α和β是无穷小，无穷小是函数，Δx是它的自变量，而它们的函数变量即应变量是α(Δx)和β(Δx)。

2)，师先生在这里的错误，就是没有弄清高阶无穷小定义中要求α≠0，确切地说是指当自变量Δx≠0时，无穷小函数α(Δx)的应变量≠0。指的是当自变量Δx≠0时，对无穷小函数α(Δx)的函数值的要求，並不是要求函数的自变量不允许Δx=0。即並没有要求和规定它的定义域是Δx≠0。因而师教民所说的极限理论中高阶无穷小变量定义里的函数 α(Δx)，β(Δx)，【的定义域都为Δx≠0 的全体实数，简称为Δx≠0】，是完全错误的。高阶无穷小定义里的函数 α(Δx)，β(Δx)，是Δx→0的无穷小，所以它们‘的定义域可以为Δx≠0 的全体实数，也可以为包括Δx=0的全体实数。(严格讲是可以为包括0或不包括0的一个δ邻域)。

也就是说，关于α≠0的要求，是指的当自变量Δx≠0时，α(Δx)的应变量≠0。並不是要求函数的自变量不允许Δx=0。並没有要求和规定它的定义域是Δx≠0。

要知道对于α(Δx)=Δx的特殊情况，同样满足【当自变量Δx≠0时，α(Δx)的应变量≠0】的α≠0的要求，而且在Δx=0时函数α(x)有定义，α(0)=0。

至于定义中lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))的那个求极限的函数，也只是要求在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。並不是师先生所说的一定是g(Δx)=β(Δx)/α(Δx)【定义域是Δx≠0】。也就是说並没有要求f(Δx)的定义域一定是Δx≠0。

师先生的错误就在于他说的这句话，他说【极限理论中高阶无穷小变量定义里的函数的定义域产生的先后顺序和因果关系是α≠0→α(Δx)≠0→Δx≠0，根本就没有、也不允许有 Δx=0．】我再说一遍，要知道α≠0说的是要求【当自变量Δx≠0时，α(Δx)的应变量≠0。】並不是要求函数的自变量不允许Δx=0。並没有要求和规定它的定义域是Δx≠0。这里的Δx≠0说的是【当Δx≠0】时函数的属性要求，不是在说函数的定义域是Δx≠0。怎么连这么筒单的道理都听不懂。

3)，正是由于师没弄懂为什么把α写成α(Δx)，师先生才说出【α≠0 和α(Δx)≠0 产生的先后顺序是α≠0 在前，α(Δx)≠0 在后，并且α≠0 是α(Δx)≠0 产生的原因，α(Δx)≠0 是α≠0 产生的结果．在产生 α(Δx)≠0 时，还没有Δx≠0.】和【应该是先有 了α(Δx)≠0 后才能有Δx≠0，不能在Δx≠0 时有α(Δx)≠0．】等等奇谈怪论。要知道α是无穷小，就是函数，当它的自变量是Δx时，α就可用α(Δx)表示。根本不分什么前后的不同，是前后一贯的。高阶无穷小定义中要求α≠0的含义，就是要求【在Δx≠0 时α(Δx)≠0】。对低阶无穷小α(Δx)=Δx的这个例子。其中Δx≠0的意思仍然是说它满足α≠0的要求，即【在Δx≠0 时α(Δx)≠0】。没有规定α(Δx)的定义域是Δx≠0。师先生用【先后顺序和因果关系】来辩解，纯属毫无根据的狡辩。

关于定义中lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))的那个求极限的函数，也只是要求在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。並不是师先生所说的一定是g(Δx)=β(Δx)/α(Δx)【Δx≠0】。也就是说並没有要求f(Δx)的定义域一定是Δx≠0。g(Δx)只是我们讨论的f(Δx)的一种可能。

另外，我还要补充一点，α，β，f，这是三个不同的函数。师先生把f说成是g是错误的。另外他由g(Δx)的定义域是Δx≠0，推论说α(Δx)和β(Δx)的定义域也是Δx≠0的这个推论也是错误的。要知道既使g(Δx)的定义域中没有Δx=0，也推不出α(Δx)和β(Δx)的定义域中没有Δx=0。只是在g(Δx)的定义中没有用到Δx=0时的α(0)和β(0)而已，並不能由g(Δx)的定义域是Δx≠0，就说α(0)和β(0)没有定义。

1，师先生认为【把没有用到认为是规定它没有函数值】这个错误是【薛问天先生编造出来、并强加给我的观点】。当然不是我强加的。以他接着的述说两例为证。

例如，高阶无穷小定义中的α≠0的要求。明明是指的【当Δx≠0时α(Δx)≠0】，说的是Δx≠0时函数α(Δx)的值不等于0。【没有用到】Δx=0点的函数值。师就认为是【规定了Δx≠0】，即规定了α(Δx)在Δx=0【它没有函数值】，定义域是Δx≠0。

要知道既使对特例α(Δx)=Δx，所谓Δx≠0指的也是【当Δx≠0时α(Δx)≠0】，不是指α(Δx)在Δx=0【它没有函数值】。

再例如，关于定义中lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))的那个求极限的函数，也只是要求在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。而且求极限时强调的Δx≠0就是求极限根本【没有用到】也不涉及f(Δx)在Δx=0点的函数值。而师先生就由于这个Δx≠0，认为f(Δx)【的定义域为 Δx≠0】，即认为f(Δx)在Δx=0【它没有函数值】。

所以说，师先生要认识到他的观点的错误，这並不是我强加给他的。

2 ，师先生直到现在都没有认清，定义中要求的α≠0指的是要求【当自变量Δx≠0时，α(Δx)的应变量≠0。】並没有要求函数的自变量Δx=0时，α(Δx)的应变量≠0。即要求α≠0並不是要求在任何情况下，无论当Δx≠0和Δx=0时α(Δx)的应变量都≠0。

师先生说【高阶无穷小变量定义里，必须要求：在任何情况下都有 Δx=α(Δx)=α≠0；不允许要求 Δx=α(Δx)=α=0。】是完全错误的。首先要分清α(Δx)=Δx只是特例。而且在这种特例情况下，也满足α≠0的要求，即尽菅【当自变量Δx=0时，α(Δx)=Δx的函数值α(0)=0。】但这並不違反定义中α≠0的要求。因为【当自变量Δx≠0时，α(Δx)=Δx的应变量Δx≠0。】

3，师先生到现在还未学懂，在高阶无穷小定义中【记作β(Δx)=o(α(Δx))】的含义是【β(Δx)是比无穷小α(Δx)高阶的无穷小】。其中的β(Δx)是一个确定的无穷小，而比无穷小α(Δx)高阶的无穷小有多个。师先生，你说这里的这个等号表示的是什么意思。当然是【是】的意思，是【属于】的意思。

师先生不了解数学。数学的等号在不同的地方可以有不同的定义。数学中的等号不只是仅仅用来表示集合的相等，逻辑的同一。在不同的地方可以有不同的相等的定义。在这里，例如β1是Δx^2，β2是Δx^3，显然是不同的无穷小，但是它们都是比无穷小Δx高阶的无穷小。所以就可以写成β1=o(Δx)和β2=o(Δx)。师先生应对此等号在这里的含义作正确地理解。

下面我们指出师先生论证中的一些错误。

师先生说【薛问天先生早就承认了 o[α(Δx)] 是比 α(Δx) 高阶的无穷小变量，所以薛问天先生也就承认了 o[α(Δx)] 是比无穷小函数 α(Δx) 高阶的无穷小函数．】我当然不能承认，这错就错在一个确定的无穷小肯定有它的一个函数表示，但多个无穷小就没有一个函数能表示这多个无穷小。所以o[α(Δx)]不可能是函数表示。

师先生说【承认了α(Δx)=Δx，所以薛问天 先生也就承认了β(Δx)=β[α(Δx)].再由β(Δx)=o[α(Δx)]可以推导 出 β[α(Δx)]=o[α(Δx)]，所以 β[α(Δx)]，o[α(Δx)]都是以 Δx 为 自变量以 α(Δx)、 为中间变量的复合函数，】这简直是在胡推。要知道α(Δx)=Δx只是特例不能拿来作一般推论。另外我们说β(Δx)=o[α(Δx)]左端的Δx是无穷小β的自变量，右端的Δx是无穷小α的自变量，所以含义和作用不同。在α(Δx)=Δx的特例下，β(Δx)=o[Δx]左端的Δx是无穷小β的自变量，右端的Δx是无穷小α的函数变量，含义和作用更不相同。说它们是【以 Δx 为自变量以 α(Δx)为中间变量的复合函数，】完全是师先生的主观臆想，完全是错误的。

我前面己经指出，师先生不了解数学。数学中的等号不只是仅仅用来表示集合的相等，逻辑的同一。在不同的地方可以有不同的相等的定义。尽菅是含义不同的对象，但只要有某个方面有相同的特性，就可以用一种特殊定义的等号，来表示它这方面的相等。如1和6是不同的数字，但相对于模5来说，是相等的，就可表示为1=6(mod5)。如用等号表示出生地相同，就可以写成张三等于北京人，李四等于北京人，甚至写成张三等于李四(出生地相同)。价格表中，用等号表示价格，就可以写成一斤西瓜等于1元钱。等等。这一切都充分说明【含义不同也可以相等】。

师先生用【左右两端含义相同】来解释所有的等号是不对的。我问师先生，你认为β=o(α)这里的等号表示左右两端含义相同。那么当β1=o(α)，同时又有β2=o(α)，你是否认为β1和β2是同一个无穷小？你能解释通吗？

4和5没有实质内容，就不回答了。

Zmn-1352 师教民 : 单个讨论薛问天先生的Zmn系列文章中的问题(3)—评薛问天1334

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