Zmn-1307 薛问天: 错误在于没有认清蕴含命题的这两个特殊情况。评一阳生《1302》的跟帖[7-8]

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1302》的跟帖[7-8]的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

错误在于没有认清蕴含命题的这两个特殊情况。

评一阳生《1302》的跟帖[7-8]

薛问天

xuewentian2006@sina.cn。

一、一阳生说【薛老师的说法是错误的。】恰恰相反，薛老师的说法没错，是一阳生说错了。

1，一阳生的错误在于他故意少说了这个重要的条件，即〖如果能推出q是恒真命题〗的这个条件。

要知道我所说的的是在这个特殊情况下发生的事。即在〖如果能推出q是恒真命题〗的条件下〖对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题p，皆可推出q。〗

要知道在一般情况下，q並不一定是恒真命题。也就是说，〖如果能推出q是恒真命题〗的条件並不一定成立，当然这个结论〖对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题p，皆可推出q。〗也並不一定成立。

请大家注意，一阳生引述薛的语句时，故意不说这个条件，那就是他所说的语句是他认为在此条件不成立的情况下，〖对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题p，皆可推出q。〗一定是成立的，当然是错误的。但这个错误是你一阳生说的错误，而不是薛老师的错误。

至于一阳生说【薛老师把可推出关系(⇨)定义成了真值为真的蕴含关系。这不符合通常的理解。】的错误，我在二中再说。

2、一阳生说【薛老师说：“对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，…，因而〖推理q的真值过程中，逻辑上必然同p的真假值无关。〗”薛老师在此给出了前提条件[对于任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，]，然后根据蕴含命题真值定义，推理出结论：[推理q的真值过程中，逻辑上必然同p的真假值无关。]。显然前提条件中存在[对于任何命题p]，已经使用到了p，而且既使用到了p真又使用到了p假。难道薛老师能够不使用关于前提的任何信息，而仅仅根据蕴含命题为真就能推出结论恒真？显然是不可能的！】

我己说过，一阳生的错误在于他故意少说了这个重要的条件，即〖如果能推出q是恒真命题〗的这个条件。要知道我所说的的是在这个特殊情况下发生的事。即在〖如果能推出q是恒真命题〗的条件下〖对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题p，皆可推出q。〗

看清楚了吧，【前提】是〖能推出q是恒真命题〗，【结论】是〖对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题p，皆可推出q。〗

既然结论是对〖任何命题p，皆可推出q〗，当然〖推理q的真值过程中，逻辑上必然同p的真假值无关。〗因为【任何】命题必然可真可假。

3，一阳生说【薛老师说：“在逻辑上证明是无关就可断定它无关，不能把无关称作是【必然参与】”我惊讶于薛老师能够说出如此富有逻辑的话：【首先要[证明无关]，然后才能[断定无关]。】。那么对于蕴含命题p → q，p与q在真值上到底有没有关呢，显然需要证明。而且需要的是让p参与到推理q真值过程的证明，否则不参与证明过程，又怎么会知道在证明结果上p的真值与q的真值到底有关无关呢！......】

我己说得很清楚，我们这句话的【前提】是〖能推出q是恒真命题〗，【结论】是〖对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题p，皆可推出q。〗既然结论是对〖任何命题p，皆可推出q〗，当然〖推理q的真值过程中，逻辑上必然同p的真假值无关。〗

也就是说己经是[证明无关]，当然是[断定无关]。这是在〖能推出q是恒真命题〗的前提下，经过证明得出的【结论】所说的内容。

一阳生先生，认清了你的错误没有。你的错误在于没有认清，我所说的这句话，针对的是在特殊情况下发生的事。你故意少说了这个特殊情况的重要的条件，即〖如果能推出q是恒真命题〗的这个条件。並不是什么对[证明过程]与[证明结果]的区分。你所说的【关于蕴含命题p → q，为什么在推理q真值的过程中，必须有p的参与？而在推理p真值的过程中却没有q的参与？】並没有考虑我们所说的这个特殊情况。在我们所说的在〖如果能推出q是恒真命题〗的这个条件下，得出的结论〖对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题p，皆可推出q。〗既然结论是对〖任何命题p，皆可推出q〗，当然〖推理q的真值过程中，逻辑上必然同p的真假值无关。〗並不符合你所说的【在推理q真值的过程中，必须有p的参与】。【无关】自然是【不须参与】。一阳生说【这是由蕴含命题的基本特征和定义决定的：】显然说错了，这个特征对于蕴含命题的这个特殊情况就不成立。

一阳生对蕴含命题的理解，说【在蕴含命题的分命题中，蕴含符号前面的叫前提，蕴含符号后面的叫结论，前提和结论的关系体现在前提必须参与结论真值的推理过程。】对于我们所说的特殊情况以外，在〖如果能推出q是恒真命题〗的这个条件並不满足的情况下，可以这样理解。也就是说，一阳生的错误在于没有认清蕴含命题的这个特殊情况。

4、这正是我说的：〖要知道蕴含命题有一般情况和特殊情形况。…。前提和结论的这种关系，这是在一般情况下…。关键是还有特殊情况，…，那就是在可以证明q是恒真的特殊情况下，没有必要再去考查这样的前提p的真假值了，因为任何p作为前提都可使p→q为真。”

一阳生说【蕴含命题作为一个概念，是有确定的基本特征和定义的。不管p和q的真值是恒定的还是多变的，蕴含命题p→q都要遵守自己的基本特征和定义，没有一般情况和特殊情况之分。】

显然这是一阳生认识的错误。在p→q这个蕴含命题中，对其中的q，当然条件〖能推出q是恒真命题〗可以成立，也可以不成立。如果成立称为【特殊情况】，不一定成立称为【一般情况】。当然就有特殊情况同一般情况之分。怎么能说【没有一般情况和特殊情况之分。】

而且条件成立与否这是客观决定的，不是什么可以【主观思维上的省略】的内容。一阳生说什么【要注意，这是结论不是得出结论的过程，】也是不对的。这个证明【结论】和证明的【过程】必须一致。当我们证明这个q永真条件满足时，证明的【结论】是q是永真命题，所谓永真，就是同任何p的真值【无关】，则显然在证明q永真的【过程】中，只要不涉及p的真假值，就证明了它同任何p的真值【无关】。任何的p命题有无穷多个，在证明中不会去求这无穷个p的真假值，也就是说，求q永真的过程【无须参与】求p的真值。这是很显然的事，例如对于q=【2是偶数】。由于2是偶数是永真命题，则对任何p，皆有p→q成立。当我们证明2是偶数是永真命题时，根本用不着去考察p，例如p=【1是奇数】，这个命题的真假。因为2是偶数是个永真的命题，它同1是奇数的真假毫无关系。任何p有无穷多个，证明2是偶数是永真命题，不可能也不需要有无穷次的证明。

一阳生所说的【至于没有必要考查前提p的真值，这可能是主观思维上的省略，或者可能我们在推理q真值过程中主观上一带而过的考查了p的真值，考查到无须给予更多关注，这给了我们没有考查前提p真值的主观印象和错觉。】纯系一阳生主观臆想的胡言乱语。证明q的永真，根本不需考察同它无关的任何p值的真假。证明的每一步都是重要的，不允许什么【打酱油】作无用功。说明这是一阳生对数学证明的完全错误的理解。

关于蕴含命题，有两种特殊情况，一种是刚才所说明的

①，〖如果能推出q是恒真命题〗。可证明在这个条件下，〖对任何命题p，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题p，皆可推出q。〗

另一种特殊情况是

②，〖如果能推出p是恒假命题〗。可证明在这个条件下，〖对任何命q，蕴含命题p → q皆为真，即认为任何命题q，p皆可推出q。〗

一阳生的错误在于，他对这两种蕴含命特殊情况缺乏认识。

正如我在《1300》中所指出的〖问题的关键你承认不承认在你的逻辑系统中，还有这样的两条推理规则。用 ⇨ 表示【可推出】，用 ∑  表示一系列命题。

①，如果有∑ ⇨ q，则对任何p有∑，p ⇨ q，即∑ ⇨ p→q。

特别地，如果q是永真命题，即 ⇨ q，则对任何p有p ⇨ q，即 ⇨ p→q。

②，如果有∑ ⇨ ﹁p，则对任何q有∑，p ⇨ q，即 ⇨ p→q。

特别地，如果p是永假命题，即 ⇨ ﹁p，则对任何q有p ⇨ q，即 ⇨ p→q。〗

二、逻辑系统中的【推出关系】。

一阳生说【薛老师把可推出关系(⇨)定义成了真值为真的蕴含关系。这不符合通常的理解。】

这是由于一阳生没有系统学习过【数理逻辑】这门课程的原因。【通常的理解】，应指【数理逻辑】课程所讲的内容。应该说大学理工科的学生都多少学了些【数理逻辑】的基本课程。

一阳生问【哪本正统的教科书中提到了⇨′？】

数理逻辑谈到【命题逻辑演算】系统和【谓词逻辑演算】系统。在这些逻辑演算系统中都有【推出规则】。也就是说在这些逻辑系统中的逻辑【推出关系】是由这些【推出规则】所定义和所决定的。我举一本教材《面向计算机科学的数理逻辑。陆钟万著科学出版社》。在书中称“⺊”为“形式推演关系”。就是我们所说的【推出关系】“⇨”。

同蕴含命题有关的推理规则有

(→消去) 如果 Σ ⺊A→B，Σ⺊A，

        则 Σ⺊B。

(→引入) 如果 Σ，A⺊B，

        则 Σ ⺊A→B。

这就是 A⺊B，当且仅当  ⺊A→B 的意思。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】