Zmn-1306 薛问天: 〖在Δx=0 时α(Δx)=0〗同〖在Δx≠0时α(Δx)≠0 〗一点矛盾都没有。评师教民《1305》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1305》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

〖在Δx=0 时α(Δx)=0〗同〖在Δx≠0时α(Δx)≠0 〗

一点矛盾都没有。评师教民《1305》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，师教民先生终于不得不承认这个事实。那就是这是由于他的疏忽，没有看见我对他《1284》的评论。而不是我对他的《1284》没有评论。是由于他的无知。不知道文后的评论是文后对该文发布的评论，错误地以为文后的评论同该文同时发布的。评论的时间科学网写得一清二楚，〖2025-4-4 12:11〗，他自己没看見，这次还在说【不告诉我发表跟帖的时间？】

要知送最后只有承认事实真象，不要【瞎说】才好。‘

2，我们同师先生讨论有关在高阶无穷小定义中，对无穷小量α≠0的正确理解。师教民先生明明知道，在求Δx→0时β(Δx)/α(Δx)的极限时，【其中Δx 永远无限趋于 0 而恒≠0，α(Δx)因为在分母上而恒≠0．所以就应 该有Δx≠0，α(Δx)≠0．】可是，他却说【薛问天先生在他的文章 1269 中 却说：【允许 α(0)=0】．即允许在Δx=0 时α(Δx)=0，这就与薛问 天先生理解的、应该有的Δx≠0，α(Δx)≠0 发生了矛盾． 】

要知道，在求Δx→0时β(Δx)/α(Δx)的极限时，不涉及Δx=0这个点。其中Δx 永远无限趋于 0 而恒≠0，因为α(Δx)在分母上，从而要求α(Δx)≠0．所以就应该要求【在Δx≠0时，α(Δx)≠0．】要注意，这里对α(Δx)的要求是【在Δx≠0时，α(Δx)≠0．】是未涉及Δx=0，並没有要求【不允许Δx=0】。所以我说〖允许 α(0)=0〗．即允许在Δx=0 时α(Δx)=0。这就与我【薛问 天先生理解的、应该有的】〖在Δx≠0时，α(Δx)≠0 〗一点矛盾都没有．

请问师教民，〖在Δx=0 时α(Δx)=0。〗同〖在Δx≠0时，α(Δx)≠0 〗有何矛盾？。

师先生说【薛问天先生把我们讨论的问题，即当Δx→0 时求β(Δx)/α(Δx)的极限改成“当 x→x0 时求 f (x) 的极限”就错误了，理由为：我们 讨论的函数在 α(Δx)=0 处间断，而 f (x) 可以是连续函数．而在 连续函数中，确实极限值等于函数值，即有函数值但是对于间 断函数，在间断点处就不允许有函数值了．所以，薛问天先生最 根本的改动错误是：把“间断”改成了“可以连续”，从而想把水 搅浑，使人们不容易发现他的错误．】

师先生的认识显然是错误的，当然可以用x→x0时函数f(x)的极限来讨论Δx→0时β(Δx)/α(Δx)的极限。要知道讨论x→x0时函数f(x)的极限同函数f(x)在x0点是连续函数还是间断函数毫无关系。说什么【而 f (x) 可以是连续函数．而在 连续函数中，确实极限值等于函数值，即有函数值．】全然是错误的，函数f(x)在x0有极限，f (x) 可以是连续函数也可以是间断函数。f(x)在x0点可以有函数值也可以无函数值。两者皆有可能。函数f(x)在x0有极限，同f (x) 是连续函数还是间断函数毫无关系。要知道函数f(x)在x0有极限，只是【不涉及Δx=0】，並不是【不允许Δx=0】。那种认为【函数f(x)在x0有极限，就不允许Δx=0，只准Δx≠0】的观点是完全错误的。持有这种错误观点如何解释有连续函数一说。

师先生说【薛问天先生说：“要求的 α≠0 根本同Δx=0 无关”．薛问天先生只知道“α≠0 同 Δx=0 无关”，却不知“α≠0 同 Δx=0 无 关”的理由．因此就只能空喊口号、不说理由了．】

师先生叙述的理由如下，他说【在上述的极限 lim [Δx→0](β(Δx)/α(Δx)中，Δx 是永远无限趋于 0 而恒不等于 0 的．因为恒有Δx≠0，所以 α≠0 就无法同 Δx=0 有关了，也就是说．【α≠0 同Δx=0 无关】的理由就是因为Δx≠0．】

师先生没说清楚，为什么求Δx→0时β(Δx)/α(Δx)的极限时，恒有Δx≠0 。这是因为极限【不涉及Δx=0】，即Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0的定义是，对任何ε>0，存在有δ>0，要求当0<丨Δx-0|<δ时，即在Δx≠0时丨β(Δx)/α(Δx)丨<ε。即这个极限的要求不涉及Δx=0时函β(Δx)/α(Δx)的函数值。也就是说当Δx=0时α(Δx)=α(0)=0对所求的极限【Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0】没有任何影响。也就是这里的【Δx≠0】只是说求极限时只在【Δx≠0】情况下讨论，【未涉及Δx=0】，並不是说在不求极限时就【不允许Δx=0，只允许Δx≠0】的意思。

师先生说【薛问天先生所犯的最大错误是：他在他的文章 Zmn-1269 中说到的【允许 α(0)=0】．即允许在Δx=0 时有α(Δx)=0，这就与 薛问天先生理解的、应该有的Δx≠0，α(Δx)≠0 发生了矛盾．】

关于这点，我前面已说清楚。

〖要知道，在求Δx→0时β(Δx)/α(Δx)的极限时，不涉及Δx=0这个点。其中Δx 永远无限趋于 0 而恒≠0，因为α(Δx)在分母上，从而要求α(Δx)≠0．所以就应该要求【在Δx≠0时，α(Δx)≠0．】要注意，这里对α(Δx)的要求是【在Δx≠0时，α(Δx)≠0．】是未涉及Δx=0，並没有要求【不允许Δx=0】。所以我说〖允许 α(0)=0〗．即允许在Δx=0 时α(Δx)=0。这就与我【薛问 天先生理解的、应该有的】〖在Δx≠0时，α(Δx)≠0 〗一点矛盾都没有．

请问师教民，〖在Δx=0 时α(Δx)=0。〗同〖在Δx≠0时，α(Δx)≠0 〗有何矛盾？。〗

师先生说【薛问天先生说：“不能把α≠0 错误地理解为，不论是Δx≠0 还 是Δx=0，都必须有 α(Δx)≠0．”薛问天先生批判的这个观点肯定 不是我的，因为我认为根本就不允许有 Δx=0，所有薛问天先生 批判的就不是我的观点了，因此就不能证明我错误了.】

要知道，认为【根本就不允许有 Δx=0】这个观点就是错误的。

我己讲过，在求极限 lim [Δx→0](β(Δx)/α(Δx))中，〖这个极限的要求不涉及Δx=0时函β(Δx)/α(Δx)的函数值。也就是说当Δx=0时α(Δx)=α(0)=0对所求的极限【Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0】没有任何影响。也就是这里的【Δx≠0】只是说求极限时只在【Δx≠0】情况下讨论，【未涉及Δx=0】，並不是说在不求极限时就【不允许Δx=0，只允许Δx≠0】的意思。〗

师先生又说【退一步说，即使真允许 Δx=0，也不能【允许α(0)=0】，即不能允许Δx=0 时α(Δx)=0，因为在求极限的过程中α(Δx)为分母.薛问天先生【允许α(0)=0】，即允许Δx=0 时 有α(Δx)=0，这就不是我们所讨论的极限问题了。......】

而这个论点正是我所批评的【死记硬背，不动脑子】的坏习惯所致。

我己讲过，在求极限 lim [Δx→0](β(Δx)/α(Δx))中，这个极限的要求不涉及Δx=0时函β(Δx)/α(Δx)的函数值。也就是说当Δx=0时α(Δx)=α(0)=0对所求的极限【Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0】没有任何影响。求极限不涉及Δx=0，是在Δx≠0的情况下讨论的。在Δx≠0时，α(Δx)≠0，从而不存在【在求极限的过程中α(Δx)为分母】等于0的情况。没有任何问题。

3，师先生辩解说【对于我们讨论的极限问题，【不允许 Δx=0】和【未涉及 Δx=0】的效果是相同的，都是 Δx≠0．所以对于我们讨论的极限来说，薛问天先生强咬【不允许 Δx=0】和【未涉及 Δx=0】不同就没有意义了，就无理由了．但是，【不允许 Δx=0】和【未涉及 Δx=0】还真是有些不同之处的．即【不允许Δx=0】就是在极限中不允许Δx=0，因此也不允许涉及Δx=0 的函数值，就是想涉及Δx=0 的函数值都涉及不了．【未涉及 Δx=0】就是在函数值中允许 Δx=0，在极限中也允许 Δx=0，只是不用 Δx=0 而已．我说薛问天先生错误的理由是：在函数值中，若允许Δx=0，那么必然有 α(Δx)=α(0)=0，但是α(Δx)=0 在分母上，所以就推导出分母为 0 的错误．】

把讨论的问题搞清楚。这里讨论的是高阶无穷小的定义。是说有两个无穷小β(Δx)和α(Δx)，是说如果当Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0，则称β(Δx)是比α(Δx)高阶的无穷小。请问师教民先生，你是否认为因为定义中用了Δx→0的极限，所以不允许Δx=0，因而在这个定义中的β(Δx)和α(Δx)这两个无穷小不能有Δx=0的函数值。

我可以断定你这样的认识是错误的。你的错误得出所有高阶低阶无穷小都没有Δx=0的函数值。甚至所有有Δx=0的函数值的无穷小都不能成为高阶低阶无穷小，显然是错误的。错误的理由就是把极限的【不涉及Δx=0】误判成【不允许Δx=0】。要知道由于极限【不涉及Δx=0】，而且在Δx≠0时α(Δx)≠0，所以不存在分母为0的情况。

师先生还说【再说，根据薛问天先生允许的Δx=0 和他理解的 β(Δx)=o[α(Δx)]，必然得到 β(0)=o[α(0)]=o(0)．可是，薛问天先生又认为 o(0)是不存在 的概念．这样就推导出这个不存在的概念 o (0)．......】

这简直是在胡说八道了。不存在这样的乱七八糟的妙想天开的胡乱【推导】。这样的乱七八糟的胡乱【推导】是错误的，说明不了任何问题。

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