Zmn-1276 薛问天: β(Δx)=o(Δx)，当自变量取值为0时认为β(0)=o(0)错在哪里？评余月半《1271》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对余月半先生的《Zmn-1271》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

β(Δx)=o(Δx)，当自变量取值为0时认为β(0)=o(0)

错在哪里？评余月半《1271》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，錯误的两个原因，余月半先生都说到了。

高阶无穷小涉及两个无穷小函数变量，α(Δx)和 β(Δx)，它们满足 当 Δx->0 时, α(x)→0，β(Δx)->0 。如果 当 Δx->0 时, β(x)/α(Δx)->0，则称函数 β(Δx)是函数 α(Δx) 的高阶无穷小。並记作β(Δx)=o(α(Δx))。

如果这个α(Δx)是那个特别的无穷小: α(Δx)=Δx，则说β(Δx)=o(Δx)。请问此时，当自变量取值为0时，认为函数 β(Δx)的函数值是β(0)=o(0)，这个写法错在哪里？

1)，第一，在高阶无穷小 β(Δx)=o(Δx) 的定义中左边的β(Δx)中的β指的是β这个无穷小函数变量的函数符号， Δx 指的是 β 这个无穷小函数变量的自变量，因而当自变量取值为0时，认为函数 β(Δx)的函数值是β(0)，这是完全正确的表述，一点错误都没有。关键的错误在于右边的o(Δx)中的o不是函数符号，这个 Δx 也不是【函数o】的自变量。尽管等于o(Δx)的是无穷小，但这个无穷小的函数变量的函数符号並不是o，所以当自变量取值为0时的函数值不能写成o(0)。

o(Δx)中的o不是函数符号，这个 Δx 也不是【函数o】的自变量。根据高阶无穷小的正式数学定义。β(Δx)=o(Δx)指的是无穷小β(Δx)是这个无穷小α(Δx)=Δx的高阶无穷小。o指的是α和β这两个无穷小的关系，o(Δx)中的Δx指的是α这个无穷小，它是一个特殊的具体的等值无穷小函数变量α(Δx)=Δx．指的是无穷小函数变量本身。

只有当 f (Δx) 中的 f是函数符号而且 Δx 是函数的自变量时，此函数在自变量Δx 等于值 0 时，才有函数 f (Δx)的值等于 f (0)。当o(Δx)中的o不是o(Δx)所代表的的高阶无穷小的函数符号，Δx不是【函数o】的自变量时。就不能把自变量取值为0时o(Δx)所代表的的高阶无穷小的函数值写成o(0)。这就是它的错误。

2)，第二，我们说不能把自变量取值为0时o(Δx)所代表的的高阶无穷小的函数值β(0)写成o(0)。是因为o(0)另有含义。根据高阶无穷小的定义，β(Δx)=o(α(Δx))，指的是β(Δx)是函数 α(Δx) 的高阶无穷小。因而o(0)代表的是比无穷小α(Δx)=0 的高阶无穷小。o(0)中的这个0表示的不是自变量取值为0，而是当自变量取任何值时函数值皆等于0的常数0这个无穷小量α(Δx)=0。根据高阶无穷小的定义，这样的无穷小量是沒有比它更高阶的无穷小量的。也就是说由o(0)表示的高阶无穷小並不存在。因而说β(Δx)=o(Δx)。当自变量取值为0时，认为函数 β(Δx)的函数值是β(0)=o(0)，这个写法是错误的。因为o(0)另有含义，是指的並不存在的比无穷小α(Δx)=0更高阶的无穷小。不是o(Δx)所代表的高阶无穷小β(Δx)当自变量Δx取值为0时的函数值。所以写β(0)=o(Δx)是错误的。

余月半先生在文中所说的【如果一个函数 f(x)满足 当 x->0 时, f(x)/x->0 ,称函数 f(x)是函数 x 的高阶无穷小 函数 x 的高阶无穷小,用 o(x)表示】以及所说的【学会思考几个点】。我认为其基本内容都是正确的。说出了产生上述错误的两个要害。如说【o(x)里面的 x，与 f(x)里面的 x，表示的不是同一个东西 o(x)里面的 x，表示的是函数 x,也即 y=x; f(x)里面的 x，表示的是数 x;】指的就是第一点。

余先主所说的【o(0)里面的 0，指的是函数 y=0,而不是数 0 】，【事实上,有一些无穷小函数 f(x)是没有高阶无穷小的, 比如上面的 y=0,】指的就是第二点。

也就是说，錯误的两个原因两个要害，余月半先生都说到了。

二，要正确对待数学的历史，不能认为高阶无穷小的定义是错误的，【都是等号惹的祸】。

高阶无穷小是关系不是函数，一个无穷小的高阶无穷小是无穷小的集合不是唯一确定的，严格地说【属于】不同于【等于】。可以严格地把β(Δx)=o(Δx)写成β(Δx)∈o(Δx)，这一切都是对的。但要正确对待数学的历史，不能认为高阶无穷小的定义是错误的，【都是等号惹的祸】。而是对这里的等号的规律作适当调整。

余月半先生在文中说了另一个事实。这点我在《1268》也说到了〖另外还要注意，o(α)代表的是比α(Δx)高阶的无穷小。是满足关系的对象类，可能有多个，不表示是唯一确定的对象。而无穷小的函数表示的是唯一确定的对象。〗

余月半在文中说道【o(Δx)他并不是表示特定的函数,表示的是满足条件(α(Δx)=Δx的高阶无穷小)的函数构成的集合】

也就是说大家都认识到，β是α的高阶无穷小，不仅不是数到数的函数，它也不是无穷小(函数)到无穷小(函数)的函数间的函数。因为函数要求是映射，对自变量的任何元素都映射到唯一确定的元素，但无穷小的高阶无穷小却不是唯一确定的无穷小，而是多个无穷小构成的集合。也就是说它在数学上讲的是关系，而不是函数。

【等于=】和【属于∈】在数学上，特别在集合论中，是有严格的的区别的。自然语言中的【是】，有时可以看作是【等于】，【3+5是8】可以说成是【3+5等于8】。但【张三是北京人】，严格地讲不能理解成是【张三等于北京人】，只能说【张三属于北京人】。也就是说，当A和B都是确定对象时，【A是B】可以说成是【A等于B，A=B】。但当A是对象，B是对象类时。【A是B】只能是【A属于B，A∈B】，严格地讲，不能说成是【A等于B，A=B】。

《高等数学》教材在定义【高阶无穷小】时是这样说的：“α 及 β 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 α≠0，而 lim 也是在这个变化过程中的极限．定义：如果 lim(β/α)= 0，就说 β 是比α 高阶的无穷小，记作 β=o(α)”．

问题是在定义中，把β 【是】比α 高阶的无穷小，当作是【等于】，记作 β=o(α)了。要知道β是无穷小，是确定的对象，但是比α 高阶的无穷小o(α)，並不是一个无穷小，而是一类无穷小，是对象类，因而严格的记法应是【β∈o(α)】，而不应记成【β= o(α)】。

从而向我们提出了一个问题，是否可以认为是教材有关高阶无穷小的定义写错了，应该改正过来。也就是说，我们议论的，β(Δx)=o(Δx)，当自变量取值为0时，认为函数 β(Δx)的函数值是β(0)=o(0)，这个写法错误的原因是由于定义中的错误【β(Δx)=o(Δx)】所引起的，【都是等号惹的祸】。

对于这个问题，我的看法是，尽管所说的高阶无穷小，严格地说，是关系不是函数，一个无穷小的高阶无穷小是无穷小的集合不是唯一确定的，严格地说【属于】不同于【等于】。可以严格地把β(Δx)=o(Δx)写成β(Δx)∈o(Δx)，这一切都是对的。但要正确对待数学的历史，不能认为高阶无穷小的定义是错误的。也就是说不要轻易地否定数学历史的定义，说它是错的，而是对过去定义中的用语，要进行宽泛的理解，作正确的解释和应用。例如我们说【张三等于北京人】不准确，但说【张三等于一个北京人】，说【张三等于北京人之一】则还是准确的。例如我们把o(Δx)理解为【比α(Δx)=Δx高阶的无穷小的集合】，说β(Δx)=o(Δx)不合适。但把o(Δx)理解为【一个比α(Δx)=Δx高阶的无穷小】，说β(Δx)=o(Δx)则是合适的。因为此时o(Δx)代表的已不是集合，而是集合的元素之一。当然由此时的β1(Δx)=o(Δx)和β2(Δx)=o(Δx)，推出β1(Δx)=β2(Δx)，就是错误的。因为此时的等号已不满足传递律了，因为β1和β2都等于【一个比α(Δx)=Δx高阶的无穷小】，但这两个β不一定相等。可以对等号的规律作新的解释。

也就是说在一定的解释下，定义並没有错。所以要正确对待历史定义，不要轻易否定数学的历史定义。不要把我们议论的，β(Δx)=o(Δx)，当自变量取值为0时，认为函数 β(Δx)的函数值是β(0)=o(0)，这个写法错误的原因，说成是是由于定义中的错误【β(Δx)=o(Δx)】所引起的，【都是等号惹的祸】。实际上，这个写法错误同定义中的等号没有关系。

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