Zmn-1277 薛问天: 不必在此小题大作，把数学问题搞清楚就行了。评师教民《1273》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1273》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

不必在此小题大作，把数学问题

搞清楚就行了。评师教民《1273》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1 ，关于β=o(α)的表示。

1)，师先生说了上式表示的4种情况，然后说【上述 4 种情况本质都相同，都符合上述名著中的高阶无穷小的定义，只不过是使用的字母不同而已，因而都是正确的．】

我们来分析，师先生说得不对，说明师先生在符号和概念的认知上还差的很远。

①，师先生说【 β 是比α 高阶的无穷小，记作 β=o(α)】，这引自定义当然是对的。

②，师先生说【若把 α 换成Δx就成为β=o(Δx)，则β和o(Δx) 都是比Δx高阶的无穷小．】显然这不是【只不过是使用的字母不同而已】，这不是定义的等价表述，而是定义的一个具体的应用，令α这个无穷小α(Δx)=Δx，这个α已不代表一般的任意无穷小了，而是指α是一个特殊的无穷小，它的函数表示是线性恒等函数α(Δx)=Δx。另外也並不是说α是Δx这个增量。而是α(Δx)=Δx这个具体特殊的无穷小量。对于这点师先生必须从概念上认识清楚。要认清定义中的α是无穷小。这里的α(Δx)=Δx是一个特殊的无穷小。

③，师先生说【若把 β=o(Δx) 中的 o 换成 β 就成为 β=β(Δx)，则 β 和 β(Δx) 就都是比Δx 高阶的无穷小．】这当然是错的，o不是函数符号，o(Δx)中的Δx也不是函数自变量，这样的代换显然是错误的。β=β(Δx)只说明这个无穷小量β是Δx的函数。说明不了β是无穷小量α(Δx)=Δx的高阶无穷小。

④，师先生还说了【若把 β=o(Δx) 中的β换成 β(Δx) 就成为β(Δx)=o(Δx)，】显然这就是β=o(Δx) 的等价表述，β(Δx) 和 o(Δx) 都是比α(Δx)=Δx 高阶的无穷小。

师先生没有说，其实写成β(Δx)=o(α(Δx))，才是定义中β=o(α)的等价表示。因为α和β是无穷小，把无穷小这个函数写全了，就是α(Δx)和β(Δx)。

2)，师先生说【定义式β(Δx)=o(Δx)中的β(Δx) 和o(Δx) 因为相等而地位完全相同，......在定义式 β(Δx)=o(Δx)中，β(Δx) 和 o(Δx) 既都是 Δx 的函数又都是比 Δx 高阶的无穷小．薛先生把 β(Δx) 理解成既是Δx的函数又是比Δx高阶的无穷小或理解成只是Δx的 函数、而把 o(Δx) 理解成只是比Δx 高阶的无穷小就错误了． 】

当然从β(Δx)这个表达式本身的含义，只能理解为无穷小β是自变量Δx的函数，只有在等式β(Δx)=o(Δx)成立后，才能承认β(Δx)是比无穷小α(Δx)=Δx高阶的无穷小。由高阶无穷小的定义就可知道，o(Δx)代表的那个无穷小是比无穷小α(Δx)=Δx高阶的无穷小。当然承认o(Δx)代表的那个无穷小同α是同一个自变量的函数，由于无穷小α(Δx)=Δx的自变量是Δx，当然o(Δx)代表的那个无穷小的自变量也是Δx。但是要注意o(Δx)这个符号表示並不是它代表的那个无穷小量的函数表示。这里的o不是函数符号，括号中的Δx也不是自变量。师先生一定要从概念上把它分清。

3)，师先生只知道数学的严格性，並不知数学中，在符号的应用中，也可以有它的灵活性，有些符号可以简写，根据上下文，它们的意思相同是完全允许和认可的。例如【函数y=f(x)，x∈D】，在上下文明确的认可下可以筒称为【函数f(x)】，【函数f】或【函数y】，所指的都是同一个函数。

同理，什么是无穷小，无穷小就是极限为0的函数变量，因而把无穷小α=α(Δx)【称为α】或【称为α(Δx)】，所指的都是同一个无穷小。把无穷小β=β(Δx)【称为β】或【称为β(Δx)】，所指的都是同一个无穷小。这是简称和全称，是非常正常的事。不是师先生所说的什么【缺陷】。师先生所说的【试问薛问天先生，你敢公开承认上述名著的定义存在未【写全】的缺陷吗？你薛问天先生有什么根据、理由、胆量、底气和 资格来【写全】上述名著的定义呢？】还说【名著定义的 β=o(α) 就已经 很完美了，干吗还要给蛇 β，α 添上足(Δx)呢？β=o(Δx) 就已经 很完美了，干吗还要给蛇 β 添上足(Δx)，给蛇 Δx 添上足 α()呢？】这些议论简直是多此一举，无中生有，要知道把无穷小的简写α，给它写全成函数表示α(Δx)，所表示的是它的函数，是真正的蛇的身体，不是填加了並不存在的蛇足。师先生需要提高对数学的认识。

2，β(Δx) 和 o(Δx) 中的Δx是同一个增量，但它的含义和作用不同 。

师先生对此很不理解，他说【 ......按照薛问天先生的理解，β(Δx) 是以具有 上述唯一含义的 Δx 为自变量的函数，o(Δx) 是比上述唯一含义 的 Δx 高阶的无穷小量，所以 β(Δx) 和 o(Δx) 的含义不同，所以 函数 β(Δx) 和高阶无穷小量 o(Δx) 才分别用不同的符号表示．薛问天先生令含义不同的概念 o(Δx) 和 β(Δx) 相等，而令在含义不同的o(Δx) 和β(Δx) 中扮演不同角色的具有唯一含义的Δx含义不同就真是颠倒黑白了．】

同一个增量Δx，在不同的表达β(Δx)和o(Δx)中表达不同的含义和作用这完全正常，为什么说这是【颠倒黑白】呢？

在β(Δx)这个表达中，Δx表示的含义是无穷小β这个函数的自变量是Δx。在o(Δx)这个表达中Δx表示的是，o(Δx)所代表的那个无穷小是比无穷小α(Δx)=Δx更高阶的无穷小。一个表达的是函数β的自变量Δx，一个表达的是α这个无穷小是α(Δx)=Δx。一个表达的是自变量，一个表达的是无穷小函数。这两者显然含义和作用不同。指出它的不同正是为了黑白分明，而不是【颠倒里白】。

张三是一个北京人，【张三】说的是这个人名字叫张三，【北京人】说的是这个人出生在北京，它们的含义当然不同，但是它们说的是同一个人，所以可以用【是】和【等号】联系起来，这一点矛盾都没有。

师先生说【薛问天先生把表示函数的符号 β(Δx) 和表示高阶无穷小的符号 o(Δx) 这两个不同的概念都说成【代表的是同一个高阶无穷小】、并令【β(Δx)=o(Δx)】就不合情理了。】这说的一点道理都没有。师先生所说的【薛问天先生令含义不同的概念 o(Δx) 和 β(Δx) 相等，】没有任何矛盾，只要满足高阶无穷小的条件，就可以划上等号，使β(Δx)=o(Δx)。张三完全可以是一个北京人，只要他出生在北京。这並没有任何【不合情理】的事。

师先生又说【薛问天先生要想令【β(Δx)=o(Δx)】，并让【β(Δx) 和 o(Δx) 代表的是同一个高阶无穷小】，就得把 β(Δx) 和 o(Δx) 都定义为比Δx 高阶的无穷小 而不能再提 β(Δx) 是函数的事，】

这简直是在胡言乱语。高阶无穷小仍然是无穷小，β(Δx)这个无穷小永远是函数，这是不会变的，怎么能说【不能再提 β(Δx) 是函数的事】。而且师先生还说【这正像上述名著里的高阶无穷小的定义 β=o(α)内，β 和 o(α) 都是比α 高阶的无穷小而不提 β 是函数的事一样．薛问天先生编造出函数 β(Δx)就是画蛇添足了．】要知道【不提β是函数】，是大家熟知β是函数，而不是【β已变成不是函数】，说什么【不能再提β是函数】和把提及β是函数说成是【编造出函数 β(Δx)就是画蛇添足】，当然是完全错误的论点。理由很简单，大家熟知β是函数，而不是【β已变成不是函数】。

师先生说【既然薛问天先生承认 β(Δx) 和 o(Δx) 都是比Δx 更高阶的无穷小量，那么 β(Δx) 和 o(Δx) 就都是比 Δx 更高阶的无穷小量的符号或都是函数的符号．所以，薛问天先生说 β(Δx) 是函数的符号，而说 o(Δx) 不是函数的符号就自己打了自己的脸．】

我己说得很清楚了，是在等式β(Δx)=o(Δx)成立的条件下，β(Δx)才是比α(Δx)=Δx更高阶的无穷小。对于符号本身的含义来讲，β(Δx) 是函数的符号， o(Δx) 不是函数的符号，这完全是正确的。尽管o(Δx)所代表的高阶无穷小，是函数。但o(Δx)这个符号不是o(Δx)所代表的高阶无穷小的函数符号。这个 o 不是函数符号，所以Δx 並不是函数 o 的自变量。

师先生说【薛问天先生还说到：【函数 o】，【o 不是函数符号】．这说明薛问天先生又不会说人话了，】

师先生连这么简单的话都听不懂，因为o不是函数符号，所以不存在【函数o】，符号o(Δx)中的Δx，自然也不是【函数o的自变量】，因为【函数o】根本就不存在。

3，我在《1268》中已说得相当清楚《4，准确点说，应是: 无穷小量是函数变量，它的函数表示，只能用函数符号表示。例如可用α(Δx)，β(Δx)等。但不能用o(Δx)表示。因为o己定义为高阶无穷小关系，不是函数符号了。》

也就是说【只能】后这么说比较准确，【......只能用函数符号表示。例如可用α(Δx)，β(Δx)等。......】。加上【例如】二字，把数学问题搞清楚就行了，不必在此小题大作。

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