Zmn-1041 薛问天 : 师教民先生在微积分理论上的若干认识错误，评《1038》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1038》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

师教民先生在微积分理论上的

若干认识错误，评《1038》。

薛问天 

uewentian2006@sina.cn

最近看了师教民先生的《1038》。在他发表的5点看法中，发现他在对微积分理论的学习中，存在若干认识上的错误，特一一列举如下，希望他能给以纠正，这对他今后业务水平的提高，有非常重要的作用。

1，在他的第1条意見中有如下两点。

(1)，对函数概念的理解上有错误。要知道函数y=f(x)，变量y是随变量x的变化而变的。x称为自变量，y称为因变量。y同x的关系是【映射关系】不是【一一对应】。但师先生却认为【变量x，y的取值在一定的范围内变化时，按照一定的法则一一对应，】【其中f表示变量x，y的一一对应的法则，】要知道这样的说法是错误的。【映射关系】同【一一对应】有原则的区别。【一一对应】要求更高，要求存在的是【双射】 ，而【双射】则要求【映射】满足【单射】和【满射】的条件。

因而在函数中这两个变量的地位是不同的。而师先生说什么【变量x，y地位相同，权力均等，谁也不比谁更突出、更优越、更特殊．所以它们的取值完全同时，根本不分先后，只是一一对应！】

这是对函数概念的严重误解和歪曲，这种认识是完全错误的。

(2)，对微分概念理解的错误。

要知道微分的定义是相当清楚的。微分是针对函数定义的两个微分。设有一函数y=f(x)，如果在x的某点，有

Δy=AΔx+o(Δy)，则称AΔx为该函数在该点的因变量微分，记作dy，称Δx为该函数在该点的自变量微分，记作dx。

我们强调dx和dy这是该函数在该点的两个微分，而不要认为它记作dy.dx，就认为它是变量y和变量x的微分。我们之所以这么强调是因为当我们只讨论一个函数时，变量y和x为此函数专用，你说它是变量y和x的微分，还不会出現问题。但是当还有另外一个函数，例如x=g(y)时，x是这个函数的因变量，如果你把这个函数的因变量微分，仍然用dx表示时，就要知道由于微分是函数的微分，这里对不同函数所表示的就是不同的微分。而如果你认为微分是变量的微分，把dx看作是变量x的微分，就会错误地以为这是相同的微分了。

师先生在这里就是犯的这个错误。

他说【当人们把变量x假设为因变量时，x的微分就又被定义为x的函数曲线的切线增量而不再是x的本身增量Δx了．这样就产生了下述矛盾：同一个函数y=f(x)中的同一个变量x的微分，既是x的本身的增量Δx，又是x的函数曲线的切线增量.】

微分是函数的微分，明明是不同函数的不同微分，一个dx是函数x=g(y)的因变量微分，另一个dx是函数y=f(x)的自变量微分，这是不同的微分。不同的微分，它们的构成不同理所当然，有什么矛盾。错就错在没有认清微分是函数的微分，把它认为是变量的微分，师先生文中说什么【x的微分，......】【同一个变量x的微分，既是x的......】把这不同函数的不同微分，看作是【同一个变量x的微分】。当然如果是把不同的微分看作是同一个变量的同一个微分，那具有不同的构成当然就形成矛盾，但是这个矛盾不是微积分理论有矛盾，而是你的错误认识产生的矛盾。当你纠正了错误的认识，矛盾就不存在了。

师先生说【我认为：可以假设，但是不能假设出矛盾来！】当然不对。实际上有另一函数的存在这不是什么假设，是我们必须研究的情况。在有多个函数存在时，只要认识到这是不同函数的不同微分，就没有任何矛盾。矛盾是由于错误地认为微分是变量的微分，【同一个变量微分】只有一个，这种错误认识带来的矛盾。

2，师先生在这里的错误，是他没有认识到存在有两个函数y=f(x)和x=g(y)，它们有共同的变量x，以及x是第一个函数的自变量，又是第二个函数的因变量，这是我们必须认真对待的，完全可能出現的事实。并不是什么人为的假定。师先生说【所谓自变量 x和因变量x都是人为地、主观地假设出来的，】完全错误。这些都是完全可能出現的事实，在我们的理论讨论中必须认真对待。

师先生说【通过这种假设产生出该函数中的变量x的微分既是dx=Δx又是dx≠Δ的矛盾．】

我刚才已指出这是错误的。微分是函数的微分，不同函数有不同的微分，这两个dx是不同的函数在分别定义它们的微分的时候提出的的，第一个dx是函数y=f(x)的自变量微分，第二个dx是函数x=g(y)的因变量微分。它们是不同的微分，所以第一个dx=Δx，而第二个dx≠Δx，这非常正常，一奌矛盾都没有。

你可以用dx1来表示第一个dx，用dx2来表示第二个dx，以示区别。当你不用不同符号表示，都用同一符号来表示时，就千万注意它们是不同的微分，不可混为一谈，那种认为dx是同一个变量x的微分，只有一个，而且认为dx=Δx同dx≠Δx产生矛盾，是严重的认识错误。并不是师先生所说【该矛盾是在假设的情况下产生的，】该矛盾是严重的认识错误。

3，关于正反函数的导数和微分

首先必须把师先生提的问题从概念上搞清楚。师先生说，他想做的事是在求【函数y^2+y=x^2+1中变量x对y的导数，x的微分；变量y对x的导数，y的微分。】

师先生把列出的方程（或等式）y^2+y=x^2+1称为是函数就不正确。

正确的说法是求解此方程，可能得到若干组正反函数。我们任选一组满足此方程的正反函数，例如y=f(x)和x=g(y)，来讨论这两个函数的导数和微分。

不是求【变量x对y的导数，x的微分；】，而是求函数x=g(y)的导数，和此函数的两个微分；不是求【变量y对x的导数，y的微分。】而是求函数y=f(x)的导数，和此函数的两个微分。

即我们所要求的是求

y=f(x)的导数，dy/dx=f′(x)   ......(1)

x=g(y)的导数，dx/dy=g′(y)  ......(2)

师先生的错误在于没有认识到，他考虑的函数y=f(x)不是一般的函数，而是求解变量方程而得到的正反函数组中的一组。就是说他考虑的函数y=f(x)是有反函数x=g(y)存在的函数。这样的f和g不仅是映射还要求满足双射一一对应的条件。对这样的正反函数，肯定有两个函数共用同一变量的问题。

李先生说【那么x的微分只有一个dx，y的微分只有一个dy．】认为微分dx.dy是变量的微分，同一变量只有一个微分，就犯了严重的错误。

要知道按照微分的定义，(1)中的dx是函数y=f(x)的自变量微分，(2)中的dx是函数x=g(y)的因变量微分，是不同的微分对象。我们可以把(1)中的dx用dx1表示，把(2)中的dx用dx2表示。

同理(1)中的dy是函数y=f(x)的因变量微分，(2)中的dy是函数x=g(y)的自变量微分，是不同的微分对象。我们把(1)中的dy用dy1表示，把(2)中的dy用dy2表示。

从而有:

y=f(x)的导数，dy1/dx1=f′(x)      ......(3)

x=g(y)的导数，dx2/dy2=g′(y)     ......(4)

根据以上分析，如果把等式y^2+y=x^2+1看成是以y为自变量的函数的等式，则右端的x^2+1应看成是同x=g(y)构成的复合函数。

两边求导，则是

2y+1=2xg′(y)，即据(4)有

(2y+1)/2x = dx2/dy2  ......(5)

如果把方程y^2+y=x^2+1看成是以x为自变量的函数的等式，则左端的y^2+y应看成是同y=f(x)构成的复合函数。

两边求导，则是

(2y+1)f′(x)=2x，即

(2y+1)/2x=1/f′(x)，据(3)有

(2y+1)/2x=1/(dy1/dx1)    ...(6)

再根据(5)(6)得

dx2/dy2=1/(dy1/dx1)。

这就是正反函数的导数互为倒数的重要定律。这是对函数等式双方求导的正确作法。师先生的错误在于没有认清dx1同dx2的不同，认为它们是同一微分。没有认清dy1同dy2的不同，认为它们是同一微分。他所说的【变量x的唯一的微分dx和变量y的唯一的微分dy就是客观存在的真理，】是完全错论的论断。确实是师先生所构造的【人为地、主观地假设出来的假理．】

4，微分在数学中有严格定义，

【微分】只是这个数学概念的名称，不是师先生主观臆想的【必须分得细微】的意思。定义中的Δy和Δx是增量，可以任意大小。不必是【任意大、充分大、足够大】，也不必是【必须分得细微】。这里不存在任何矛盾。

5，师教民先生的【点赞】点错了，这里没有矛盾。

因为两个dx本来就是不同的微分，一个dx=Δx，一个dx≠Δx，就不存在任何矛盾。而错在沈卫国先生和文心一言却认为它们是同一变量x的同一微分，认为是【同一个变量的两种微分身份】，存在矛盾。这才是他们共同具有的真正的错误所在。当然文心一言的解释说【不是矛盾或问题，而是从不同角度和情境来看待同一个变量】，也是错误的。但是文心一言的错误并不说明沈卫国的覌点就对。他们都错了。师教民先生的【点赞】点错了。沈卫国先生所指出的【极限理论的错误】并不存在。这里没有矛盾。

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