在得到图像中所有的端元之后，接下来一个关键步骤，便是对整幅图像进行混合像元分解（也成解混），也就是对图像中任意一个混合像元，分析各个端元在其中的丰度或占比。

这一问题曾一段时间内在我脑海中挥之不去。记得有一次洗澡时，脑海中突然浮现了一个画面（见图1）：在线性混合模型假设下，若图像中仅包含两个端元，那么所有像元在光谱空间中必定分布在以这两个端元为端点的线段上。此时，任意一个混合像元的位置显然与两个端元的丰度密切相关。例如，

• 当d_PA<d_PB时，混合像元P更接近端元A，说明A在P中的占比更大；

• 当d_PA>d_PB时，B的占比更高。

有了以上定性的认识，思维很自然地转向一个定量问题：混合像元P中，两个端元A与B的丰度究竟与其到两个端元的距离d_PA，d_PB有怎样的具体关系？

图1.两端元场景下，数据在光谱空间中分布在一个以端元为端点的线段上，且混合像元P中端元A，B的丰度与点P到点A和点B的距离相关

不妨从一些极端情形入手，可以发现：

• 当P与A重合时，d_PA=0，d_PB=d_AB。此时端元A在P中的丰度为1，而B的丰度为0；

• 当P与B重合时，d_PA=d_AB，d_PB=0。此时A的丰度是0，B的丰度为1；

• 当P位于线段AB的中点，即d_PA=d_PB=d_AB/2，两者在P中的丰度均为1/2。

明显可以看出，以上三种情况，混合像元P中端元A，B的丰度都满足如下同一个公式

也就是说，混合像元中两个端元的占比很可能由其到两个端元的相对距离所决定。

那么，对于任意位置的P，以上公式也成立么？答案是肯定的！图2给出了相应的几何解释：对于线段上任意位置的P，它都可以由OA线段上的OA’和OB线段上的OB’合成（利用平行四边形法则）得到，即

根据平面几何的基本性质，可以推出

从而验证公式（1）对于线段上的任意点均成立。

图2.混合像元分解的几何解释（两端元情形）

有了以上两端元的几何认识，马上就想到了是否可以将其推广到多端元情形。比如，当图像中包含三个端元时，所有的混合像元显然都位于以这三个端元为顶点的三角形的内部（见图3）。那么，对于其中的任意点P，三个端元在其中的丰度该如何确定呢？

受两端元情形启发，我自然而然地有了如下猜想：既然两端元情形时的丰度与距离比相关，那么三端元时的丰度自然应该与面积占比相关。具体而言：

• 端元A的丰度为三角形△PBC在整个三角形△ABC中的占比；

• 端元B的丰度为三角形△PAC在整个三角形△ABC中的占比；

• 端元C的丰度为三角形△PAB在整个三角形△ABC中的占比。

即

图3.混合像元分解的几何示意图（三端元情形）

很快地，我便证明了上面的结论，并将其推广到了任意维度下的单形体。最终得出了如下结论：

定理1 对于包含M个端元高光谱图像，设这些端元在光谱空间中的位置分别记为E₁，E₂，… ，E_M，则在图像中任意的混合像元P中，各个端元的丰度为

其中，分子为用P与除去E_i外的其余端元构成的(M−1)维单形体体积，分母为原始M个端元构成的单形体体积。

该定理表明，在线性混合模型假设下，任意混合像元中各个端元的丰度可以由简单的体积比精确计算。

这个结论极有可能是我们国家在高光谱图像混合像元分解领域的首个算法性成果。当时我对这个结果激动不已，并很快将其发表于国内某刊物。该结果很快引起了不少同行的关注。其中，北师大的一位学者完全复制粘贴该成果，又重新发表了一次；此外，当时一位学者在我们课题组做访问学者（后来还担任过TGRS的主编）对这个结论非常感兴趣，跟我要了相关文档。而在2012年的高光谱WHISPERS会议上，他们课题组的一个学生所报告的一个成果，正是这个体积比的内容。这让我惊讶不已，为了展示我对这个结论的主权，我当即离开会场回到宾馆，又苦思冥想出了一个新的模型，这是后话，暂且不表。

回头来看，公式（3）实际上就是单形体内部点的重心坐标公式。当然，我们也可以通过如下约束凸优化模型，求解各个端元的丰度图：

也就是说，虽然公式（3）非常简洁漂亮，但从严格的学术角度看，它只是重心坐标的直接应用，理论贡献并不新颖。但它对我个人而言，却极具意义——不仅加深了我对高光谱图像的理解，也为我后来对置换群、李群等更深层的代数结构的学习，埋下了伏笔。

图4. Cuprite高光谱图像混合像元分解结果（仅给出三个主要矿物的丰度图）。（a）明矾石；（b）高岭石；（c）方解石

图4给出了基于定理1的混合像元分解的部分结果，虽然今天看来这些图像已不算惊艳，但回想起当年首次见到它们时的那份激动，仍然感慨不已。作为我国在混合像元分解研究领域最早期的探索成果之一，这项工作不仅具有开创性意义，也可能启发并引领了许多后来者走上了高光谱图像混合像元分析的研究之路。

该文章源于微信公众号“矩阵遥感应用”：