记得大概是2003年初，具体在哪个场合已记不清了，只记得当时听张兵师兄提到“凸面单形体”这五个字。虽然我有数学背景，也在数学规划课上学过“单纯形”的概念，但那时并不清楚，“单形体”和“单纯形”其实只是英文Simplex的不同译法。这也是我第一次在高光谱遥感领域听到这个术语，接下来的几天，这个词一直萦绕在心头，挥之不去。

为了解除心中的疑惑，我开始查阅相关资料。不久后，我了解到，在线性混合假设下，高光谱图像中的任意像元都可以由图像中各个地物的纯像元线性混合而成，且混合系数满足和为1以及非负约束（见公式（1））。相应地，在光谱空间（或光谱特征空间）中，满足公式（1）的所有的点构成一个称之为单形体的集合（见图1）。这意味着，基于线性混合模型，高光谱图像中的所有像元在光谱空间中分布于一个以各个端元为顶点的单形体之内（见图2）。这一发现让我好像发现了新大陆。顿时，我有了一个设想：若能找到使单形体体积最大的点集，是否就对应着图像中的端元呢？于是，问题的关键转变为如何计算高维单形体的体积。 

图1.常见的单形体.(a)点；(b)线段；(c)三角形；(d)四面体

图2.线性混合模型与单形体结构（以平面上的三端元场景为例），其中红、绿、蓝三个散点分别代表三个端元，黄色散点对应混合像元

经过一番搜索，我在网上找到一篇关于高维平行多面体体积的文章，相应的公式如下：

其中。恰好，单形体的体积正是对应平行多面体的一角。比如，三角形的面积是平行四边形面积的1/2（图3），四面体的体积是平行六面体体积的1/6（图4），而m维单形体的体积是m维平行多面体体积的1/m！。掌握了单形体体积的计算公式后，我立即在ENVI中使用Cuprite数据进行验证，并得到了图5中的结果。

图3.二维单形体（三角形）的面积是二维平行四边形面积的二分之一

图4.三维单形体（四面体）的体积是平行六面体体积的六分之一

深入调研后发现，这个结果应该是我国在端元自动提取方面最早的实例之一。而这个基于单形体体积最大化的端元提取方法，也极有可能是国内在该方向上的首次尝试。

图5.Cuprite高光谱图像端元提取结果（仅给出三个主要端元）.（a）假彩色合成图；（b）图像及光谱库中明矾石端元光谱（带点的为从图像中得到的端元光谱）；（c）高岭石端元光谱；（d）方解石端元光谱

值得注意的是，公式（2）隐含原点为端元。为了消除原点的影响，可以采用如下公式计算图像中的端元

其中

事实上，公式（3）与公式（2）的唯一区别在于原点位置的不同。公式（2）隐含原点作为端元，因此端元提取结果会受到原点位置的影响。而在公式（3）中，某个端元被选作原点，因此端元提取的结果不再受到原点位置的干扰。通过一个简单的示意图，我们可以清楚地展示这两者的本质区别：在忽略常系数的影响的前提下，若图4对应公式（2），则图6对应公式（3）。需要注意的是，是否将原点视为端元，对后续的混合像元分解也有着重要的影响，这是后话，这里暂且按下不表。

图6.三维空间中的三角形面积的确定.为了得到灰色三角形的面积，可以首先将原点坐标移动到灰色三角形的任意一个顶点上，然后再利用三角形或者平行四边形的面积计算公式即可

本文源于公众号“矩阵遥感应用”