作者：蒋迅

本文发表在《数学与人文》丛书第一卷。请勿转载。

1. 引言

数学作为一个工具，真可以说是无所不及，数学和音乐也存在著千丝万缕的联系。德国古典哲学家康德说过，“在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学”。俄国作曲家指挥家和钢琴家斯特拉文斯基则更是指出，“音乐家应该懂得，对数学的研究就象一个诗人学习另外一种语言一样有用”。爱因斯坦也说过：“这个世界可以由音乐的音符组成，也可由数学的公式组成。”可见数学和音乐的是密切相关联的。

笔者根据网上收集的一些资料加以整理，通过一些初等的数学推导来解释音乐中的一些理论问题并兼谈数学在音乐上的应用，从而说明数学在音乐发展中的重要地位。第2节里我们从古希腊数学家对音乐的研究出发，延伸到现代的偏微分方程；然后在第3节里用数学方法推导出著名的十二平均律并说明它是最佳的律制；第4节我们用对数螺旋线再次说明数学与音乐的关系；第5节讨论黄金分割和斐波那契序列在音乐中的应用。

2. 从古希腊数学家对音乐的认识到弦振动方程

音乐发展和数学发展相结合可以追述到古希腊时期。有这样一个古希腊大数学家毕达哥拉斯发现音乐和声的基本原理的故事：他在一个铁匠铺里认识到那些彼此间音调和谐的锤子有一种简单的数学关系 -- 它们的质量彼此之间成简单比，或者说简分数。就是说，那些重量等於某一把锤子重量的 1/2， 1/3 或 1/4 的锤子都能产生和谐的声响。另一方面，那把和任何别的锤子一起敲打时发出噪声的锤子，它的重量和别的锤子的重量之间不存在简比关系。以他的名字命名的毕达哥拉斯学派认为世界是严整的宇宙，整个天体就是和谐与数。正是这个学派在研究音乐时最早使用了数学（他们试图提出一个声调对比关系的数学公式：八度音与基本音调之比为1：2，五度音等於2：3，四度音等於3：4等等），这也是人们最早用数学方法研究美的实践与创始。从毕达格拉斯的发现发展起来的音乐律制称为“自然律制”。

毕达哥拉斯的发现开创了用数学研究音乐的历史。我们知道，声音是空气分子运动的结果。乐器发出声音大多是靠弦（或膜）的振动产生的有规则的空气运动来实现的。人们早就注意到，每一根弦都有它的固有频率。当这根弦缩短一半的时候，它的频率增加一倍。为简单起见，考虑一个两端固定的弦（细长的弹性物质）。应用牛顿第二定律 F = ma，我们可以推导出，当这个弦发生振动的时候，它上面每一个点 y = y(x,t) 的运动轨迹（位移）满足弦振动方程：

  c²(d²y/dx²) = d²y/dt²，

其中c是弦振动的波速，t是时间。这个方程是法国物理学家、数学家和天文学家达朗贝尔(Jean Le Rond d'Alembert，1717-1783) 于1747年建立起来的。这也是历史上第一个偏微分方程。顺便提一句，弦振动频率的计算也是由数学家得到的。英国数学家泰勒 (Brook  Taylor，1685－1731)给出：

   频率 = (1/2l)√(T/ρ)，

其中 l是弦的长度，T 为弦的张紧程度，ρ为弦的密度。弦振动方程的建立和求解超出了本文的范围，有兴趣的读者可以参阅上海音乐学院杨健的《走进琴弦的世界──谈近三千年来人类对琴弦的研究及引发的思考》中的附录《拨弦模型的建立、求解和分析》(《自然杂志》2004,26(3):177-183)。在这里我们只能告诉读者，这个方程的通解用数学函数表达就是正弦函数 p(t) = Asin(Bt+C) 和余弦函数 q(t) = A cos(Bt+C) 的线性组合。其中A、B和C是一些常数。C关系不大，而A与声量大小成正比，B与频率成正比。这个线性组合可能是无限的，数学上就是级数求和。因为是三角函数构成的级数，我们称之为三角级数。

3. 从三角函数的周期性看十二平均律

由上一节的讨论我们知道,三角函数的线性组合是弦振动方程的解。由於余弦函数可以用正弦函数来表示，我们在下面的讨论中不妨假定弦振动的轨迹为正弦函数。当然声音的结果可以是音乐，也可以是噪音。那么我们是如何把音乐和噪音区分开的呢？毕达哥拉斯告诉我们，一个单独的音响无所谓动听与否，而判断一连串声音是不是会让人觉得是噪音关键在於这一连串声音是否和谐。这里的奥妙就在於音符的确定。大家知道，音乐的乐谱是由在不同高度上的多、来、米、发、所、拉、西组成的。从一个多到下一个多经过八个音符。那么这个八度音是如何得到的呢？让我们用数学的方法根据毕达哥拉斯的发现找出八度音里的基本音符。首先，我们先任意确定第一个音符，记作 C。为简单起见，假定它的频率是 1Hz，音量为 1。於是它的数学表达式为

   y = sin(2πt)。

确定了 C 之后，我们来选择第二个与 C "和谐" 的音符，这就是下一个八度音C': 它的频率是 C 的两倍: 2Hz，音量也为1。它的数学表达式为

   y = sin(4πt)。

从数学图像上看，C 的曲线每秒钟重复一次，而 C' 的曲线每秒钟重复两次。因为它们在第一秒钟的时候都回到 t 轴上(即 y 值变到零)，所以它们产生的音响是和谐的。再下一个八音符 C" 的频率应为 4Hz (即 C' 的两倍)，所以在 C' 和 C" 之间，我们应该加入一个 3Hz 的音符。为了和谐起见，我们必须再加入一个它的频率的一半的音符，这就是在 C 和 C' 之间的第一个八音区里的音符 G，它的频率为 3/2。自然，我们还应该加入一个频率为 5Hz 的音符。这个音符在我们加入的第三个八音符外面。为了在第一个八音区里加入和谐音符，我们必须两次取 5Hz 的一半，於是得到 5/4Hz，这就是在 C 和 C' 之间的第一个八音区里的音符 E 。将我们现在已经得到的音符汇总起来，我们得到下面的表格 (C" 以上的音符省略)：

从上面的表格看，我们不难想到还应该加入一个频率为 5/3Hz 的音符，即 A。於是表格变成：

注意到我们在 C 和 C' 之间加入的第一个音符 G 的频率为 C 的 3/2 倍。因此，如果我们以 G 为起点，那么我们还应该加入一个频率为 (3/2)*(3/2) = 9/4Hz 的音符。但是这个音符在第一个八音外面，我们还必须将它平分一次，使得新的音符进入第一个八音区，这就是频率为 9/8Hz 的 D。由此得到下表：

如果我们满足于现在的音节，那么我们得到的正是中国古代音乐的五声音阶。中国古代五声音阶：宫、商、角、徵、羽，相当于现代音乐的C、D、E、G、A五个音阶。不过，我们还希望加入一个 4/3Hz 的音符，即音符 F。用上面同样的方法，我们取 (5/4)*(3/2) = 15/8 Hz 得音符，即得到音符 B。再将这两个音符填入表中，我们得到：

现在，如果音乐家们都以 C 作基调的话，上面的音符就可以奏出优美的旋律了。问题是他们在演奏中常常还会变换其它音符作基调。那么上面的这些音符是否还会保持和谐呢？答案是否定的。我们注意到，C 到 G 频率增加了 3/2 倍，这个关系显然应该保持。但是，当我们看表中的下一个音符从 D 到 A 频率增加却不是这个关系，因为按照这个关系，A 的频率应该是 （9/8)*(3/2) = 27/16 Hz。尽管 27/16 与 5/3 很接近，但它们并不严格具有和谐的关系。为了要达到全部的和谐，我们可以无限地加入新的音符，这显然是不可能的。那就是说，我们所需要的这个 3/2 关系必须在某一个八音上停止。从数学的角度来说，我们现在面临的问题就是我们必须选择正整数m和n使得

   (3/2)^m = 2ⁿ，    m > 0， n > 0。

容易证明，这个方程没有正整数解。最接近的使得这个方程近似成立的正整数为 m = 12 和 n = 7，因为这时我们有：

   (3/2)¹² ≅ 129.74633.... 和 2⁷ = 128。

这说明，我们在 C 和 C' 之间需要12个能满足 3/2 关系的音符；而且它们中相邻的两个的频率比值是常数。现在我们来确定这12个音符。假定这个常数记作R。因为我们需要12个音符，而且每高一个八度频率加倍，所以有：

R¹² = 2。

这个方程的基本解为 ¹²√2 = 1.0594...。这是一个无限不循环小数 (无理数)。用等比序列 {Rⁱ，i = 0，1，2，...，11} 我们得到一个已经成为西方音乐律制核心的 "十二平均律" (equal temperament)：

比较表中的第二行和第四行我们发现，十二平均律所确定的音符与我们前面推导得到的 (毕达格拉斯的)自然律制非常接近，而且在C和C'上它们重合。虽然它是人为地将一个音极按等比序列分成十二个相等半音，但是它解决了自然律制在转调上不和谐的缺陷，非常适合调式变换、和声写作和器乐演奏，极大地扩展了作曲和演奏的范围。相关的文献有[1,14]。

下面我们来说明这样的分法是最佳的。回忆十二平均律的确定是从方程

   (3/2)^m － 2ⁿ ＝ 0，    m > 0， n > 0的近似解得到的。把等式左边的差用 Res(m,n) 表示，即 Res(m,n) ＝ (3/2)^m － 2ⁿ。我们的近似解 (m,n) ＝ (12,7) 使得Res = 1.74633...

数学上把 Res 称作剩余值。我们自然可以考虑这样的问题：如果我们再增加几个音符，效果是否会更好？用数学表达式我们可以把问题叙述成一个极值问题：

       min{Res(m,n): m > 0，n > 0，m 和 n 是正整数}。

这个表达式是说要在所有的正整数组 (m,n) 中寻求一组使得Res(m,n) 达到极小值。十二平均律表明

       Res(12,7) = min{Res(m,n): 13 > m > 0，8 > n > 4，m 和 n 是正整数}。

这里我们限制了n > 4，因为我们已有了五个音符。现在让我们来扩大搜寻范围。我们把问题简化成

       min{Res(m,n): 500 > m > 0， 500 > n > 4，m 和 n 是正整数}。

注意这里我们允许 n 取值 500，尽管由於受到乐器和人体活动的范围，我们不可能让 n 如此之大。会任意一个计算机语言的读者可以编写一个简单的程序去验证，这个极值仍然是在 m = 12 和 n = 7 时达到最小。有人曾经提出十九平均法。上面的简单讨论就说明这是不可取的。

上面的讨论假设了C的频率为1Hz，当然这不符合实际。通常C调的频率为262Hz，C上面的A为440Hz。以A调为基准加以类推，我们就得到了全部12个音节。重要的是，当一个音符升高八度后，它的频率加倍。例如C'调，其振动频率为每秒528次。

注意三角函数在这里的重要意义。事实上，利用三角函数我们也可以解释调音原理。具体的推导从略。近代数学中，由三角函数发展起来的一个分支叫作Fourier分析 (调和分析)。 它在通讯和音乐方面有许多应用。比如，现代录音技术中消除噪音和人声等。数码音乐的创作只是将正弦波音 (Sine Tone) 处理后得出的声音。最近发展起来的小波分析也已经被应用于对音乐的研究。

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