作者：蒋迅

本文发表在《数学与人文》丛书第一卷。请勿转载。请先阅读本文第一部分。以下内容比书中略有扩充。

4. 对数螺旋线和十二平均律

值得一提的是，在中国最早(1581)利用数学制订出十二平均律 (或称十二等程律) 的是我国明朝音乐家朱载育。甚至早在南宋时,乐律学家何乘天就创制新律,成为最早用数学解决十二平均律的人。虽然所得的十二律还不是按频率比计算的真正平均律,但实际效果已相当接近。在西方，十二平均律是由荷兰人斯特芬于1600年前后得到的。巴赫在推广平均律方面的贡献是众所周知的。他创作的《平均律钢琴曲集》为平均律建立了规则和典范。这是第一部实现平均律的作品，使人能在各调上作均等的弹奏。

然而当巴赫试图推广十二平均律的时候却遇到了很大的阻力。幸运的是，巴赫本人热爱数学，他的音乐也具备高度的数学性。当他无法说服他的音乐家同事相信十二平均律的好处时，他向数学家约翰伯努利寻求帮助。伯努利随手画了一个对数螺旋线并在上面标了十二个半音。他对巴赫说，”在这个曲线上，旋转同样的角度可以使它与原点的距离以同等比例增加。这不正是你现在所要的情形吗？” 他继续说，”从一个音节到下一个音节，你只要旋转这个螺旋线使得你的第一个半音落在 x 轴上；其它的音就会自动地落在其应到位置上。这简直就是一个音乐计算器！” (见[2])。那么伯努利画的是个什么样的图形呢？让我们用极坐标来表示，中心在原点的对数螺旋线的标准方程就是 r = e^aθ。按照伯努利的描述，曲线的起点为在正x 轴上的C(1.0, 0.0)，然后依反时针旋转一周，每隔30^o或π/6 就标一个点 (当然在这个方程中我们必须使用弧度)。这样一共有十二个点：C，C#，D，D#，E，F，F#，G，G#，A，A#，B。当曲线回到正x 轴时，我们得到下一个C，记作C'。假设OC'是OC的两倍。那么C'的坐标为(2.0, 0.0)。於是我们有，

      2 = e^a2π，

从而，

       a = (ln2)/2π。

於是利用指数函数和对数函数的性质，我们得到r的极坐标方程：

       r = e^(ln2)θ/2π = e^ln2(θ/2π) = 2^(θ/2π)。

注意到曲线上取的12个点的角度分别为

       θ_i = π*i/6    (i = 0，1，2，...，11)，

我们又一次得到了前面的十二平均率的12个点:

       r_i = 2^(θ_i/2π) = 2^{(π*i/(12*π))} = 2^i/12    (i = 0，1，2，...，11)。

对数螺线又称等角螺线。伯努利的哥哥雅各布伯努利从1691年就开始了陶醉于对数螺线的研究。他发现对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线。这与十二平均律允许灵活转调是一致的。

5. 黄金分割和斐波那契序列

数学在音乐的应用方面还有一个显著的领域是黄金分割法。原中国科学院数学研究所所长华罗庚从1964年起推广优选法。他在单因素优选问题中，用得最多的是0.618法，即黄金分割法。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用，事实上，凡是可以度量的属性都有理由运用黄金分割。音乐也不例外，而且很多。

在制作小提琴时，提琴的结构中的黄金分割律是使小提琴音色优美动听的一个重要因素。有人以 “355型” 小提琴（即4／4小提琴）为例，找出了其结构中的14个黄金分割关系。在作曲中，传统的ABA三部曲式结构，体现了对称均衡的形式美法则。很多作品把乐曲的高潮位置定在黄金分割点左右。美国底特律的一家录音机构 (The Recording Institute Of Detroit) 根据黄金分割的比例建造了他们的录音棚。据说其效果显著地好。在中国，有人研究发现，二胡的千金放在0.618的位置上发出的音最为优美。还有人严格计算了《义勇军进行曲》中的分段，发现它的转折点也是在黄金分割点附近。在音乐作品中，被后人讨论最多的是莫扎特。他的《D大调奏鸣曲》中明显使用黄金分割。第一乐章全长160小节，再现部位於第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160*0.618=98.88）。他的《C大调第一协奏曲》、《第三G大调》、《第四D大调》、《第五A大调》小提琴协奏曲和一些其它钢琴协奏曲中也同样使用黄金分割的痕迹。尽管人们无法判断是否莫扎特有意地使用了黄金分割来改善他的作品，但他热爱数学是众所周知的。他甚至在他的许多乐稿的边缘写下数学公式。读者若对莫扎特作品的深入研究有兴趣的话，可以参见[3]。除了莫扎特的奏鸣曲外，贝多芬、巴赫、巴尔托克、德彪西、舒伯特、埃里克-阿尔弗雷德-莱斯利-萨蒂、奈格 、亨德尔、维瓦尔弟的音乐里也蕴藏著黄金分割的完美和谐。虽然他们有些人不一定知道黄金分割，但是既然毕达哥拉斯可以凭某种第六感官断定0.618是个神奇的比值，那么为什么伟大的艺术家们不可以有类似的直觉呢？

与黄金分割紧密相关的是斐波那契 (Leonardo Pisano Fibonacci，1175?-1250)序列。这个序列从零和一开始，后面的每一个数是其前面两个数的和。它的前十四项就是

       0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

如果把它的单项记作a_n。那么有，a₁ = 0，a₂ = 1，以及a_n ＝ a_n-1 ＋ a_n-2 (n > 2)。奇妙的是，这个序列与黄金分割也是相关联的：任何两个相邻项的比值a_n-1/a_n近似于0.618，而且越往后其比值越接近0.618：

   a₁/a₂ = 0.00000，a₂/a₃ = 1.00000，a₃/a₄ = 0.50000，a₄/a₅ = 0.66667，a₅/a₆ = 0.60000，a₆/a₇ = 0.62500，a₇/a₈ = 0.61535，a₈/a₉ = 0.61905，a₉/a₁₀ = 0.61765，a₁₀/a₁₁ = 0.61818，......

反过来的比值 a_n/a_n-1 则近似于0.618的倒数1.618。用数学中的极限的概念，就是说

       lim_n→∞{a_n-1/a_n} = k，lim_n→∞{a_n/a_n－1} = φ。

这个序列是十三世纪意大利数学家斐波那契为解决兔子繁殖的研究过程中最先使用的。后人发现它在自然界有多方面的应用。其应用之多以致人民专门发行了斐波那契季刊 (Fibonacci Quarterly)。在英国还有一个 "斐波纳契数列" 交响乐团 (The Fibonacci Sequence)。

黄金分割主要应用于连续变量的属性，而斐波那契序列则在离散的变量里常常现身。我们可以把斐波那契序列看作黄金分割离散化以后对黄金分割的一种近似。让我们先来看看钢琴的健吧。钢琴八度音之间有5个黑键和8个白键共13个半音阶，这正是斐波那契序列中的第6至8项。

再来看看作曲家们是如何把这个神秘的数例与他们的乐曲巧妙结合的。法国作曲家萨蒂喜欢斐波那契数，在他众多的曲子中正好也显现出了这一用黄金分割为结构的乐曲。例如，《来自玫瑰与十字架的第一钟声》(Sonneries de la Rose+Croix，又称《玫瑰十字教之钟》) 这部作品。除了无节拍号、小节线和终止符外，作者就明显地运用了 "黄金分割"，将段落配置得十分巧妙。这组钢琴曲共包括三首。它的第一首为《玫瑰十字教之歌》 (Air de l'ordre，又称《序列之歌》)，全曲的拍数为233拍，呈示部的拍数为144拍，正好落在斐波那契序列的第14和13项上。笔者猜测萨蒂之所以如此精心地策划这部作品可能是因为受玫瑰十字教的影响。玫瑰十字教是个神秘宗教组织，它主张把古老的神秘智慧传承下去。而斐波那契数列正好与古希腊的神秘数0.618密切联系。

另一位明显应用了斐波那契数列的作曲家是巴尔托克。他在作曲中迷恋大自然中的形式美，这正好与斐波那契数列在自然界的天衣无缝般的应用相吻合。在生活中他也是不断地扩大他的植物、昆虫和矿物的收藏。向日葵是他最喜欢的植物，而向日葵的葵瓜子排列正是斐波那契螺旋。他把这一现象应用在作曲中，而且比萨蒂应用的更加淋漓至尽。比如，他的《舞蹈组曲》 (Dance Suite) 就是按照斐波那契序列创作的：第一乐章是大二度 (2)，第二乐章是小三度 (3)，第三乐章则是前两首的和 (2 + 3 + 2 + 3 + 2)，最后第四乐章是第二、三乐章的和 (8 = 3 + 5)。再比如，他的《为弦乐，打系乐器及钢琴所写的音乐》（Music for Strings, Percussion and Celesta）里有89小节 (斐波那契数列的第12项)，中间又分为55和34小节的两部分，55小节的部分又分为34和21小节的两段，作品在第55小节上达到高超。这里从局部上所有的数字都落在斐波那契序列上，从整体上又符合黄金分割，真是妙不可言。从这些例子我们看到，斐波那契数列不仅可以在整体分段上运用，也可以在节奏、音高以及配器法式上实现。

斐波那契序列还有一个不太知名的变型是由法国数学家卢卡斯定义的。他的序列称作卢卡斯序列。这个序列的定义是:

       2， 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, ...

从第三项以后，每一项也是由前两项的和生成的。而且，它也有类似斐波那契序列的极限 (趋於黄金分割)的性质：

       4/7 = 0.7514, 11/18 = 0.6111 and 76/123 = 0.6179, 123/199 = 0.6181, 199/322 = 0.6180, ...

萨蒂的作品《烦恼(Vexations)》就体现了这个序列。比较卢卡斯序列和斐波那契序列，我们发现它们的区别仅在於第一和第二项，后面一般项的规则是相同的。由这两个序列得到的比值序列 (即每项与前一项的比) 都以黄金分割数为极限。这一现象不是偶然的。事实上，广义斐波那契数列都具有这个特性。

在今天，不仅许多人在研究曲谱时有意地寻找其中的数学形式，一些象曼格温(Casey Mongoven)那样的现代作曲家有意识地在他的作品中使用黄金分割和斐波那契序列。电子音乐先锋克塞纳基斯 (Iannis Xenakis，1922-2001) 甚至在他的主要作品中应用了更现代的数学理论 (随机分布、集合论、博弈论和随机漫步等)，创作于1956年的“概率的作用”是其代表作之一。同类型的作品还包括：根据德国数学家高斯的理论创作的“ST/10”和“Atrees”、根据马尔可夫链创作的“Analogiques”、根据运动原理创作的“Duel”和“Strategie”以及其第一部电声作品“Bohor”等。他因此被印第安那大学聘请为数学音乐和自动化音乐教授。人们越来越意识到许多自然的声音有着潜在的数学逻辑，随着时间的变迁，人类可能已经变得对某些声调和形式有特殊的敏感。也许诸如斐波那契和黄金分割这样的关系可能会帮助另一个文化了解我们人类是生活在一个什么样的声音环境中。

5. 结束语

在以上的讨论中，我们不但用到了无理数、三角函数和它们的和差性质、解析几何中的极坐标、三角级数、等比序列、斐波那契序列、代数方程、指数和对数的性质、黄金分割，还简要地涉及了偏微分方程和Fourier分析等现代数学。纵观数学走进音乐的历史，可以说毕达哥拉斯发现了它的地位，莫扎特、巴赫证明了它的地位。尽管音乐的普及不需要数学的引导，但是音乐理论的研究却大大地需要数学的帮助。如果读者在阅读本文之前还怀疑数学在音乐中的地位的话，那么现在是否应该有一个全新的认识呢？

参考文献：

[1] 杨健，“走进琴弦的世界--谈近三千年来人类对琴弦的研究及引发的思考中”的附录“拨弦模型的建立、求解和分析”，《自然杂志》2004,26(3):177-183
[2] EliMaor，巴赫与伯努利的历史性会见 (A Historic Meeting between J.S.Bach and Johann Bernoulli)，E: The Story of a Number，Princeton University Press, 2009
[3] 翁瑞霖，数学与音乐的对话: 探讨莫扎特音乐德数学应用及其效应，国立台湾师范大学学报, 49(2), 85-100
[4] 吴林，文化的贯通-音乐与数学的融合
[5] 侯德明，萨悌钢琴曲《运动与娱乐》特殊创作理念之探讨，国立中山大学音乐系研究生论文
[6] 黄力民，音乐中的数学，三思科学电子杂志
[7] 蔡松琦、蔡幸子，音乐与数学，钢琴宝典，华南理工大学出版社2001年7月第1版
[8] Music and Mathematics,
[9] Paul Cox, Math and Music: A Primer,
[10] Robert Orledge, Understanding Satie's 'Vexations',
[11] Terry Ewell, Use of the Fibonacci Series in the Bassoon Solo in Bartok's Dance Suite, The Journal of the International Double Reed Society 17 (July 1989): 4-6.
[12] Phil Tulga, Sequencing with Fibonacci,
[13] Music and the Fibonacci Series,
[14] John Allen, On Rabbits, Mathematics and Musical Scales,

联接：

• 朱钦士：音乐的美，奇，谜，憾

• 武际可：律学和十二平均律

• 王伟华：傅里叶与贝多芬──数学与音乐

• Oli Freke：正弦语言