序：相信每个人都曾为无穷的星空及其涵容星空的超穷太空浮现过奇妙幻想与遐思。

疏知它与数学空间中（简单如）实轴上“无穷的有理数集和涵容它的超穷的无理数集”形成鲜明的应对关系，同样给人以无限遐思。

特别的，它还进一步地应对着终极的客观世界，给人的不只是遐思，更是惊醒（可谓视透实轴结构就等于视透自然）。

的确，笔者也在数学空间中，带着种种幻梦游荡了一辈子，虽无大块拾缀，却也有过零零碎碎一大筐，趁此闲暇之际权且来个“数学玩味”。

不过苦于力不从心，只作提纲式述赘。

1、数学是什么

（1）数学。用一套特殊语言严密刻画客观世界的学科耶（续见（3））。

因此它具有如下独有特色：

其范式特色是“建模+解模”；其功用特色是“工具”；其功能特色是“发现”；其内涵特色是“思想”。

具体叙述为：

数学（作为工具）是凭借逻辑精细，运用数学语言解决客观问题；

数学（作为发现）涵存着一种特有的“能力”，在学习期间是培养其能力；在工作期间是奉献其能力；

数学（作为思想）是用数学语言实现其直觉思辨，包括创新与创造。

数学，思想重于公式；数学建模的关键是对对象系统的深刻理解；凡人焦虑的是公式掌握，高人焦虑的是思想突破；数学论文2/3是锻炼思维，1/3是促进发展；数理哲从来都是一家。

（2）数学空间。首先，空间=（元素集，关系集），那么，数学空间=（数学元素集，运行集），比如可定义“有理空间”为，有理空间=（有理数集、算术四则）；

（3）数学是建立在“有理数集”上的数学空间，为此，须用一整套专门的（仍在增长着的）“数学语言”；“无理数集”只是数学的背景与辅衬，同时也是数学的阻遏与挑战。

“大自然”可比作一个理想的棋盘空间，数学只在其网络上，犹如逻辑空间的关系网（严格沿网线推进）；含盖网络的“盘面”犹如无逻辑的无理空间（超能、超空间、暗物质）；思维是沿包括邻域的网线行进的。

2、数学之复杂性

（1）系统复杂性。（流行上）系统满足非线性、非确定性、时变性“三性”之一者即为复杂。

显然，“三性”并非独立，且数学在每一性中表现更为深刻、更为复杂。

（2）数学复杂性。满足抽象性、无穷性、关联性、逻辑隐晦性、空间的“层次性、完备性”者即为复杂（各条并非独立、不必同时满足）。

复杂问题具有“挑战性”，如业界的所谓“公开问题”即是复杂问题（续下）。

3、数学宏观上的复杂性

（1）首先表现在其“根”上，“根”的本质（也叫无穷的本质）来自无理数集的无逻辑。

过去在未揭示出“无穷”本质时，数学对它处于迷糊状态，形成了越来越多的谜题（于20世纪初为康托尔开创的寻根之路揭示出，“数学谜题”之源在于其“根”）；

又，作为数学的“根”，整个无理数集仅相当于（归于）一个逻辑“点”。

（2）其次表现在通向“根”的道路上，涉及“无穷”但不必是无穷集，例如新近解决的费马问题、庞卡莱猜想，以及进行中的哥猜、黎猜和混沌、KDV方程、N-S方程、“新世纪7大数学难题”等等所有“公开问题”皆属此类复杂性情形。其特点是各种各样的来自各个方面，但都显示出“无穷”特征。数学将永远沉溺于这类复杂性中（特别在面临错综复杂情形时还会涉及到逻辑空间边际“非典型逻辑”和潜意识的心理因素干扰更显复杂呢）。

（3）无理数集与数学的奇妙关系。无理数集不是承建数学大厦的主体，但在数学前沿的结构和关系中（即在数学的复杂性中）却起到无足轻重的作用。

正是无理数集的不可数性（无“点”概念）和无逻辑性，构成对数学的历史性挑战（不过，揭示出它只是知道了它，只是明白了谜题的本质，却不可能消除也消除不了它）。

（4）总之，数学之难，要害在于（两类）“无穷”。一是不可数无穷（超穷）之难，如本段（1）所述，是数学之“根”（数学不可能消除这一难，数学之“根”也不是由极限过程可达的）；二是可数无穷之难，如本段（2）所述，是一般复杂性之综合领域（复杂性问题都涉及到“无穷”性），可以说这是数学的永久性泥潭。

两种“难”在数学中都将一直存在下去，但数学更活跃在复杂性道路上（即第二难、可数无穷），这里也是充分显示一代代数学家智慧、智商和创造性的领地（续见“5”）

4、数学的虚实二象基底

此即（数、形）=（虚、实）

（1）根本的是（抽象自“形”的最为抽象的）“数”，对应于（几何）“点”（形）。

“点”是没有大小只有（坐标）位置的最为基本的元素，在所有学科中唯有数学的基本元素是最小的，所以它的应用范畴最广。

注：本质上，所谓“数”、“点”都是在“有理数”意义下说的，因为无理数中的所谓“点”，即使其坐标位置也是不可确定的。也因此，任一无理数的（无穷不循环小数）“序列”中都存在着无穷的奥妙可供玩味（如①存在“薛定谔猫”，即任取定它时即为有理数（死猫），不取定它时即为不确定状态，亦属“道可道非常道”原理；②无穷远“∞”具两面性，首先它不是数，只是一种不具逻辑意义的状态，其次它也是数（自然数的极限），因此也是逻辑意义下可作运算的，如其倒数可以等于0等即是）。

（2）数学于“数”上产生的特征（掠举其二）：

一是多级抽象提升特征，除在算术、代数、函数、分析的“十则”运算上得到的提升外，更有诸如（作为“作用”的）映射、变换、对偶、算子之类和（作为“关系”的）同态、同构、同胚、同伦、同调之类；

二是多级扩张拓展特征，特别注意到，在运算“十则”中的每个“逆运算”都使得数学空间得到大为扩展（免赘），尤其是第八则“对数”产生的拓展机制（内在动力谓“机制”）是至今都还在发生的，此外，第六则“开方”中产生的虚数“i”所展示出的“旋转”性特征，其深刻性（从微观到宏观）可谓革命性的（续下）。

（3）转动特征，悉知，数学描述的（平移，旋转）运行机制中，“旋转”性是十分重要的，除数学中通常实现的转动性机制外，特别值得强调的是”i”的转动特征，它使得复变量、复空间成为具有（平移，旋转）完全的活的世界，是它体现了从（三角函数形成的）局部旋转到（闵可夫斯基空间的）整体转动，是它促进了信息科学，通索了傅里叶分析、调和分析等等。

（4）融汇特征

一是充分表现在数与形的融汇上，如代数与几何的结合，从17世纪初笛卡尔坐标系的“解析几何”，到现代的代数几何、算术几何等；

二是（基于数学中深刻的二象机制）现代表现出越来越多的学科间的结合与融汇，乃至致力于数学的大统一，当然，除数学之根获得的宏观上的大统一“完备数学”外，往后最难的是从数学内逐步统一直至大统一；

三是因为“数”在整个数学中的基础地位，使得整个“数学大厦”都能投影到“数”上来，因此使得数码、数字、数值和计算成为科学的核心和验证手段。

或反过来说，数学大厦在其任何抽象层次上皆可借助数字、计算等展示其形体特征和几何颜面（亦属数学的“二象互动”原理）。

5、数学的象牙塔特征

一种流行说法：数学是雕琢逻辑象牙塔的，关键是雕琢而非整体打磨，因为象牙塔整体是有理数集+无理数集的，后者不服从逻辑运作，即其雕琢只能在有理数集上，其特征可归为如下两点。

（1）逻辑的细微性，比如在三维实数空间（几何空间）中，逻辑空间仅仅是其中稠密的逻辑轨线族所构成的（细密、分层、隐晦的）逻辑网，因此掘进所面临的细腻性会是超越直觉的。

（2）逻辑的雕琢性，鉴于其多级抽象、细密、分层和隐晦性，常常需要创新性提出新概念（新节点）以/或发现隐晦的逻辑途径，这就是雕琢的表现（例，流形上的分析通常是其上的动力系统，但当其“方向场”变成该流形的“切向量场”则成为流形内在的分析了，特别如在流形的“曲率场”上作几何分析，即可在该流形上产生进一步抽象的新的流形诸如“里奇流”之类，属深刻雕琢情形）。

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自高隆昌科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-3417274-1500414.html

上一篇：第60讲：科学之批判