作者 高关中（德国汉堡）2025/2/5

中学生都要学习几何、代数。几何学的奠基人是古希腊人欧几里得，他的名著《几何原本》影响至今不衰。而代数学的奠基人呢？一般认为是花拉子米（约780-约850，我国唐代）。他出生于中亚，长期在阿拉伯帝国都城巴格达工作生活，因其数学方面的成就被誉为“代数学之父”。

从花剌子模到巴格达

花拉子米（Al-Khwarizmi），又译阿尔·花拉子米，阿拉伯文全名穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花拉子米（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi），其中ibn一般来说意指某人之子，亦即Musa是花拉子米的父亲(但也有可能是某位重要的祖先)。拉丁名为阿尔戈利兹姆（Algorismus）。约780年出生在中亚花剌子模（Khwarezm，这是中国古籍译法，也可译为花拉子模）。他的名字花拉子米（Al-Khwarizmi）是来自花剌子模的意思。事实上，他的名字应该译为“花剌子模的穆罕默德”才算不失原意，正如意大利美术家列奥纳多·达·芬奇的正确解读应是“芬奇的列奥纳多”。

黄金时代的伊斯兰世界主要成员包括阿拉伯人和波斯人，花剌子模这个国家属于后者。但由于花拉子米后来定居巴格达(当时阿拉伯帝国的首都)，而且他的著作一律以阿拉伯文写成，以至很少有人留意到他其实是波斯裔。

关于花拉子米的生平，现时所掌握的资料甚少。据说他曾到过阿富汗、印度，后长期定居当时的学问中心巴格达，在阿拉伯帝国阿拔斯王朝哈里发麦蒙（Al-Ma'mun，又译马蒙，786-833，813年即位）的朝廷中任职。麦蒙在巴格达创建了国家学术研究机构“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，House of Wisdom)，聚集不同民族及宗教信仰的著名学者，将希腊、波斯、印度等国的古典著作加以收藏、整理并翻译成阿拉伯文，促进了阿拉伯科学文化的发展。智慧馆是全国性的综合学术机构，为国家级翻译兼研究机构，亦称益智宫、集贤馆，由翻译局、科学院和图书馆等机构组成。后世学者赞誉智慧馆为中世纪阿拉伯“科学的源泉，智慧的宝库，学者的圣殿”。一些古希腊名著，藉此保留下来。而花拉子米就主持巴格达“智慧馆”的工作，是智慧馆的学者之一，担任类似高级研究员的工作，负责收集、整理、翻译大量散失的古希腊和东方的科学技术及数学著作。“智慧馆”的前身是国家图书馆，藏书自然十分丰富，不但有来自世界各地的经典名著，而且都有阿拉伯文译本。在这种得天独厚的机缘下，花拉子米得以同时接触两种风格迥异的数学文化──偏重逻辑与几何的希腊数学，以及偏重计算与符号的印度数学。他汲取和综合了古希腊和印度数学论著的成果，促进了数学向深度和广度的发展。

花拉子米在850年前后逝世于巴格达。大约活了70岁。

推广阿拉伯数字，系统总结算术法则

花拉子米的一项重要成就是推广阿拉伯数字，系统总结算术法则。今天全世界通用的数字系统被称为阿拉伯数字。其实，它起源于印度。早在公元前3世纪，印度数学家就发明了不仅包括1、2、3、4、5、6、7、8、9，还包含“0”在内的完整数字系统，特别适合十进制计数法。哪个数位没有数，就用0占位，如1704：1是千位数的1，7是百位数的7，4是个位数的4，十位数没有东西就用0来占位。印度计数法的最大优点，就是能用数字来进行计算，这是一个了不起的进步。试比较一下罗马数字，共有7个符号，即I（1）、V（5）、X（10）、L（50）、C（100）、D（500）和M（1000）。需要注意的是罗马数字中没有“0”，若1704就得写成MDCCIV，很麻烦，更不用说四则运算了。

花拉子米去过印度，了解到印度数字具有简洁明了、易于书写和计算的特点。就把印度数字引进阿拉伯世界。大约公元 825 年，花拉子米写成《印度数字算术》（On the Calculation with Hindu Numerals）一书，系统地叙述了十进位值制记数法和以此为基础的算术知识，对世界普及十进位值制起了很大作用。这本书的拉丁文译本名为Algoritmi de numero Indorum，直译意思是“花拉子米论印度数字”。Algoritmi 是花拉子米名字的另一音译。这个词后来衍变为algorithm，表示运用阿拉伯数字来进行有规则计算的算术。今天欧洲语言中“算术”一词改用源自希腊语的 arithmetic，而 algorithm 则成为电脑科学的行话——电脑所赖以计算的“算法”。追根寻源，这个词来自花拉子米的人名。

花拉子米这本书最重要的贡献，就是把“印度数字系统”引进阿拉伯文化圈，然后再经由它的拉丁文译本，将这个数字系统推广到全世界。花拉子米展示了数字的加、减、乘、除的基本方法，甚至展示了如何求平方根和π。这些方法精准、明确、有法可寻、具有效率、正确而且简单，这就是算术的“运算法则”。

印度数字系统随着花拉子米的著述西传到欧洲，欧洲人误以为这是阿拉伯人的发明。所以称为阿拉伯数字。阿拉伯数字十进制系统起初遭遇罗马数字系统的抵制。但它凭借计算优势逐渐获得认可，取代了笨拙的罗马数字系统。

1202年，意大利数学家斐波那契（Fibonacci，约1170-约1250，又名Leonardo da Pisa, 莱奥纳尔多·达·比萨）写成《计算之书》(Liber Abaci)。这是中世纪晚期欧洲重要的数学名著, 是一部百科全书式的数学著作，内容涉及算术、代数、几何和问题，书中全面接受了阿拉伯数字系统。该书的出版标志着阿拉伯数字在欧洲的正式接受。

从那以后，阿拉伯数字十进制系统和它的数字运算法则在西方文明乃至全世界扮演了一个十分重要的角色。它促进了科学和技术的发展；加速了工业和商业的进步。

代数学的奠基人

花拉子米最大的贡献则在于代数学。

代数具有悠久的历史。如希腊数学家丢番图（Diophantus，约246-330）就曾研究代数问题。他的墓志铭就是一道代数题：“过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1/6 是幸福的童年，生命的1/12是青少年时期。又过了生命的1/7他才结婚。婚后5年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活了4年，结束了尘世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？”列成代数式就是这样的一元一次方程：

x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4

通过移项与合并同类项解得：他的年龄x = 84岁，真是一个老顽童！

丢番图写过一部13篇的《算术》，该书是讲数的理论的，但不少内容可以划入代数的范围。他提出了用符号表示未知量的方法。许多问题导致一、二次方程或三次方程，乃至不定方程。不过各个题都用特殊的方法去解，很少给出一般的法则。

一直要等到花拉子米的工作出现，代数学才真正成为一门单独的学科。公元830年，花拉子米写了一本有关代数的书《al-jabr w' al-muqabala》。当时还没有代数(学)这个名词，书名中al-jabr 原为恢复平衡（还原）的意思，在这里指的是一项代数运算——移项完成后，等式两端又恢复平衡；al-muqabala意指某种面对面而立的事实（对消），在这里指的是集项（合并同类项）这种代数运算。所以书名可译为《移项和集项》。

这本书的主要内容12世纪译成拉丁文，书名简化为Algebra，由书名中的al-jabr（移项）衍化而来，其中al是定冠词。从此在欧洲语言中，就用algebra表示“代数学”，一直到今天仍然如此。所以说，今后你再碰到al开头的英文，会不会忍不住怀疑它源自阿拉伯文？其实机会的确很大，例如alchemy（炼丹术）, alcohol（酒精）, alkali（碱）这些词都源自阿拉伯。

此书分三部分，第一部分里，花拉子米第一次系统地解决了求解一次和二次方程的基本方法，首次给出二次方程的计算公式，而且还提出了“移项”“合并同类项”等方法，这些方法一直沿用到现在。他还明确提出了已知数、未知数、根、无理数等一系列概念，并载有例题800多道。就这样他把代数学发展成为一门与几何学相提并论的独立学科。有趣的是，虽然这本书是标准的数学书，却没有任何公式或符号，全书从头到尾都是文字，采用文字叙述的方式给出方程，顶多再搭配几张插图，颇类似中国古代的数学著作，例如《周髀算经》或《九章算术》。

人们将这本书视作代数学的开山之作。严格说来，一元二次方程式的解法并非花拉子米首创，在他之前两百年，印度数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta，约598-约665)就曾经著书立说，详细讨论类似的算法，而且花拉子米很可能读过这本名为《婆罗摩历算书》的印度数学名著。可是“代数学之父”这个头衔却被花拉子米抢了去，从来没有人为婆罗摩笈多伸冤，这当然是有原因的。对婆罗摩笈多而言，他真正感兴趣的是算术和数论的问题，方程式只是解题的工具而已。花拉子米则不然，在《移项与集项》这本书里，方程式的解法是主角。

书的另外两部分为实用测量术和遗产计算问题。有人因为此书第一部分的重要性，把花拉子米誉为代数学的鼻祖。

中文不用algebra的音译，而是用“代数学”这个词，最早是在1859年。那年，清代数学家李善兰（1811-1882）和英国汉学家伟烈亚力（Alexander Wylie，1815-1887）共同翻译了英人棣么甘（Augustus De Mogan，今译德·摩根，1806-1871）所写的一本书，译本的名称叫做《代数学》，代数的名称就从此开始使用了。当然。代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》（公元1世纪成书）中就有方程问题，那就是代数学的内容。但该书重视应用，缺乏理论阐述。这里所讲的意思只是说“代数”这个词在我国使用比较晚。

数学功底好，干什么都行，花拉子米对天文历法、地理地图等方面也颇有建树。他制定出著名的《花拉子米天文表》，这是阿拉伯世界最早的天文表。其著作通过后来的拉丁文译本，对欧洲近代科学的诞生产生过积极影响。西方史学家誉他为“伊斯兰世界最伟大的穆斯林科学家之一”。花拉子米也是阿拉伯地理学的奠基人。他奉哈里发麦蒙之命，对托勒密的地理著作进行深入的研究，编写了名为《世界的形象》的地理书，并绘制了一幅附有文字说明的大地图。大地图是他与其他69位学者共同绘制的，是伊斯兰教创立以来关于天地的第一幅地图。

墙里开花墙外香。花拉子米成就巨大，但在家乡没有留下什么遗迹，甚至花剌子模这个地名在地图上都找不到。花剌子模(Khwarezm)是一块绿洲，在今土库曼斯坦和乌兹别克斯坦交界处，后者设有花剌子模州，但主城位于今土库曼斯坦北部。现名库尼亚-乌尔根奇（Kunya-Urgench）。这座历史名城在达绍古兹西北94公里（火车两小时），南距首都阿什哈巴德480公里，而距乌兹别克斯坦边界仅20公里。地名来自波斯语，意为老乌尔根奇。此地位于丝绸之路北侧分支，通往里海和南俄，一直是中亚沙漠上的一个重要文化中心，公元前就是很繁荣的城邦。1097年，花剌子模王国崛起，逐渐形成一个疆域辽阔的大国。定都此地，元史上称为玉龙杰赤。1221年，为报复使节遭花剌子模国王摩诃末（穆罕默德二世）杀害之仇，成吉思汗率领蒙古大军挥兵而来，玉龙杰赤被围半年之久。城破后，蒙古人烧毁房屋，并将阿姆河改道，淹没了整个城市。蒙古将领继续追赶逃亡的摩诃末，结果他落魄死在里海一个小岛上。现在的库尼亚-乌尔根奇始于19世纪一条新水渠的建设，城市不大。玉龙杰赤的大部分老城区都埋在地下，但仍有一些当年辉煌岁月的蛛丝马迹。2005年老乌尔根奇古都废墟被收录为世界文化遗产。

花拉子米工作过多年的智慧馆，在1258年，毁于蒙古第三次西征，藏书通通被抛到底格里斯河中，造成“墨流成河”的奇景。随着巴格达的陷落，伊斯兰世界的黄金时代也就此落幕。

但花拉子米一直受到学术界的尊崇。如今在德黑兰设有花拉子米大学（KharazmiUniversity)，该校创办于1919年，是伊朗最早的高校。在西班牙马德里大学城建有花拉子米纪念碑。由此可见其世界影响。