1. 量子的完整表达

在上一篇文章里，我们强调量子主要不是“最小单位”的概念，而是可以用数学结构完整表达的一种“状态集合”。但这还没有表达完全。量子既然是波，不可能只是一些静态的可能性，当然也还必须包含如何随时间演化的信息。也就是说，一套真正完整的量子描述，除了每一种测量结果对应的概率幅集合之外，还必须包括每一个概率幅随时间变化的相位信息。

物质波也是量子力学的基本假设（德布罗意，1924），波长与动量满足λ=h/p。然而之前对量子的定义未明确体现波动性。波动性正是通过相位演化实现的。

在数学上，这种描述通常用如下带有相位的求和表达式表示：

$|\psi (t)⟩={\sum }_n{c}_n{e}^{-i{E}_{n}t/\hslash }|n⟩$

这里，$|n⟩$ 表示系统的一组本征态，$c_n$ 是每个本征态的初始概率幅（通常为复数），$E_n$ 是对应的能量本征值，$t$ 是时间，$e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$ 是随时间演化的相位因子。整个量子态不是单独一种本征态的叠加，而是所有本征态的复数系数与各自相位“协同演化”的总和。

这种“带相位的叠加”是量子物理的关键所在。每个概率幅不仅仅意味着“有这个结果的可能性”，它的相位关系决定了量子态怎样产生干涉、如何随时间展开。

• 当各个分量的相位同步时，可以在特定位置构成增强（加强干涉）；

• 当相位相反时，可以完全抵消（相消干涉）。

通常我们所说的“量子个体”——无论是电子、光子还是量子比特——其所有性质都植根于这种概率幅叠加与相位演化之中。这也是为什么量子能够表现出超越经典直觉的干涉、纠缠、隧穿等现象的原因：不是“有什么”，而是“可能是什么”和“如何共同演化”一起作用的结果。

没有相位的量子描述是不完整的。在所有实验与理论计算中，考虑概率幅的时间和空间相位，是理解所有量子行为（包括干涉、纠缠、量子信息处理等）的前提和基础。

2. 为什么要量子化？

量子化，就是要将物理世界中研究的客体，从经典粒子或经典场，转变为数学上可以处理的“量子态”的集合。当然，这不仅是换一种数学描述，而是意味着我们承认：物理客体本身，其本质就是量子——这种包含概率幅、相位、叠加、干涉等奇特性质的抽象结构。既然如此，我们就必须发展和采用一整套全新的数学语言和公式体系，来处理量子本体的演化、相互作用和观测结果。

经典物理理论只能处理质点、流体、经典场等物理实在。它们的数学结构局限于有限维相空间、可追踪轨迹、因果律等直观范畴。而量子力学的“量子本体”则不同于经典实体，是处在概率叠加、相位干涉、不可分割概率幅集合中的实体。只有建立和利用量子的数学公式体系（如算符代数、波函数、希尔伯特空间等），才能正确描述和计算这种物理客体的行为。

量子化，就是用一整套全新的数学体系来描述物理客体，以摆脱经典物理数学方法的限制。

• 物理理论中所有“客体”，无论是一个电子、一个光场，还是一个固体晶格，都要放弃确定性轨迹或连续值的直观，转而用波函数、算符或者抽象向量等量子工具来描述。

• 具体来说，量子化就是将经典体系的自由度，提升为符号化的“算符”，或视为波动性的状态——即“物体”不再只有确定的位置或动量，而是“概率幅”与“相位演化”共同决定的量子态。

• 这种思想不只是数学工具变化，更表达了对“物理客体本质”的全新描述：物体本身也要“被量子化”——经典图像不适用了。

在操作细节上，量子化包括正则变量的替换（$q$, $p$变为$\hat{q}$, $\hat{p}$算符）、引入不确定性原理、允许态的叠加和相干、并赋予系统全新的统计规律（如费米-玻色分布）。本质上，任何经典理论的“实体”——从单粒子到连续场、从原子到分子、从物理量到相互作用，都必须在量子化后提升为“波函数空间上的态矢量”或者“算符代数中的元素”。

量子化所要求的，不单是数学处理方式的改变，更是对物理客体的本体认识发生了根本转变。经典的“粒子”或“场”作为本体，在微观层面上都让位于“量子态”的集合。量子化之后，物理客体本身失去了经典世界中的实在性和确定性，不再是可精确追踪轨迹的粒子，而成为状态空间中的“波”、“算符”或“态矢量”。这意味着，经典物理中被固定、具体地描述的“物体”，在量子论下，变成了叠加、干涉、纠缠和不可分割概率幅的集合。在经历量子化之后，物理客体本身，乃至其所有性质、演化规律都要被重新赋予量子属性。这种彻底的“物理客体量子化”才是量子力学最根本的方法，它要求我们“先量子化对象，再描述对象”——换句话说，先承认世界是“量子的”，然后再通过量子力学的数学工具去认识它。

3. 量子化的本质：波化、函数化、泛函化

量子化的本质，并不仅仅是给经典系统换一个数学表达方法，而是对物理世界结构的根本性重新认识。量子化的第一步就是“波化”：把我们曾经视作“固体颗粒”、“确定轨迹”的经典物体，全部提升为波的存在。这种“波”并非传统意义上的水波或声波，而是广义上的物质波——其数学本质是一种函数或数学对象，在空间和时间中按确定的规律演化。

形式上，量子化就是函数化。经典物理描述运动的对象是有限个数的变量（如粒子的位置 $x$、动量 $p$），每一时刻这些变量都有确定数值。而在量子理论中，每个粒子的状态要用一个函数描述（波函数 $\psi (x)$），标识在所有可能位置处“出现的概率幅”。一旦涉及场论，整个物理体系的状态则成为泛函（functional），即“定义在函数空间上的函数”，例如$\Psi [\varphi (\mathbf{r})]$，描述整个场的所有可能分布形式。

泛函化是量子化过程在多体系统和量子场论中的进一步推广。它意味着不仅单个粒子要用波描述，连场的每一个自由度都要一起“波动”起来，整个体系的量子态成为不可分割的整体，用函数的泛函来统一表达。

举些直观的例子：

• 在原子物理中，电子的轨道不再是一圈一圈的轨迹，而是一团由波函数描述的“概率云”。

• 在固体物理中，晶格中声子的激发就是整个晶格运动模式的叠加，每一种模式都是一个泛函空间的量子态。

• 在量子场论中，每一个“粒子”都是场的激发，每个激发对应一个“算符作用的结果”，这就是泛函量子化的本质体现。

量子化就是将一切经典物理客体用波、用函数、泛函来表示，使得物理体系不再是单个刚性的、由质点组成的实体，而是概率幅和相位在整个空间的分布。这套新的基础架构彻底不同于长期以来人类对“物体存在方式”和“因果律”的传统理解。