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[讨论，优先权] 上帝掷不掷骰子？量子力学的波函数与采样定理

已有 306 次阅读 2025-10-10 19:09 |个人分类:基础数学-逻辑-物理|系统分类:科研笔记

[讨论，优先权] 上帝掷不掷骰子？量子力学的波函数与采样定理

一、爱因斯坦1922年“新的数学语言”与采样定理

量子力学的哥本哈根诠释^[1,2]里，有“②互补性原理。物质具有波粒二象性，一个实验可以展现物质的粒子行为或波动行为，但二者不能同时出现。”

1922年底，爱因斯坦在日本发表《论理论物理学的现代危机》一文^[3]。他写到：“人们不止一次地提出过这样的意见，认为自然规律未必能用微分方程来描述。事实上，从量子论的观点来看，是否容许体系有这种状态呢?为了有可能回答这个问题,我们应当认为,体系运动的周期,全都只能按照量子规则形成。为了真正证明量子关系，显然需要新的数学语言。无论如何，用微分方程组和积分条件来记录自然规律，正如我们今天所做的那样，是同合理的想法矛盾的。理论物理学的基础重新受到震撼，实验要求我们能够在新的更高的水平上找到描述自然规律的方法。新思想要到什么时候才会出现呢?谁要是能够活到那个时候并且能够看到这一点，那该是多么幸福啊。”

采样定理是1928年由美国电信工程师奈奎斯特（Harry Nyquist, 1889-02-07～1976-04-04）首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫（Владимир Александрович Котельников, Vladimir Aleksandrovich Kotelnikov, 1908-09-06～2005-02-11）首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年香农将其明确说明并正式作为定理引用。^[4]

二、波函数与采样定理

1953年春天，费米说^[5]：

“There are two ways of doing calculations in theoretical physics”, he said. “One way, and this is the way I prefer, is to have a clear physical picture of the process that you are calculating. The other way is to have a precise and self-consistent mathematical formalism.”

“第一条，这一条也是我所喜欢的，是对你所计算的过程有一个清晰的物理图像。”

下面，本文尝试给出量子力学的“波函数”与采样定理之间的一个定性的“物理图像”。

（1）云室^[6]可以显示微观粒子的运动轨迹，这说明“物质的粒子行为”是一种客观存在，且具有连续性、确定性。特别是粒子在空间里自由地不受各种干扰（扰动）的运动。

（2）在局部空间内运动的粒子，如原子核外面的电子，在“超高速”时间观察（时域采样）下，可以观察到其连续性的、确定性的、粒子性的运动行为。

在“相对慢速”的宏观观察下，当采样的几何尺寸（观察的空间分辨率）明显小于电子的运动范围时，即满足空间上“采样定理”时，该电子的连续的确定性的运动，经过一段时间的观察（采样）后，可以用一个“空间的概率分布”来充分描述^[7]，即量子力学里的“波函数”对应的物理实质。

上面的空间上的“采样定理”，是说空间上采样（观察）的几何尺寸，要小于电子（粒子）运动轨迹对应空间曲率的一半以上。

（3）量子力学的哥本哈根诠释大约始于1927年，爱因斯坦“需要新的数学语言”发表于1922年，此时信号分析里的“采样定理”（1928-1933）尚未正式出现。而采样定理的广泛传播，则是1948年香农的“信息论”创立之后。

（4）原子半径的数量级为 10^-10米。所以，即使核外电子以很低的速度运动，在满足采样定理要求的空间采样下，也是一个十分理想的概率分布的数学结构。在当时，宏观的实体物理实验，很难发现这种数学结构（现有的量子力学）与实际的物理运动的差别。

换言之：当前精心设计实体的物理实验，专门寻找这类差别，极有可能是解决当年爱因斯坦、玻尔争论的重要实验基础。

（5）量子态的坍缩，应当与观察（特别是宏观观察）的具体细节有关。在不同的观察（采样）时间的区间内，观察或粒子间的具体的相互作用，与它们的连续性的、确定性的运动行为有直接的关系。这种极高时间分辨率下的确定性，在慢速的观察下（不同的观察次数下），会表现为不同的概率。即，同一波函数，会在不同的观察（相互作用）下，表现为不同的确定性（坍缩）^[8]。

三、小结

量子力学里的波函数，实质上是微观粒子“空间运动”在“相对慢速”的空间采样下的数学结构。这种数学结构，很自然地可以用概率的“统计定义”来描述，即“波函数”的数学实质。

亦即，波函数，是在相对慢的采样观察下，粒子在时间、空间上的“连续性的、粒子性的、确定性”的运动，在“一定时间区间”内观察时形成的“空间分布”。这种空间分布，就是粒子在该空间区域出现的概率，即数学里概率的“统计定义”。

参考文献 REFERENCES：

[1] 2025-06-12，量子力学诠释/interpretation of quantum mechanics/孙昌璞，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=215484&Type=bkzyb&SubID=146660

[2] Elizabeth Gibney. Physicists disagree wildly on what quantum mechanics says about reality, Nature survey shows [J]. 2025, 643: 1175-1179

doi: 10.1038/d41586-025-02342-y

https://www.nature.com/articles/d41586-025-02342-y

[3]许**、李宝恒、赵中立、范岱年编译. 爱因斯坦文集第一卷[M].北京：商务印书馆，1976-01，第 175-176 页

[4] 2023-04-06，采样定理/sampling theorem/杨述明，中国大百科全书

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=509900&Type=bkzyb&SubID=260688