【昨天赵老师命“谈谈丘成桐”，正好丘老师新写了一本The Shape of the Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions, Basic Books, 2010，讲他自己的发现，特别是Calabi-Yau空间和超弦理论。这儿选几段他谈“几何分析”的文字（原书第三章），这些自述文字也许能为当代数学史添加几分趣味。（随看随译的，省略号是删节的地方；一定有不少错误或疏忽，请批判。）】

 

 

尽管几何学历史悠久，成果辉煌，我们也别忘了它不是一成不变的，而是演进的，在不断地自我更新。其中，新近的一个变革已经在弦理论初露锋芒，它叫几何分析，是近几十年才大行其道的方法。大致说来，这方法的目标是，发挥数学分析（微积分的高等形式）方法的威力来认识几何现象，反过来也凭借几何的直觉来理解分析。这当然不会是几何的最后变革——像我们说的其他革命一样——几何分析已然取得了很多令人难忘的成功。

 

我本人从1969年进入这个领域的，那是在伯克利读研究生的第一学期。我想在圣诞假期读一本书，我没选什么Portnoy’s Complaint，The Godfather,，The Love Machine，或The Andromeda Strain——它们是当年的畅销书，而是找了本不太通俗的《莫尔斯理论》，是美国数学家Milnor的讲义。我特别感兴趣的是Milnor关于拓扑和曲率的章节，它发掘了局域曲率会极大影响几何和拓扑的思想。那是我一直探求的问题，因为曲面的局域曲率是通过曲面的导数来确定，这等于说它就是以分析为基础的。于是，曲率如何影响几何，就成了几何分析的核心问题。

 

那时候我没有办公室，几乎就住在伯克利的数学图书馆。有人说我刚到美国做的头一件事情就是去那个图书馆，而不像其他人那样去逛旧金山。四十年过去了，我自己都记不清做了什么，所以也没理由怀疑那个传说。我像往常一样，徜徉在图书馆，阅读能拿到的每一本杂志。寒假时，我在参考书部找书，偶然看见了Milnor1968年的一篇文章，那时还在读他那本讲义。文章提到Alexandre Preissman定理，又引起了我的兴趣。因为无事可做（很多人都出去度假了），我就想看看自己能不能试着证明Preissman定理的一些东西。Preissman考察了给定曲面上的两个非平凡圈A和B。圈就是一条曲线，从曲面某一点出发，以某种方式缠绕曲面，然后回到起点。“非平凡”是说那个圈不能在曲面上收缩到一点。 

 

我的定理比Preissman的更普遍些，它适用于曲率为非正（即可以为负，在某些地方也可以为零）的空间。为证明这种更一般的情形，我需要用群论，以前它与拓扑和微分几何还没发生联系。……我考虑的群（即大家知道的基本群）的元素由曲面上的圈组成，如前面提到的A圈和B圈。具有非平凡圈的空间，也有非平凡的基本群（反过来说，假如每个圈都能收缩到一点，我们就说空间有一个平凡的基本群。）我证明，如果两个元素是交换的，A× B = B ×A，那么在曲面内部必然存在一个低维的“子曲面”——特别是一个环面……

 

在我的定理（基于Preissman的工作）的情形，那两个圆由圈A和B代表。Preissman和我的工作都是技术性很强的，可能显得晦涩。但重要的是，我们两个的论证都说明了曲面的整体拓扑会如何影响它的整体几何，而不仅是局域的几何。之所以如此，是因为圈在这个例子中决定了基本群，而基本群是空间的整体而非局域的特征。为说明一个圈可以连续变形为另一个圈，我们必须在整个曲面上移动，这就使它成为空间的整体性质。实际上，这正是当今几何学的一个主要课题——探究给定的拓扑能支持什么类型的整体几何结构。

 

……我发现，答案可能就在我上的一门非线性偏微分方程的课程里。讲课的Charles Morrey教授给我留下了深刻印象。他的课，主题一点儿不新鲜，要求却很高，是从他本人写的一本教科书中选取的，根本就读不下去。不久以后，别人都逃课了，只有我一个人留下。很多同学都跑出去抗议轰炸柬埔寨。不过，Morrey还是坚持讲他的课，而且显然为备课付出了大量心血，即使课堂上只有一个学生。Morrey是偏微分方程的大师，他发展的技术十分深刻。坦白说，Morrey的课为我后来的数学生涯打下了良好的基础。

 

……几何也需要微分方程。我们用这种方程来度量物体的曲率及其变化方式。这使得几何也成为物理学的基本需求。举一个简单的例子：滚动的球是否加速——即速度是否随时间变化——完全取决于球的轨迹的曲率。因为这一点，曲率才与物理学那么密切相关；也因为这一点，几何——关于曲率的“空间的科学”——才会在那么多的物理学领域有用武之地。物理学的基本定律是局域的，意思是它们可以描述特殊区域（局域化）的行为，而不能同时描述不同地方的行为。即使对试图描述整个时空曲率的广义相对论，也是如此。毕竟，描述曲率的微分方程都是对单个点求导数。这就给物理学带来一个问题。“所以，你用局域的如曲率之类的信息去判断整个事物的结构，”洛杉矶加州大学的数学家Robert Greene说，“问题在于怎么做。”

 

……“曲率主宰拓扑”是我们几何学家信奉的基本口号，而我们借以实现那个目标的工具就是微分方程。几何分析——这是相对新近的发展，我们马上就会说它——将这一思想推得更远，但在几何里融入微分方程的一般方法已经发展几百年了，几乎可以追溯到微积分的起源。十八世纪的瑞士大数学家欧拉就是这个领域的最早开拓者之一。

 

欧拉的众多成就之一，就是将偏微分方程用于三维空间曲率的系统研究。200多年过去了，我们今天在很多方面都还沿着欧拉的脚步走。实际上，欧拉是第一个考察非线性方程的，而那些方程是今天几何分析的核心。非线性方程很难求解，部分是因为它们描述的情形太复杂。一方面，非线性系统本来就比线性系统更难预测——天气就是大家熟悉的例子——因为初始条件的细微变化可能导致迥然不同的结果。也许最有名的说法就是混沌理论的所谓蝴蝶效应，它梦幻地指出，蝴蝶在世界某个角落闪动一下翅膀，它产生的气流就可能令人惊愕地在其他地方引起一场龙卷风。

 

……用线性的数学来逼近非线性的世界，是普遍的做法，不过，它当然改变不了世界的本质是非线性的事实。为了真正认识它的意义，我们需要融通几何与非线性方程的技术。那就是我们所说的几何分析，这种方法有助于弦理论，也将有助于新近的数学。我不想让人觉得几何分析始于1970年代，当时我在这个方法上耗费了很大心力。在数学中，没有谁能说他从零开始启动了什么事情。几何分析的思想，从某种意义说要回溯到十九世纪法国数学家庞加勒的工作，而他又是站在黎曼和其他前辈们的基础上。我的很多前辈数学家又接着做出了关键性的贡献，所以到我入场时，非线性分析领域差不多已经瓜熟蒂落了。

 

二维非线性偏微分方程（这里指我们所说的椭圆型方程）理论已经由Morrey, Aleksei Pogorelov等人建立起来了。1950年代，Ennio De Giorgi 和 John Nash为解决更高维（实际上是任意维）的这类方程铺平了道路。后来，如Morrey和Louis Nirenberg等人，在高维理论又取得了新进展，这就是说，我走进这个领域，赶上了好时候，正好用这些技术区解决几何问题。虽然我和我的同事们在1970年代用的那种方法不算崭新的，但我们的重点不同。对Morrey那种兴趣的人来说，偏微分方程本身就是基本的——研究它是因为它美妙，而不因为它是某个目的的工具。他对几何发生兴趣，也主要是把它看成有趣的微分方程的源泉，他也这样看某些物理领域。尽管我们都对这些方程的威力感到敬畏，我们的目标却几乎是相反的。我不想从几何汲取非线性方程，而是想用这些方程来解决以前束手无策的几何问题。

 

直到1970年代，多数几何学家都一直回避非线性方程，但我们一帮年轻人可不想被吓倒。我们下决心学会所有的东西，掌握那些方程，然后以系统的方式发挥它们的作用。我可以说，也许听起来不那么谦虚，我们的计划成功了，远远超出了我原来的想象。这些年来，我们设法通过几何分析解决了很多其他方法无能为力的重大问题。帝国学院的数学家Simon Donaldson指出，“几何与[偏微分方程]理论的结合，为过去四分之一世纪的一大片领域定了基调。”那么，我们在几何分析里做了什么呢？从我能想到的一个最简单例子说起。假设你画一个圆，然后拿它与周长略小的任意一个圈或闭合曲线比较——它可以是你不小心丢在桌上的一根橡皮圈儿。两个圈显然不同，形状也不同。但你可以想象橡皮圈能很容易地变形（或拉伸）成一个圆——而且可以与你画的那个圆一样。很多办法都能做到这一点。问题在于，什么办法最好？有没有一个办法，始终那么好，使曲线不会在变形过程中扭曲或打结？你能找到一个系统的方法，无需反复试验，就能让不规则曲线变成圆吗？

 

 

当然，困难在于找到正确的微分方程。实际上，有时甚至需要确定是否存在满足任务的方程。（幸运的是，Morrey等人已经建立了分析这些方程的工具——那些工具能告诉我们求解的问题是否有解；如果有，那么解是否唯一。）我刚才讲的那类问题属于所谓几何流的一大类问题。这类问题曾用于解决世纪难题庞加勒猜想（本章后面讲），所以受到了极大的关注。但我要强调的是，这类问题只不过是我们现在所说的几何分析领域的一小块，整个领域的应用范围要广阔得多。俗话说，只要手拿锤子，眼里就尽是钉子了。基本的思路是，找到适合特定攻击路线的那些已经得到了最好研究的问题。我们能用几何分析解决的一类重要问题，是那些涉及极小曲面的问题。这些问题都是钉子，而几何分析有时就是那把完美的锤子。