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经典电磁理论的“美人痣” 精选

已有 6575 次阅读 2023-7-12 17:01 |系统分类:科普集锦

电磁场是一种物质,不是鬼。作为一种物质,电磁场当然有能量,而根据狭义相对论,电磁场能量也对应一个质量,这种质量称为电磁质量。静止的带电粒子周围有静电场,这个静电场是带电粒子随身而在的、脱不掉的内衣。所以,任何带电粒子的总质量中都必然有一部分来自于这种天生静电场的电磁质量。本文讨论电磁系统的“电磁质量”概念,电磁质量是经典电磁理论的一颗“美人痣”,或者说是小小的一个遗憾之处。历史上曾经有许多著名学者尝试修补这颗“痣”,然而这些努力无一例外还都只是一种说法。本文作者找到一种很简单粗暴的做法,为读者简洁快速地展示这颗美人痣因何而来;这是本文的核心内容。

 

在开始之前,本文作者关于电磁质量举一个实例:原子核质量。原子核内的质子之间存在很强的静电相互作用,利用简单(而事实上又很接近真实)的电场分布假设,这部分能量是很容易计算出来的。计算原子核总质量时,必须考虑这部分静电场能量对应的质量。这是电磁能量对于系统总质量有重要贡献的一个绝好的实例。所以,讨论电磁质量是有现实意义的。

 

不过,本文毕竟讨论的还是一个具体物理问题,所以里面会涉及一些细节略有技术含量,非物理专业的读者朋友可以暂时略去这部分,而直接跳到本文后面的讨论和结论部分(十分抱歉)。

 

本文在两个不同惯性参考系下考察同一个电磁系统,在一个参照系中电磁系统是静止的,这个参考系标记为 Sigma’;  Sigma’ 参考系相对于另一个参考系 Sigma以速度 v 沿着的x 轴匀速直线运动。参考系 Sigma 称为实验室惯性系,而参考系 Sigma’ 称为运动惯性系。这一点与传统电动力学的教科书标记是一致的。显然,在Sigma’ 参考系内只有静电场。为了方便而且不失一般性,

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这里 d tau’ = dx’ dy’ dz’ 为 Sigma’ 参考系的体积微元。我们把Sigma’参考系内电磁能量对应的电磁质量标记为M0. 下面我们看实验室参考系内的电磁场能量。                                               

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这里我做一个说明。关于电场能量计算过程中的第二个等号右边利用了洛伦兹收缩,x 方向的长度出现了一个1/gamma 因子,第四个等号利用了前面提到的Sigma’ 参考系内静电场能量的球对称性等式;关于磁场部分能量计算中,theta 角度是径向与x 轴的夹角;在该式的第四个等号同样利用了洛伦兹收缩概念。这个计算应该是很简单的吧。


现在我们在Sigma 惯性参考系内求总的电磁场能量,得到在实验室惯性系内的电磁质量M1,  

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按照狭义相对论的运动学关系,M1 = gamma m0. 但是这里额外出现了一个因子(即上面括号里的那个数,多了一个 beta 平方/3 !这说明电磁质量有了理论上的麻烦!也就是小品里的那句流行语:摊上事儿了!

 

类似地,电磁场动量也遇到麻烦。在运动惯性系Sigma’ 中只有静电场,磁场为零,因此电磁场动量等于零。而在实验室惯性系Sigma中,既有电场又有磁场,电磁场分布如下:

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在这个示意图中,电场强度是沿着径向的(假定正电荷),磁感应强度的分布为上部朝向纸外、下部朝向纸内,即图中的点和叉所示。

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对上式积分得到系统总的电磁动量和对应的电磁质量M2,

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这里的M2 不等于gamma m0, 而是(4 gamma m0 /3), 比狭义相对论中运动惯性系中的质量多了一个因子 (4/3),因此在理论上也摊上事儿了。这个结果和前文讨论的运动质量M1 中多出来的因子就是著名的电磁质量疑难;关于这个疑难,相关的物理学家们早在100多年前就已经心知肚明了。

 

   作为补充,这里我简单叙述一下在其他教科书上关于这个问题是怎么解说的。这些教科中,先把电磁场动量流-动量-能量密度张量写出来,然后利用张量协变性对应的变换规律,从Sigma’ 参照系的电磁场能量密度-动量密度求出Sigma 惯性系的动量流-动量-能量密度张量,然后分别积分。这种做法有国内教科书有两本教材,一本是邓稼先(两弹元勋) 著的《邓稼先学术讲义I-电动力学》重拍本,北京大学出版社(2014),page 152-160,这本书讲得比较细致。另一本书是蔡圣善等编著的《电动力学》第二步,高等教育出版社 (2002年), page 397-399, 该教材中解说了一个数学推演的大致步骤,节奏比较快;该书里有简单的讨论(page 399-400), 解释了一种可能性[引入所谓庞加莱应力张量而修补这个疑难]。著名教材费曼物理学讲义第28章第1-3节专门讨论如何引入电磁质量疑难。费曼是一位大家,对于物理学概念理解得很透彻,解说也十分精妙;在这里他可能懒得讨论那么多的细节,于是只讨论了一个带电的导体球壳这样简单系统,并且主要是讨论非相对论情况;对于相对论情况他简单地说,严格的相对论情况需要复杂一点,需要再加上一个gamma;不过,客观地说,费曼先生的那种做法不如本文提出的这种做法简单直接、更具有普遍性。

从这些讨论知道,本文作者引入的这种解说方式是最简单直接、粗暴而很干净的做法,作为教学内容具有较大的推广意义,可供教师们参考、供物理学同学们阅读。

 

下面本文作者说一下这个疑难的现状。对于电动力学基础内容的细节不感兴趣的读者朋友们可以直接跳到这里。这个疑难一旦被认知,立即受到许多学者关注和研究,包括庞加莱、玻恩、费曼、狄拉克等,这方面有许多参考文献,近年知名学者David J. Griffiths在美国物理杂志(American Journal of Physics)有二个综述文章;而这类文章在美国物理杂志里还有多篇。过去这方面文章曾在主流期刊如 Physical Review D 甚至 Reviews of Modern Physics 上出现过,但是近四十年来似乎没有人再玩下去了。为什么呢?依照本文作者与朋友们的讨论,回答这个问题需要引入一些额外的假设,把一个疑难变成另外一个我们不知道的假设,这些假设没有办法证伪或证实,所以这种讨论暂时就没有多大意义了。

不管怎样,经典的电磁理论存在不太小的不自洽!对于这种不自洽其实我们至今没有好的答案;有些场论专家告诉本文作者,量子场论中可以关于这个疑难提供自洽的讨论,不过那些自洽的讨论依然是模型理论。可见,在十分传统的电磁理论基础部分依然存在没有解决好的理论问题。在一般课程教学中,绝大多数人都习惯于明确解说某些理论什么地方如何如何取得了“巨大成功”;而在经典电动力学的教学中,告知学生电磁理论还有一个小小的美人痣、对于这个美人痣现在还不知道如何医治,或许也是很有意义的。本文提供了一个十分简洁的方式把这个疑难问题说清楚,供读者们参考。


 为了使读者对这个问题加深印象,我们用费曼那种风趣的语言说明这一点:“这座大厦尽管在解释那么多现象方面那么美妙和成功,但是最终不得不脸朝下倒了下去。… … 你可能意识到,由于量子力学效应经典物理失败了。经典力学是数学上协调一致的理论,它只是与经验不符合而已。然而很有趣的是电磁学经典理论就其本身而言已经是一种不能令人满意的理论。有一些困难与麦克斯韦理论的概念联系在一起,这些困难并不是量子力学所能解决或者与之直接关联的… … 当电动力学被结合到量子力学时,那些困难却依旧存在”(摘自费曼书, 第28章的导言)。电磁理论作为物理学中最美妙的理论体系至今依然有小的缺憾,如本文作者一样这些讲授这门理论多年的教师们多少有一点儿尴尬。

 

以下是本文作者随想的,属于民科级别的探讨,供读者朋友们批评指正。我们讲理论联系实际,把以上的那种疑难在实验里检验一下不就可以了吗?!实验上可以检查一下到底会不会出现这种毛病吧。本文作者认为有两种可能。

 

本文作者认为这个实验可能不容易开展。例如以电子为例,电子的质量很小,电子在静止的时候是一个非常大的波包,因此它的电磁质量理论值是很小的;即使有这种理论不协调,在实验上也可能不易观测到;其他粒子如原子核也有类似情况。这是本文作者说的第一种可能; 不过这种可能性略小。

 

第二种可能是实验上没有这种差异。现代的加速器技术已经很强大,控制粒子的运动当然需要对炮弹的质量、动量的计算十分精准,因此这种电磁质量相关的非协变性可能在实验中反映不出来!因为本文作者从来没有听说过加速器设计中有人抱怨过这些疑难带来的困扰;要是真的有困扰,早就有人吵吵得不行了,因为修改电动力学的某些基础概念那得是多么大的功劳呀!麦克斯韦方程组当然是正确的,不过可能是我们定义电磁质量和电磁动量时有一些瑕疵不知道如何修补而已。这种可能性很大。



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