相对论---破解一道小学数学题

鲍海飞 2013-1-7

昨天中午吃饭，同事说要考考我，就给我出一道小学数学题，并且说，有一个小学生将这道老师给出的题目带回了家，让父母做，父母都是大学生，结果父母二人惊得发呆。二人无奈将题目带到单位，请单位的三十几位大学生帮助解题，结果，无数英雄竟折腰，估计这就是网络流传，戏言而已。这道题目大意是：一列队伍长一百米，向前行驶，队伍中最后一个人（二者均为匀速），以较快的速度沿着同样的方向前进，当这个人走到队伍的最前头的时候，返回身来再往回走，一直走到队伍的最后，这时，整列队伍恰好向前行走了100米。提问：单独的这个人走了多少路程？

解法(1)-经典解法

我首先规规矩矩地画出了行程示意图，如下所示。

然后按照图示列出时间为衡量的两个方程式：

其中，O代表起点，终点是E。S0是队伍的长度，S0=100米；Va是队伍行进的速度，V0是单独这个个人行进的速度；经过t时间后，这个个人和队伍同时到达M点，此时，队伍行进距离为Sa，而个人行进的距离是S0+Sa。在M点处，这个个人回头行进，而队伍继续前进，于是可以列出两个方程式。

(S0+Sa)/V0=Sa/Va  (1)

第一段为同方向行进的时间，方程左侧是个人用时间；右侧是队伍行进的时间；

(S0-Sa)/Va=Sa/V0  (2)

第二段为个人反方向行进的时间，方程左侧是队伍继续前进的时间，右侧为个人返回行走的时间；

将(2)中解出Va, Va=(S0-Sa)V0/Sa,并将其代入(1),

得到：(S0+Sa)/V0=Sa*Sa/[(S0-Sa)*V0]

化简，于是得到：S0*S0=2Sa*Sa,

代入数据：Sa/S0=100/√2（根号下2）

即这个人走的距离是

S=S0+2Sa=100(1+√2)。

或者可以直接列出个人与队伍行进走的距离和时间的关系，

(S0+2Sa)/V0=S0/Va (3)

但是也需要(2)式来代入解决。

解法（2）-高级解法

后来，我的同事给出的另一个算法，很牛，用上了相对论。

S0/Va=S0/(V0+Va)+S0/(V0-Va) (4)

在队伍前进距离S0的时间为：t=S0/Va。

当个人与队伍同方向行进时需要的时间是右端第一项，而第二项是相对行进时花费的时间。

由于二者都是匀速运动，而且个人的速度要快，所以假定：

V0=nVa  (5)

n是二者的速度比。

然后将(5)代入(4)就可以解一个二阶方程，

n*n-2*n-1=0  (6)

解得：n=1+√2     负的根舍弃掉。

即：V0=（1+√2）Va

最后：S=V0*S0/Va=100*（1+√2）

据说，有人问出题的老师，为什么给学生出这样的题目，学生不会做怎么办？老师说，没关系，让他们锻炼一下思维也是好的，大意如此。

前一段时间，有人建议，让小学生学习一些什么量子论、相对论，看样子，这个主意不赖。我看再提前学习一下什么一元、二元无理、有理方程，现在看来也是太有必要了。