“分形”并不是一个陌生的观念，很多年前它着实火了一把。当时，人们把这个时髦的新观念引入到各自的领域，发了一大堆paper。然后，时髦的劲头过了，大家又发现“时髦”的东西好像“华而不实”：除了发paper，好像没有什么实际的用处。最后，各回各家，分形的研究又回归平静：真正喜欢它的人还在研究，追求“时髦”的人另寻它路。这样其实挺好的，太“热”的研究往往容易产生泡沫，就好像金融市场一样。所以巴菲特才说：“只有等到海潮退去才能知道谁在裸泳”。现在，分形的海潮早已褪去，曾经的研究者们早已物是人非，浪花淘尽，却少有风流人物。

分形的研究源于Mandelbrot于1967年在Science上的一篇论文[1]，这篇论文非常简单，简单得以至于任何领域的人都可以follow。笔者认为这是“分形”能火的一个重要因素。Mandelbrot在论文[1]中提出一种测量不规则曲线长度的新方法，并且发现这种曲线的维度可以是一个大于1的分数。分形图像的分数维度由此而来。后来进入的大量研究者，将此方法用于测量各种不规则图形的长度、面积、体积，并确定这些图形相应的维度，从而发表了大量的论文。但是，当时的分形研究[1]也有一个致命的缺陷，那就是所谓的“分数维度”只是一个数学观念：尽管人们可以确定各式各样图形的分数维度，但是这又有何用？如果无法回答这个问题，分形的研究必将进入一个瓶颈。这个瓶颈来的很快，笔者是2004年进入分形这个研究领域的，甚至没有能够赶上分形浪潮的末班车。

当然，与其他研究者的目的可能不太一样，笔者研究分形，是为了理解“大自然为什么会产生量子力学？”。这是笔者喜欢分形的源动力所在。

笔者当时在想：既然1维的曲线会有微积分（牛顿-莱布尼兹微积分），那么0.9维的曲线会有微积分吗？

十年后，笔者得到了一个自己认为满意的答案：分形微积分（fractal calculus）。

1. 非定域距离

笔者研究这个问题的出发点很简单：一个整体与局部相互关联的分形曲线的长度用什么样的度量（measure）来测度？欧式度量和Hausdorff度量可以吗？

对此，咱们不妨来检查一下Koch曲线（见图1），它是一条维度为D=1.26左右的分形曲线。

现在我们用欧式度量和Hausdorff度量来测量Koch曲线上x1和x2两点之间的距离：

显然，当D为分数的时候，度量（1）是Hausdorff度量，当D=1的时候，度量（1）就是欧式度量。

按照传统分形理论的观点，度量（1）测量Koch曲线的长度是可行的。但是，倘若深入一步思考，便会发现度量（1）测量Koch曲线的长度是有问题的。

那么，问题出在什么地方呢？

问题就在于Koch曲线整体与局部之间是自相似的（均为全等三角形）：x3、x4、x5、x6、x7、x8……这些点的位置变化均会改变x1和x2两点之间的距离（保证整体与局部的自相似性）。这是一种“非定域”的特征，本质上源于图形局部与整体的自相似关联。显然，度量（1）无法刻画这种“非定域”的性质。

正是因为欧式度量和Hausdorff度量均无法刻画分形的“自相似关联”，所以笔者尝试构造另一种距离来测度分形曲线的长度。这种新的距离需要在曲线维度D=1的时候退化为欧式度量。笔者的研究发现D阶差分可以满足这一距离要求（显然1阶差分就是欧式距离）。这样，分形曲线上的两点距离为[2]：

笔者称距离（2）为“非定域距离” [2]，以区别于欧式度量和Hausdorff度量。容易检查，当D=1时，距离（2）为普通欧式距离。

以Koch曲线为例（见图1），倘若用非定域距离（2）来测量x1和x2两点之间的距离，那么我们有：

从公式（3）可以看到非常震撼的一点：x3、x4、x5、x6、x7、x8……这些点的位置变化均会改变x1和x2两点之间的距离。只有当D=1时，这种性质才会消失。

非定域距离（2）是一种新的距离观念，它的非定域特征紧密的联系到量子力学的非定域性[2-3]。为了看到这一点，我们需要用非定域距离（2）来建立新的微积分理论——分形微积分。

2. 分形微积分

建立分形微积分的动机其实也很自然。牛顿-莱布尼兹微积分建立于x-y平面上，此时x轴和y轴均为1维直线，函数y=f(x)相当于把1维直线映射为1维曲线。由于x轴和y轴均为1维，所以可以利用欧式距离来建立牛顿-莱布尼兹微积分如下：

不难看出公式（4）的分子和分母都是欧式距离（2）。

笔者的工作不同于此，笔者考虑了更一般的情形：假如x轴是一条1.26维的Koch曲线怎么办？这时候公式（4）还有意义吗？

根据前面对Koch曲线上两点距离的讨论，我们知道公式（4）忽视了Koch曲线的自相似性。为了考虑到这一性质，必须使用笔者所建议的非定域距离（2）。

如此一来，x轴为分形曲线的微积分被建立如下 [2]：

其中 $l$ 是生成分形曲线x的特征参数。

笔者称以公式（5）为基础的微积分理论为“分形微积分”（fractal calculus）。它不同于众所周知的“分数阶微积分”（fractional calculus），但是我们可以利用“分数阶微积分”来计算各个函数的“分形微积分”。事实上，笔者的“分形导数”与莱布尼兹-黎曼-刘维尔的“分数阶导数”存在如下联系 [2]：

从公式（6）不难看出，当D=1时，笔者的分形导数（6）就是牛顿-莱布尼兹导数（4）。公式（5）的逆变换就是分形积分，它有许多良好的有趣性质，具体可见[2]。

到了这里，各位读者可能会问：笔者的分形微积分（5）有什么用呢？

事实上，笔者建议分形微积分（5）的主要目的是为了解释“为什么会有量子力学”。有趣的是，利用分形微积分（5）可以很自然的导出普朗克的能量子公式，并给出普朗克常数的具体表达式，具体可见论文[3]。

从本质上来看，笔者所建议的分形微积分公式（5）是非定域的，这从它的理论基础——非定域距离（2）可以很自然的看出。在笔者看来，定域描述总是存在缺陷的，能够完备描述物理实在的应该是非定域的描述，这也是笔者深入研究薛定谔方程的结构所得出的结论[4-5]。因此，相比于其它的量子力学形式，笔者更倾向于认为路径积分可能更接近量子力学的最终理论形式。

当然，笔者并不认为分形微积分仅仅只能用于解释“量子力学”的成因。在笔者看来，这种非定域的微积分理论可以用于大量的复杂系统，比如金融和经济系统[6-8]。

这方面的研究将在以后再作介绍。

当我们将牛顿-莱布尼兹微积分理论从整数维空间推广到分数维空间之后，传统的数学观念必将发生巨大的改变。这要求我们必须把笛卡尔坐标系的定义建立在一个更为广阔的视野之上。

也许这才是新的数学征程的开始。

参考文献

[1]. B. Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, Science, 156 (1967) 636-638

[2]. Y. Tao, The validity of dimensional regularization method on fractal spacetime, Journal of Applied Mathematics,Volume 2013 (2013), Article ID 308691, 9 pages  

[3]. Y. Tao, Testing for Wilson’squantum field theory in less than 4 dimensions, ScienceOpen Research(2015)

[4]. Y. Tao, Necessity of integral formalism, Commun. Theor. Phys. 56 (2011) 648–654  

[5]. Y. Tao, Sufficient Condition for Validity of Quantum Adiabatic Theorem, Commun. Theor. Phys. 57(2012)343–347  

[6]. Y. Tao, Competitive market for multiple firms and economic crisis, Physical Review E 82 (2010)036118    

[7]. Y. Tao, Universal Laws of Human Society’s Income Distribution, Physica A 435 (2015) 89-94  

[8].Y. Tao, Spontaneous economic order, Journal of Evolutionary Economics26 (2016) 467–500