收入不平等一直都是我主要的研究领域之一，从2010年在PRE发表第一篇这方面论文[1]算起，已经十四年过去。我的研究结果是经济社会的收入分布一般来说由两段构成，最富裕的3%左右的人口服从帕累托分布（幂函数），剩下90%的中、低收入人口服从指数分布。这个结果最早是由马里兰大学的物理学家Victor Yakovenko通过美国和英国的居民收入数据所揭示。

图1展示了中国、美国、英国、加拿大最近年份的居民收入数据[12]，都揭示了这一独特的两段收入结构。读者朋友可以很清晰的看到收入分布曲线尾部突然拐出，这就是著名的“长尾效应”，是帕累托分布的特征。

图1

我早期的工作主要是揭示两段收入结构中指数收入分布出现的原因，并对其进行了深入的研究[2-11]。不过，这样一个两段结构我并不满意，因为它将指数分布和帕累托分布很突兀的“硬凑”到了一起。

从2021年开始我开始注意到随机过程可以应用到收入分布的研究，并在国际经济学界形成了一个独特的分支。由于我本人是数学出身，所以自然而然就被随机过程的这个应用所吸引。经过多年的研究，经济学家们都知道帕累托分布的出现能够被几何布朗运动的随机过程所解释，这方面已经积累了大量的文献，方程（1）就是著名的几何布朗运动。

我进入这个领域的想法是希望找到一个随机过程，它不仅能够解释高收入段的帕累托分布，也能够自然的解释中、低收入段的指数分布。这就使我想到去推广几何布朗运动（1）。经过一段时间的探索，我发现了几何布朗运动在吉布拉定律下的推广[12]，并且这个推广可能是唯一的，这个推广就是下面的方程（2）。

我建议将方程（2）所描述的随机过程称为“广义几何布朗运动”。

由方程（2）所给出的收入分布函数就是著名的“广义帕累托分布”，见方程（3）。

广义帕累托分布（3）在其中一个参数趋于0的时候自然的分解为一个两段结构：尾部是帕累托分布，而剩下的中、低收入部分是指数分布，见方程（4）。

这样，我最终还是用一个连续的收入分布函数“广义帕累托分布”自然的解释了指数分布和帕累托分布的那种有些突兀的奇怪结合。

这个新的研究[12]我发表在一个开源的数学期刊AIMS Mathematics，感兴趣的朋友可以自由下载:

https://www.aimspress.com/article/doi/10.3934/math.2024730?viewType=HTML

这是我职业生涯中的第二篇数学论文，我也很高兴可以在随机分析领域发现一种独特的随机过程，即方程（2）。我觉得这种随机过程可能在其他领域也会有潜在应用，并不只局限在经济学领域，可能这也是数学的魅力之一吧。

参考文献：

[1]. Tao, Y. (2010): Competitive market for multiple firms and economic crisis. Physical Review E 82, 036118

[2]. Tao, Y. and Chen, X. (2012): Statistical Physics of Economic Systems: a Survey for Open Economies. Chinese Physics Letters 29, 058901

[3]. Tao, Y. (2015): Universal Laws of Human Society’s Income Distribution. Physica A 435, 89-94

[4]. Tao, Y. (2016): Spontaneous economic order. Journal of Evolutionary Economics 26, 467-500

[5]. Tao, Y. (2018): Swarm intelligence in humans: A perspective of emergent evolution. Physica A 502, 436-446

[6]. Tao, Y., Wu, X., Zhou, T., Yan, W., Huang, Y., Yu, H., Mondal, B., and Yakovenko, V. M. (2019): Exponential structure of income inequality: evidence from 67 countries. Journal of Economic Interaction and Coordination 14, 345-376

[7]. Tao, Y. (2020): Self-referential Boltzmann machine. Physica A 545, 123775

[8]. Tao, Y., Sornette, D., and Lin, L. (2021): Emerging social brain: a collective self-motivated Boltzmann machine. Chaos, Solitons & Fractals 143, 110543

[9]. Tao, Y. (2021): Life as a self-referential deep learning system: A quantum-like Boltzmann machine model. Biosystems 204, 104394

[10]. Tao, Y. (2021): Boltzmann-like income distribution in low and middle income classes: Evidence from the United Kingdom. Physica A 578, 126114

[11]. Tao, Y., Lin, L., Wang, H., Hou, C. (2023): Superlinear growth and the fossil fuel energy sustainability dilemma: Evidence from six continents. Structural Change and Economic Dynamics 66, 39-51

[12]. Tao, Y. (2024): Generalized Pareto Distribution and Income Inequality: An extension of Gibrat’s law. AIMS Mathematics 9, (2024) 15060-15075