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强收敛与弱收敛
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强收敛和弱收敛是泛函分析中的重要概念，二者之间的关系如何呢？这是个非常困难的问题。我们先叙述定义：
定义. 设$X$是赋范线性空间，$\{x_n\}\subset X$，$x_0\in X$。
（1）如果$\lim_{n\to \infty}\|x_n-x_0\|=0$，则称$\{x_n\}$强收敛于$x_0$；
（2）若对每个$f\in X^*$，$\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(x_0)$，则称$\{x_n\}$弱收敛于$x_0$。
强收敛可以推出弱收敛，这是很明显的。但反过来不对，可以举个例子：
例. 在Hilbert空间$l^2$中取点列$\{e_n\}$：$e_n=(0,\cdots,0,1,0,\cdots)$。由Riesz表示定理，对每个$f=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots)\in (l^2)^*=l^2$, $f(e_n)=\xi_n\to 0 (n\to\infty)$,即$\{e_n\}$弱收敛于$l^2$中零元$\theta$。同时，也很容易证明，$\{e_n\}$不强收敛于$\theta$。
在什么情况下弱收敛可以推出强收敛，这个问题并不清楚，恐怕也没有最终答案。众所周知，在有限维空间中，任何收敛性都是等价的。对于无穷维情形，现在知道一些特殊情况。比如，对$l^1$空间，有下述结论：
Schur定理. 在$l^1$空间中，强收敛与弱收敛等价。
从这个定理顺便得知，前边例子中的点列$\{e_n\}$在$l^1$中不是弱收敛的。同一个点列在$l^1$和$l^2$中性质不同，原因在于，$l^1$的共轭空间是$l^\infty$，而$l^\infty$中的元素$f=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots)$是有界数列，其一般项$\xi_n$不一定收敛于零。
Schur定理只涉及$l^1$空间，而做数学的人总希望尽可能得出更广泛的结论。于是便有了一些新的定理。
定理. 设内积空间$X$中的点列$\{x_n\}$弱收敛于$x_0\in X$。则$\{x_n\}$强收敛于$x_0$当且仅当数列$\{\|x_n\|\}$收敛于$\|x_0\|$。
在点列的范数容易计算或容易估计时，这个定理很有意义。该定理也可以推广到一致凸赋范线性空间：
定理. 设$X$是一致凸赋范线性空间，$X$中的点列$\{x_n\}$弱收敛于$x_0\in X$。则$\{x_n\}$强收敛于$x_0$当且仅当数列$\{\|x_n\|\}$收敛于$\|x_0\|$。
这个定理在非线性分析中最具代表性的用途是：验证Sobolev空间$W_0^{1,p}$上泛函的(PS)条件，即先证明点列弱收敛，再证明其范数构成的数列收敛，从而得到强收敛性。
另有一个著名的定理，在非线性分析中很重要，常常被用来寻找凸泛函的临界点。
Mazur定理. 设赋范线性空间$X$中的点列$\{x_n\}$弱收敛于$x_0\in X$。则存在$\{x_n\}$的元素的凸组合构成的点列$v_n$，使得$v_n$强收敛于$x_0$。
强收敛和弱收敛的关系，是一个很基础的问题。这个老问题现在还有没有人研究我不清楚，也不知道目前最新的结论，欢迎大家补充。
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