Zmn-1367 薛问天: 不应混淆【在求极限时自变量的取值范围】同决定定义域的【可允许的全部取值范围】。评师教民《1366》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1366》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

不应混淆【在求极限时自变量的取值范围】同决定定义域的

【可允许的全部取值范围】。评师教民《1366》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 1 ，我说的这段对高阶无穷小定义中的α≠0的要求的正确理解，非常明确：〖关于 α≠0 的要求，是指的当自变量Δx≠0 时，α(Δx)的应变量≠0．並不是要求函数的自变量不允许Δx=0．並没有要求和规定它的定义域是Δx≠0．〗 师先生说【薛问天先生的上述这段话，只是喊了几句口号，未敢说明【指的当自变量Δx≠0时，α(Δx)的应变量≠0】的理由；未敢说明【不是要求函数的自变量不允许Δx=0】的理由；未敢说明【没有要求和规定它的定义域是 Δx≠0】的理由．】

其实早在《zmn-1269 薛问天:正确理解有关高阶无穷小的数学定义》中已说得相当清楚。〖《高等数学》 教材在定义【高阶无穷小】 时是这样说的：

“ α 及 β 是在同一个自变量的变化过程中的无穷小， 且 α≠0， 而 lim 也是在这个变化过程中的极限． 定义： 如果 lim(β/α)= 0， 就说 β 是比α 高阶的无穷小， 记作 β=o(α)”． 问题是对定义中的要求【α≠0】 如何理解？ 如果无穷小α及β的自变量是Δx， 极限lim(β/α)= 0是Δx→0时的极限。 这个 【α≠0】 的要求是要求: ①对所有的Δx的值都要求有α(Δx)≠0， 还是 ②只要求对于Δx≠0的值使α(Δx)≠0即可， 允许α(0)=0。

我认为应是②。理由是，之所以要求α≠0是要求α不在分母中出现，但因Δx→0时β/α的极限，同Δx=0时α及β的函数值无关。 因而求当Δx→0 时lim(β/α)= 0的极限时， 如果α(0)=0， 对求此极限毫无影响 所以可以允许α(0)=0。 例如求函数y=x^2的导数时， 就承认β(Δx)=ΔxΔx是α(Δx)=Δx的高阶无穷小， 而对此α就有α(0)=0。〗

理由说得很清楚，〖理由是，之所以要求α≠0是要求α不在分母中出现，但因Δx→0时β/α的极限，同Δx=0时α及β的函数值无关。 因而求当Δx→0 时lim(β/α)= 0的极限时， 如果α(0)=0， 对求此极限毫无影响。〗

也就是函数求极限时，【未涉及】Δx=0的函数值，並不是要求函数【不允许】在Δx=0有函数值，错误地认为函数的定义域是Δx≠0 。这个理由在《1365》的标题【 薛问天: 只是【未涉及】並不是【不允许】，不能说定义域【就是】Δx≠0 。】中也说得如此清楚，还怎么说我【未敢说明理由】，【空喊口号，不说理由是 薛问天先生的一贯作风】？

要知道这次师先生所解释的理由犯有同样的错误！

师教民先生说【在上述同济名著中的高阶无穷小的定义里，首先规定了无穷小 α≠0，因此就规定了无穷小或函数 α(Δx)≠0，】

我在前面己说清，对α≠0的正确理解就是在自变量Δx≠0的情况下，函数值α(Δx)≠0。

师先生说【薛问天先生在 他的文章 Zmn-1269 中的开头举例说：α(Δx)=Δx，所以该例中 就规定了 Δx=α(Δx)≠0，即规定了 Δx≠0．】这里的含义仍然是很清楚的，当α(Δx)=Δx时，仍然满足在自变量Δx≠0的情况下，函数值α(Δx)=Δx≠0。

师先生接着说的话就是严重错误。他说【Δx≠0 说明 Δx 既是不等于 0 的全体实数，又是函数 β(Δx)/α(Δx) 的自变量，所以函数 β(Δx)/α(Δx) 的自变量的取值范围是≠0 的全体实数，函数自变量的取值范围叫做函数的定义域，所以函数 β(Δx)/α(Δx) 的定义域是≠0 的全体实数，简记作 Δx≠0．】

师的错误在于把求极跟的函数在自变量Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)的【在求极限时的自变量的取值范围】当作是函数f(Δx)【函数自变量的取值范围叫做函数的定义域】，所以得出错误的结论，认为求极跟的函数，在自变量Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)这个函数【的定义域是≠0 的全体实数，简记作 Δx≠0．】要知道求极限只是函数的部分性质和特征，函数f(Δx)【在求极限时的自变量的取值范围】並不是全部而只是部分【函数自变量的取值范围】。因而只能说【函数f(Δx)的定义域包括Δx≠0的全体实数】，而不能说【函数f(Δx)的定义域就是Δx≠0的全体实数】。因为叫做函数的定义域的只能是【函数自变量的可允许的全部最大的取值范围】，而不只是【求极限时，函数自变量的取值范围】。师先生的错误就发生在这里。

2 ，我说得很清楚：〖师先生的错误 在于逻辑的不严密性．在Δx≠0 的条件下 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx)只是说明了这个函数的自变量在 Δx≠0 时的情况，並没有说明这个 函数的自变量在Δx=0 时的情况．你根据什么说这个函数的【自变量 Δx 的取值范围是 Δx≠0 的全体实数】呢．〗

这就是师先生的错误所在。我在前面已说清楚师先生的错误在于他混淆了【函数在求极限时的自变量的取值范围】和叫做【函数的定义域】的【函数自变量的可允许的全部最大的取值范围】之间的区别。

师先生说【极限理论的同济名著在定义高阶无穷小变量时，首先就白纸黑字地规定了α≠0，否定了α=0．薛问天先生通过论述把α写成α(Δx)后，就规定了 α(Δx)=α≠0，否定了α(Δx)=0．】师先生首先要明确在这个定义中要求α≠0的正确理解是【我认为应是②。】即【只要求对于Δx≠0的值使α(Δx)≠0即可，】因而它所否定的是【对于Δx≠0的函数值，α(Δx)=0】。α≠0所否定的並不是【对于自变量Δx所有的值，函数值α(Δx)=0】。对于α(0)=0， 並未否定，因为如果α(0)=0， 对求此极限毫无影响。

师先生说【薛问天先生举了α(Δx)=Δx例子后，就规定了Δx=α(Δx)≠0，否定了 Δx=0．因此，同济名著论证的先后顺序、因果关系、逻辑规则是 α≠0→α(Δx)≠0→Δx≠0．】这个推论是完全错误的。在α(Δx)=Δx时，同样满足α≠0的要求，即【对于自变量Δx≠0的值，α(Δx)=Δx≠0。】由同济名著中推不出规定了函数α(Δx)的自变量不允许Δx=0。只是规定了【自变量Δx≠0时，α(Δx)的应变量≠0】。师先生说什么【就本末倒置了．所以，犯【逻辑的不严密性】错误的就是薛问天先生而非师先生了． 否定了Δx=0 就没有Δx=0 了，薛问天先生在没有Δx=0 的情况下承认并大谈【在 Δx=0 时的情况】就自己打了自己的脸． 】完全是一派胡言乱语。

之所以要求α≠0是要求α不在分母中出现，但因Δx→0时β/α的极限，同Δx=0时α及β的函数值无关。因而规定了【自变量Δx≠0时，α(Δx)的应变量≠0】。当然没有规定【当自变量Δx=0时，α(Δx)的应变量应当如何。】只是说明了这个函数的自变量在 Δx≠0 时的情况，並没有说明这个函数的自变量在Δx=0 时的情况．你根据什么说这个函数的【自变量 Δx 的取值范围是 Δx≠0 的全体实数】呢．这就是师先生所犯错误之所在。师先生把在求极限时【未涉及】即【並没有说明】这个函数的自变量【在 Δx=0 时的情况】，就错误地认为是函数的自变量【不允许】包含Δx=0了，就认为是别人【编造的】Δx=0 了。要知道【求极限时【未涉及】【未说明】的自变量Δx=0的情况，只要未规定【不允许Δx=0，】，Δx=0就完全可能出现在函数的定义域中，这同前面所说把函数求极限时【未涉及】的情况说成是函数【不允许Δx=0】，排斥在函数的定义域之外所犯的是同一错误。

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