山耕谭葛

葛文化·葛与勾股定理

葛生其下  缠木七周

葛生其下绕缠之

葛是蔓生植物，常常在野外看到葛藤绕缠在其它树木之上，故《诗经·国风·樛木》有“南有樛木，葛藟累之……南有樛木，葛藟萦之”的吟唱。搭杆引藤缠绕其上，也是葛根栽培中常用的技术，多见于种葛的田间地头。

笔者在阅读资料时无意间发现“二丈木长三尺围，葛生其下绕缠之”的诗句。后在初刻于康熙四十年（1701年）的《古今图书集成》卷一百二十四读到全文如下：

“歌：二丈木长三尺围，葛生其下绕缠之。徐徐缠绕七周遍，葛梢却与木梢齐。试问高明能算者，葛长多少请君题。

答曰：二丈九尺。

法曰：置木围三尺与周七相乘，得二十一为股。自乘得四百四十一尺，以木长二十足为句，自乘得四百尺，并之得八百四十一尺为实，用开平方法除之，得二丈九尺。”

    这显然是一道数学题，并且有答案和题解方法。作者巧妙地利用葛藤的缠绕特性，形象地诗话此数学题，不由得引起我的兴趣。

    我又在“识典古籍”的《算海说详》卷三见到下文：

“勾股求弦难题歌：二丈木长三尺围，葛生其下绕缠之，徐徐缠绕七周遍，葛稍却与木稍齐，试问先生能算者，葛长多少请君题。……得葛长二十九尺。”

原来这道葛藤题与我们小时候学习的勾股定理有关。

梅珏成与《葛藤缠木》算诗

有资料认为这首又名《葛藤缠木》的七言“算诗”，是梅珏成所作（待考）：“二丈木长三尺围，葛生其下缠绕之。徐徐缠绕七周遍，葛梢却与木梢齐。试问先生能算者，葛长多少请君题。”

梅珏成（1681～1763年）是清代天文学家、数学家，字玉汝，号循斋、柳下居士。他出身于天文数学世家，自幼受家庭熏陶，专注天文与数理研究，很早便成为祖父梅文鼎的助手。他参与编撰了《律历渊源》一百卷，在编撰过程中发挥了重要作用，其中的《数理精蕴》是我国首部综合性初等数学书，涵盖古代中国与西方的数学知识，对传播科学知识发挥了重要作用。

刘徽与《九章算术注》

又有资料溯源，称这首“算诗”脱胎于算学书《九章算术》的相关内容。《九章算术》约成书于东汉之初，作者不详，内容十分丰富。全书采用问题集的形式，收录有与生产、生活实践有联系的246个数学问题，分为九章，每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明）。

《九章算术》有多种版本，如西汉早期丞相张苍（公元前256-前152年）、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。其中刘徽在曹魏景元四年的《九章算术注》一书最为有名。

刘徽（约225年～约295年）是魏晋期间的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。2021年5月，国际天文学联合会（IAU）批准了中国的“嫦娥五号”降落地点附近月球地貌的命名，“刘徽（liuhui）”为八个地貌地名之一。 2024年12月，经国际天文学联合会批准，由中国科学院紫金山天文台发现、国际编号为361712号的小行星被命名为“刘徽星”，以表达对中国魏晋时期数学家刘徽及其代表的中国数学的崇高敬意。

现将刘徽注的全文摘录如下：（见《九章算术》卷九，算经十书之二）

“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐。问：葛长几何？

答曰：二丈九尺。

术曰：以七周乘三围为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。据围广、木长，求葛之长。其形葛卷里袤，以笔管青线宛转，有似葛之缠木。解而观之，则每周之间自有相间成句、股、弦，则其间木长为股，围之为句，葛长为弦。弦七周乘三围，是并合众句以为一句，则句长而股短。故术以木长谓之句、围之谓之股言之。倒互句与股求弦，亦如前图。句三自乘为朱幂，股四自乘为青幂，合朱、青二十五为弦五自乘幂。出上第一图，句股幂合为弦幂明矣。然二幂之数，谓倒在于弦幂之中而已，可更相里者，则成方幂，其居表者，则成矩幂。二表里形讹而数均。又按：此图，句幂之矩，青卷白表，是其幂以股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方其里。股幂之矩，青卷白表，是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里。是故差之与并，用除之，短长互相乘也。”

注：“句”在此处为“勾”的异体字。

“葛生其下”的解题之一

这道数学题有多种解法，下面是其中之一。

《九章算术》原文：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？”

“算诗”原文：“二丈木长三尺围，葛生其下缠绕之。徐徐缠绕七周遍，葛梢却与木梢齐。试问先生能算者，葛长多少请君题。”

本题大意是：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛藤生长在木下的A点，绕木7周，葛梢与木头上端B点刚好齐平，问葛的长度是多少？

注：1丈等于10尺，葛藤缠木以最短的路径向上长，误差忽略不计。 

这道题的实质是立体图形（上图左）求最短路径，可以展开成为平面内的方法解决（上图右），展开后转化成为了一个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理便可求出。

解题：如图，一条直角边（即木的高a）长20尺，另一条直角边（7周展开b）长7×3 = 21（尺），由勾股定理（a² + b² = c²），得20² + 21² = 841 = 29²（尺）。

因此葛藤长（c）为29尺。 

本题的另外一种解法（见上图），也用上了勾股定理，得到相同答案：29尺（2丈9尺）。

葛生其下，缠木七周

（左图为粉葛藤缠绕在竹竿上，摄于2025年；

中图为葛麻姆藤缠绕在竹竿上，引自胡继丹，2024年；

右图为野葛藤缠绕在松树上，摄于2025年）

刘徽与《九章算术注》原序

刘徽的《九章算术注》卷九

参考文献

胡继丹. 航天诱变葛麻姆 SP1代群体遗传变异分析[D]. 南昌：江西中医药大学, 2024.

中南民族大学数字人文资源研究中心等，知识图谱，https://cnkgraph.com/Book

北京大学字节跳动数字人文开放实验室. 识典古籍，https://www.shidianguji.com

（汉）张苍等编撰，邹涌译解. 九章算术[M]. 重庆：重庆出版社，2022.