Zmn-1328-上 薛问天: 错误在于没有完全弄懂β(Δx)=o[α(Δx)]的真正含义。评师教民《1326》

【编者按。下面是薛问天先生的文章上，是对师教民先生的《Zmn-1326》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

错误在于没有完全弄懂β(Δx)=o[α(Δx)]的

真正含义。评师教民《1326》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，不要再狡辩了。

你没有承认错误是不对的，你必须承认这是你犯的错误，要知道这是事实。你认为薛问天先生没有对你的《1284》发表评论，而事实上这是你师教民没有看评论，犯的错误。薛问天事实上是在你的《1284》文后发布了【评论】的。

师教民狡辩说【.......你说你有短文用跟帖发表的习惯，可是你又不告诉我，我 又怎么能知道呢？所以，我说你不敢回复我的《1284》是再正常 不过的事情了．】，显然是毫无道理的。什么是文后的【跟帖】。科学网写得很清楚是【评论】。任何人在科学网博文上发表文章，都要㸔看别人对他的文章有何评论。你不看评论，怎么能知道你不敢回复我的《1284》】。网页上清清楚楚告诉你:【评论(1个评论)】，文清慧写得很清楚【转薛问天先生的评语】，你怎么能说【又不告诉我】。不看评论而错误地认为别人没有评论当然是【疏忽】或者【无知】所犯的错误。还奇怪地追问什么【评论我的论文《1284》时采用跟帖的形式的理由和原因】。科学网写得很清楚，文后的跟帖就是【评论】。我为什么不能用跟帖发表评论。发表评论采用什么形式都是【评论】，没有必要还要说明评论采用形式的原因和理由。

师教民先生的这种反复地狡辩是毫无意义的。你必须承认这是你犯的错误，要知道这是辩驳不倒的事实。

2，关于“允许还是不允许 Δx=0”的问题．

关于“允许还是不允许 Δx=0”的问题．要搞清楚，我说的是对某相关的函数 f (Δx)是否允许在Δx=0 的点有函数值 f (0)的问题，

1)，师先生说【薛问天先生与我讨论的是：极限理论中的函数 f (x)的微分定义的前提式Δy=AΔx+o(Δx)里的Δx，也是极限理论中高阶无穷小的定义里的Δx．可是，薛问天先生突然放弃了他与我讨论的Δx，而去讨论函数 f (Δx)里的Δx，大谈 f (Δx) 的Δx，这是 什么原因？又有什么理由？尽管你找不到原因、说不明理由，我都不要求你回答了，因为你放弃应该讨论的Δx，而去讨论不该讨论的Δx，】

要知道讨论【微分定义的前提式Δy=AΔx+o(Δx)里的Δx，也是极限理论中高阶无穷小的定义里的Δx．】是否允许Δx=0，就是讨论前提式Δy=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o(Δx)里的高阶无穷小的定义 β(Δx)=o(Δx)中这个无穷小函数 β(Δx)的Δx．是否允许Δx=0的问题。所以不是【放棄】而是【大谈】函数β(Δx)中Δx，是否允许Δx=0的问题。当然这里的【大谈 f (Δx) 的Δx】，讨论的相关函数f(Δx)指的是函数β(Δx)。说函数β(Δx)【允许Δx=0】指的是允许函数β(Δx)在Δx=0点有函数值β(0)。因为前提式是否允许Δx=0，就等价于其中函数β(Δx)是否允许Δx=0。

2)，师先生说【极限的定义式 0<|Δx-0|<δ 就规定了 Δx≠0，所以在求极限时就绝对不允许 Δx=0．薛问天先生说允许 Δx=0 而只是 未涉及Δx=0，就违反极限的定义式 0<|Δx-0|<δ 了，就错误了．】

这是师先生的严重认识错误。要知道【薛问天先生说允许 Δx=0 】指的是函数f(Δx)允许Δx=0，即允许函数f(Δx)在Δx=0点有函数值，对极限的定义要全面理解，定义式 0<|Δx-0|<δ 规定了 Δx≠0，要求的只是在Δx≠0 时，|f(Δx)-A|≤ε，所以未涉及Δx=0 点 f (Δx)的函数值，並不是指不允许 Δx=0 点 f (Δx)有函数值f (0)。所以允许函数f(Δx)在Δx=0点有函数值，並不违犯在Δx≠0 时，|f(Δx)-A|≤ε的规定。说【薛问天允许Δx=0】【违犯了极限的定义式】是错误的。

3)，师先生说【我说的内容是：〖在求极限中：任何函数、在任何情况下都不允许Δx=0，允许Δx=0 的函数在求极限中也不允许Δx=0〗。】要知道师先生没说清楚，他说的【在任何情况下】是什么意思。任何情况包括不包括Δx=0的情况？如果这里的任何情况不包括Δx=0的情况，那就很明确，不允许Δx=0说的是求极限不涉及Δx=0的情况。说的是极限是函数在Δx≠0时的性质，【求极限时不允许Δx=0】说的是在Δx≠0时不允许Δx=0。当然允许Δx=0 时的函数仍然有值。

如果这里的【任何情况】包括Δx=0的情况，则含义就大不相同。说【在Δx=0时函数f(Δx)不允许Δx=0】当然说的就是Δx=0 时的函数f(Δx)没有函数值。尽菅师先生说他【唯独 没有说过【函数 f (Δx)绝对不允许Δx=0】】，但是如集他说的【任何函数、在任何情况下都不允许Δx=0，】如果这里的【任何情况】包括Δx=0的情况，则等于他说了前面这句话。

当然这里需要师先生对他说的【任何函数、在任何情况下都不允许Δx=0，】的含义给以具体的澄清。

对【在求极限中不允许Δx=0】这句话的含义究竟应如何正确理解，师先生认为同我没有【达到共识】。师先生说【我从来就没有说过：〖指的是在求极限时不涉及函数在 Δx=0 点的值．並不是求极限的函数不允许 在Δx=0 的点有函数值．〗】

【从来没有说过】是同意还是反对。同意就是共识，没有共识那是否意味师先生反对这个理解？难道师先生真的认为【在求极限中不允许Δx=0】指的就是【求极限的函数不允许 在Δx=0 的点有函数值】！

4)，师先生说【薛问天先生与我讨论的Δx，是极限理论中高阶无穷小定义里的这一种 Δx，只是薛问天先生上述的不允许Δx=0 的第二种函数 的情况中的Δx，这个Δx 要求我们必须排除第一种情况，所以薛问天先生说的【师先生认为没有第一种情况是不对的】就错误了．】

说明师先生的逻辑是混乱的。我们讨论的高阶无穷小定义中求极限的函数只是在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。当Δx=0时此函数f(Δx)完全可以不是β(Δx)/α(Δx)。因而涉及的函数f(Δx)完全可能不是第二种间断函数，这里的f(Δx)可能是连续函数，或第一种间断函数，允许在Δx=0时f(Δx)有函数值。不能把f(Δx)是连续函数和第一种间断函数的情况排除在外。怎么能【只是薛问天先生上述的不允许Δx=0 的第二种函数 的情况中的Δx，这个Δx 要求我们必须排除第一种情况，】这种说法是错误的。

还要注意一点， 我们说的是f(Δx)可能不是第二种间断函数，也没有排除f(Δx)是第二种间断函数的情况。既使f(Δx)在Δx=0点没有函数值它同α(Δx)点有值，α(0)=0也无任何矛盾。

另外师先生所说的【没有第一种情况】是在否定问断函数中【第一种间断函数】的存在，是概念上的错误，同这个问题没有逻辑关系。

5)，师先生说【【高阶无穷小的定义】中不只是有函数 β(Δx) 和α(Δx)，而且也有分数函数 β(Δx) /α(Δx) 和极限 lim [Δx→0](β(Δx)/α(Δx))以及α(Δx)≠0 的规定．其中的分数函数就是在 α(Δx)=0 处的间断函数（因为分数函数 β(Δx) /α(Δx)在α(Δx)=0 处无定义，所以这个函数在 α(Δx)=0 处间断）】。

这是师先生的严重认识错误。在定义中要求极限lim [Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0，並没有规定这个极限珍对的一定是师先生所说的【分数函数β(Δx)/α(Δx)】(师先生所说的分数函数在Δx=0 时仍等于β(Δx) /α(Δx)，所以当α(0)=0时是函数值在Δx=0处无定义的第二类间断函数。)

要知道，对任何一个这样的函数f(Δx)，只要在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx)/α(Δx)。当Δx=0时此函数f(Δx)可以是，也可以不是β(Δx)/α(Δx)，而是定义为其它任何数。珍对这样的函数f(Δx)(可能是连续函数，第一类或第二类间断函数)，lim[Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0就是极限lim [Δx→0](f(Δx))=0，完全适用定义中的要求。

关于这个道理我已说得相当清楚，极限lim [Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0〖求极限时不允许 Δx=0 的含义就是指这里只涉及求极限的函数f 在Δx≠0 时 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx)．在Δx=0 时 f (Δx)等于什么並未涉及和规定．〗师先生不懂这个道理，硬说在Δx=0时求极限的函数没有定义，硬说【函数 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx) 的定义域就是Δx≠0】，说什么【你薛问天先生放弃应该讨论的正题Δx，而去讨论离正题十万八千里的Δx，】这是毫无道理的。lim [Δx→0](β(Δx)/α(Δx))=0，这里说明的只是求极限的函数在Δx≠0 时 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx)．在Δx=0 时 f (Δx)等于什么並未涉及和规定。因而完全可以允许等于其它任何值。所以说放弃的应该是师先生所说的【分数函数β(Δx)/α(Δx)】，讨论的正题才是在Δx=0 时允许等于其它任何值的这样的函数f(Δx)。

请注意，尽管【不允许Δx=0】同【只涉及Δx≠0】是有区别的说法，但要具体分析，搞清它说的含义指是什么。我们所说的【求极限时不允许Δx=0】指的就是要求丨f(x)-A丨<ε的f(Δx)不允许Δx=0，即求极限只涉及该函数在Δx≠0点的情况。绝不是指求极限的【函数f(Δx)不允许Δx=0】，不是函数f(Δx)不允许在Δx=0点有函数值。

待续

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