Zmn-1325 薛问天: 关于【允许Δx=0】的正确表述，兼评师教民《1324》等文。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，兼对师教民先生的《Zmn-1324》等文进行评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关于【允许Δx=0】的正确表述

兼评师教民《1324》等文

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

我们《专栏》讨论的目的並不是为了得出谁正确谁错误，而是在讨论学问，搞清楚在学问上什么是正确什么是错误，怎样的表述是正硝的，怎样的表述是错误的。只有把什么是正确和错误搞清楚，谁对谁错就自然清楚了。

讨论是否【允许Δx=0】，【不允许Δx=0】，一定要说清它的含义是什么意思。特别地要明确，我们说对某函数【允许Δx=0】，是指允许此函数在Δx=0点有函数值。

一，对于原始的Δx的概念，当然【允许Δx=0】。

原始的Δx，是指变量x的增量。对于实数变量的函数y=f(x)。假设它在x0点的某邻域(x0-δ，x0+δ)中有定义。Δx指变量x的增量Δx=x-x0，对于函数f，在x的增量Δx下，变量y的增量指Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=φ(Δx)，它是变量Δx的函数。对于函数Δy=φ(Δx)，显然【允许Δx=0】，即允许在Δx=0时函数Δy=φ(Δx)有值，它的值明显等于0，即Δy=φ(0)=f(x0+0)-f(x0)=0。

二，关于高阶无穷小β=o(α)的定义中，对要求α≠0的理解。

在高阶无穷小β=o(α)的定义中，当β和α的自变量是Δx，而且是Δx→0时的无穷小时，β(Δx)=o(α(Δx))。定义中要求α≠0，只是要求α在Δx≠0时α(Δx)≠0，並没有要求函数α(Δx)【不允许Δx=0】，因而对于函数α(Δx)允许Δx=0，即α(0)可以有值，甚至当Δx=0时α(0)=0，也不违犯α≠0的要求。因为定义中只是要求α在Δx≠0时α(Δx)≠0。

关于这点，我己在《1280》中讲得相当清楚，是关于对极限的理解。在高阶无穷小的定义中之所以要求α≠0，是因为要求当Δx→0时，β/α→0。这里的分母不能为0。要知道在求极限时不涉及Δx=0。即在只要满足当Δx≠0时α(Δx)≠0，求极限时就不会出现分母为0的情况。因而只要要求Δx≠0时α(Δx)≠0，就完全满足要求。α(0)可以允许有值，甚至当Δx=0时α(0)=0，也不违犯求出极限的要求。

因而当β(Δx)是α(Δx)的高阶无穷小β(Δx)=o(α(Δx))，对于函数β和α，都是【允许Δx=0】的。就是允许在Δx=0点，函数β和α有函数值β(0)和α(0)。

注意在高阶无穷小的定义中，说β是比α高阶的无穷小，通常也说β是α的高阶无穷小，省略这个【比】字，没有任何问题不会引起混乱，因为【高】字就有【比较高】的意思，没有【比】字但有【高】字，仍是【高阶】的意思，【高阶】无穷小不会误解为属于【同阶】无穷小。例如说学生A【是】学生B的高年级同学，自然学生A的班级的级别【比】学生B的班级的级别高。虽然没有说【比】字，但【高年级同学】绝不会理解为【同等年级的同学】。

三，关于可微的条件式。

极限理论中说函数f(x)在x点可微的条件是 Δy=AΔx+o(Δx)。首先对此式要有正确的理解。要注意Δy是Δx的函数Δy=φ(Δx)，只不过可微时要求此函数Δy=φ(Δx)=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o(Δx)。即Δy=φ(Δx)由两部分函数组成，第一部分函数是线性函数AΔx，第二部分函数是β(Δx)=o(Δx)。

对这个第二部分的函数β(Δx)=o(Δx)，要根据高阶无穷小的定义正确理解，这里的β(Δx)=o(Δx)表示：无穷小β(Δx)是比无穷小α(Δx)=Δx高级的无穷小。请注意β(Δx)=o(Δx)，式左端和右端中的Δx虽然是同一个Δx，但是它们的含义和作用完全不同，β(Δx)中的Δx表示的是无穷小函数表示中的自变量。但o(Δx)中的Δx表示的是无穷小α(Δx)=Δx。只不过这个特别的无穷小的函数是a=1，b=0的线性函数α(Δx)=aΔx+b=Δx（恒等函数），这个Δx指的是函数而不是自变量。只不过这个函数即它的的因变量等于自变量Δx而已。

因而这个第二部分的函数β(Δx)=o(Δx)，也是【允许Δx=0】的，即在Δx=0时它的函数值等于β(0)。从而微分的条件式Δy=AΔx+o(Δx)也是【允许Δx=0】的，即在Δx=0时∴它的函数值等于Δy=A*0+β(0)。由于知此时Δy=0，可知β(0)=0。

注意这里的第二部分的函数β(Δx)=o(Δx)，在Δx=0时它的函数值只能写成等于β(0)。在Δx=0时β(Δx)=o(Δx)的函数值不能写成o(0)。因为o不是函数符号。o(0)另有含义，它指的是比无穷小α(Δx)=0(常函数0)高阶的无穷小。这种高阶无穷小並不存在，因为无穷小α(Δx)=0(常函数0)不满足高阶无穷小定义中α≠0的要求，α≠0要求在Δx≠0时α(Δx)≠0，常函数0显然满足不了这个要求。常函数0在Δx≠0时α(Δx)的函数值=0。既然o(0)另有含义，在Δx=0时β(Δx)=o(Δx)的函数值β(0)不能写成o(0)。所以在数学上不能由β(Δx)=o(Δx)推出β(0)=o(0)。自然不能由o(0)的不存在来否定β(0)的存在。作出这样的推论和否定都是严重的错误。

既然微分的条件式Δy=AΔx+o(Δx)是【允许Δx=0】的，即在Δx=0时它的函数值Δy=A*0+β(o)有明确定义。因而把函数的微分定义为Δy的主要线性部分的dy=AΔx，dx=Δx並没有要求【不允许Δx=0】，所以也是【允许Δx=0】的。即当Δx=0时，dy=0，dx=0。

四，当Δx→0时f(Δx)→A的函数求极限时的【不允许Δx=0】的意思，是前面提到【求极限时不涉及Δx=0】，並不是指求极限的函数f(Δx)【不允许Δx=0】。求极限的函数仍然是【允许Δx=0】。

我们所说的求极限时【不涉及Δx=0】的含义是这样的。关于在函数求极限时，所说的是【绝对不允许 Δx=0】指的是在求极限时不涉及函数在Δx=0点的函数值。並不是指求极限的函数f(Δx))不允许在Δx=0的点有函数值。对求极限的函数没有这个规定。即说求极限时不允许Δx=0，指的是求极限时【不涉及Δx=0】点的函数f(Δx)的值。並不是指函数f(Δx)【不允许Δx=0】，不允许【函数f(Δx)在Δx=0的点有函数值】。求极限时【不涉及Δx=0】是因为极限的定义说的很清楚。当Δx→0时f(Δx)→A的定义就是对任何ε>0，存在δ>0，当0<|Δx-0|<δ时，|f(Δx)-A|<ε。这里在求极限时要求丨f(Δx)-A丨<ε中的f(Δx)，明确要求是当0<|Δx-0|<δ时的f(Δx)。也就是说，要求的只是在Δx≠0时，|f(Δx)-A|<ε，所以未涉及Δx=0点f(Δx)的函数值f(0)。

也就是说这里的函数求极限时的【不允许Δx=0】的意思，是求极限时【不涉及Δx=0】，並不是指求极限的函数f(Δx)【不允许Δx=0】。求极限的函数仍然是【允许Δx=0】。

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