5.正确理解功的定义.docx

正确理解功的定义

摘要：分析了功的三种定义本质上是一致的，关键在于如何理解力的作用点的问题.一个物体可以看做刚体是可以认为是质点的必要条件，单个力的功不具有伽利略变换的不变性，一对作用力和反作用力的功具有伽利略变换的不变性.

关键词：功的定义；力的作用点；弹簧振子；势能定义；刚体

中图分类号：O 313.1   文献标识码：A

1.正确理解物体、刚体和质点之间的关系

在物理学研究中，为了解决主要矛盾，常常忽略掉“原型”的一些与研究没有直接关系的、非主要的因素，从而把“原型”抽象为一种理想的东西，这种东西就称为“理想模型”.例如：在任何情况下形状大小都不发生变化的力学研究对象被定义为“刚体”.刚体的“原型”就是各种坚硬的固体.然而，实际的固体在外力作用下，其形状和大小一点都不发生变化是不可能的，但当这种变化与物体几何线度相比很小，对所讨论的问题的影响可以忽略时，我们就可以把该固体当成“刚体”来处理.可见“理想模型”的建立也不是随心所欲的——首先，必须要有与“理想模型”高度近似的“原型”；其次，要对“原型”的各种因素加以科学甄别，筛选掉那些可以忽略的因素；然后，才能把这些“原型”抽象为“理想模型”.刚体是实际物体（固体）理想化的一种模型，其上任意两个质点之间的距离都保持不变.在所研究的问题里，如果某个物体的形状变化和质量变化都可忽略不计，则它就可以当做刚体，因此刚体忽略其内部粒子内能的变化，只具有平动动能、转动动能和宏观势能.平动刚体的动能等于其质心的动能，定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半，刚体平面运动的动能等于其随同质心运动的动能与绕过质心的轴转动的动能之和.

由于质点忽略其内部粒子内能，因此存在质点的动能定理（合力在一个过程中对物体所做的功等于物体在这个过程中动能的变化.）和质点系动能定理(合外力和内力对于质点系的功等于质点系动能的变化)，而刚体绕定轴转动的动能定理为合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.一个物体可以看做刚体是可以认为是质点的必要条件，一个刚体如果不考虑转动、形状和大小、内部粒子能量等物理量的变化影响时才可以视为质点.质量力是对于质点而言的，体积力是对于刚体而言的，它们都是保守力.

2.功的定义三种表述之间的关系

中国科学院院士、理论物理学家郝柏林（1934—2018）说：“简单性一向是现代自然科学、特别是物理学的一条指导原则.许多科学家相信自然界的基本规律是简单的.爱因斯坦曾是这种观点的突出代表.”爱因斯坦说：“理论家的方法，在于应用那些作为基础的普遍假设或者‘原理’，从而导出结论.他的工作于是可分为两部分：他必须首先发现原理，然后从这些原理推导出结论.”他还说：“科学必须建立各种经验事实之间的联系，这种联系使我们能够根据那些已经经验到的事实去预见以后发生的事实.……我们在寻求一个能把观察到的事实联结在一起的思想体系，它将具有最大可能的简单性.我们所谓的简单性，并不是指学生在精通这种体系时产生的困难最小，而是指这体系所包含的彼此独立的假设或公理最少.”假设、原理或公理所指的都是一回事，即都是指物理学理论体系演绎推导的出发点.而假设或公理最少的物理学理论体系，是只用一条假设或公理构建起来的新物理学理论体系.但是，什么是爱因斯坦相对论理论的出发点——假设、原理或公理？《辞海》：“相对论　——关于物质运动与时间空间关系的理论.是现代物理学的理论基础之一.相对论［理论］分为两部分：（1）狭义相对论（1905年建立）.基本假设是：1．相对性原理，即在任何惯性系中，自然规律都相同.2．光速不变原理，即在任何惯性系中，真空中光速都相同.（2）广义相对论（1916年建立）.基本假设是：1．广义相对性原理，即自然定律在任何参考系中都具有相同的数学形式.2．等效原理，即在一个小体积范围内的万有引力和某一加速系统中的惯性力相互等效.”又：“相对论宇宙学——建立在爱因斯坦广义相对论基础上的宇宙学理论.”所以爱因斯坦的相对论理论，背离了他的理论体系简单性原理说，其多个彼此独立的基本假设显然不是物理学统一基础假设.“物理学统一基础的建立”，即可由变革爱因斯坦相对论理论的假设、原理或公理入手.这种变革的方式应该是以物质实践观察到的事实为根据给出新相对论——相对性论理论体系的唯一的一个出发点——假设、原理或公理：“宇宙只有一个”，以取代爱因斯坦相对论理论的4个原理，从而建立起理论初始假设或公理最少的新相对论——相对性论宇宙物理学理论.

力学中功的定义曾经有三种说法——质点的位移与力的标量积、力的作用点的位移与力的标量积、物体所受的力与物体位移的数量积.如果考虑到力的作用点必须具有质量，质点的位移与力的标量积、力的作用点的位移与力的标量积是一致的，文献[1～10]也认可“功是质点位移与力的标量积”.

质点的动能定理是在物体可当做质点的条件下推出的，对于不能当做质点的物体，它一般不适用.如果说功是物体所受的力与物体位移的数量积，此时物体应该可以视为质点才行，例如将弹簧一端抵在墙上，另一端施力压缩，因弹簧各部分的位移不一致，“物体位移”不确切，原因在于此时弹簧不能视为质点，不过此时也可以认为“功是质点受到的外力和质点位移的数量积”，外力对于弹簧的接触点（质点）做功，这个质点再对相邻的质点做功.此时外力的功不等于弹簧动能的增量，因为此时弹簧不能视为质点，外力的功等于弹簧机械能改变量( 忽略阻力).该例中既无物体整个的位移，各质点的位移也不相同，而用作用点的位移则一目了然.

力对质点组（弹簧或者刚体）做功是对于接触点（质点）做功，这个接触点再对相邻的质点做功.注意这里只是一个等价处理结果，本质上功是力与质点位移的数量积，只不过由于内力参与了做功得出一个等价结论而已.根据这一观点可以得出力矩做功的定义：W=                                               ，本质上也是对于质点的功，这是一个宏观效应.

文献[11]提出了不同情况下可以是质点的位移、物体的位移、作用点的位移是错误的，文献[12]的错误在于搞错了力的作用点，绳子的质量忽略，绳子的拉力应该作用在圆盘上，此时圆盘可以视为一个刚体，不能视为一个质点.文献[4]的观点是正确的.爱因斯坦讲过：“科学没有永远的理论.从希腊哲学到现代物理学的整个科学史不断有人力图把极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本观念和关系.这就是整个自然哲学的基本原理.”

3.功的伽利略变换问题

功是力与质点位移的标量积W=，根据伽利略变换s=s₀+ut，因此功不是伽利略变换的不变量，一个力在惯性系A不做功，在惯性系B可能做功，这应该是一个力学常识.W=，也是真实的功.功是一个过程量，但是与观察者有关.在惯性系B里的观察者测量的质点位移无法区分也没有必要区分是s₀还是ut.文献[13]认为“约束力在一个惯性系不做功，在另一个惯性系也不做功”是完全错误的，应该是“约束力在所有的惯性系都不改变质点的机械能，但可以同时改变质点的动能和势能.”坐标系是建立在参照系上的，不能说参照系是具体的，坐标系是抽象的，二者是联系在一起的.文献[14]也有类似的错误，例如该文得出一个质点的在地面系的动能为E_k=m，在小车系的动能为E^′_k=mv²+mu²，显然是错误的，例如一个质点在光滑水平面上做匀速圆周运动，在相对于地面匀速运动的小车系看来质点的速率不断变化，动能也是不断变化的，根据动能定理可以得知在地面系约束力不做功，在小车系约束力做功，否则可以得出动能定理不满足力学相对性原理的谬误.文献[15]认为流体的侧压力在静止系不做功，在运动系也不做功，错误与此类似.一对作用力与反作用力做功之和具有伽利略变换的不变性，这个问题很多文献都有证明，本文不再赘述.

4.准确理解弹簧振子问题中的做功问题

力的大小、方向和作用点是力的三要素，但是必须本质地看待力的作用点问题，根据牛顿第二定律力必须作用在有质量的点上，因此在研究弹簧振子和单摆问题时必须注意这个问题.在弹簧振子中不能考虑弹簧质量（如果考虑弹簧质量，这种弹簧振子不是理想的振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系，当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式，实际上处理这类问题的方法有很多种，像四阶龙格——库塔法、瑞利法、传递矩阵法、求解波动方程法、试探法求解微分方程、机械能守恒近似法、迭代法等等，弹簧质量还是对弹簧振子的振动系统有一定的影响，而作为弹簧系统振动周期的一级近似，可以将弹簧质量的三分之一有效质量加到振子的质量上去，从而将弹簧质量为、振子质量为的实际弹簧振动系统等效看作是一个具有质量为^[16]的理想质量的弹簧振动系统，弹簧系统的振动周期为：，此时在静止系测量到系统的机械能为，m₀为弹簧的质量.不少文章不取0.346而取1/3作为一级近似，此时按照弹簧的质量均匀分布，事实上在运动过程中不可能均匀分布，而且需要考虑机械波的能量.），因此弹力的作用点是质点，而不是轻质弹簧.

文献[17]给出势能的一般定义——由于质点受到有势力具有的能量叫做势能，势能的定义式为dEp=（-f）dr（与F=等价）.

势能是用质点受到保守力的功定义的，势能属于质点，有人担心势能为何不影响质量，其实动能对于质量的影响在经典力学中也是忽略的.当考虑弹簧质量时，可以宏观考虑为若干个受弹力作用的质点，必须研究弹簧的动能了，此时保守力对其做功，同时改变弹簧的动能和势能.对具有质量且满足胡克定律的理想弹簧而言，因为当弹簧发生形变x时，外界对其做功W=kx²，此时弹簧的机械能为E =kx²，而非仅仅是势能，弹簧完全静止时可以认为势能为E =kx²，而且不是对于所有的参照系成立，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为0时，势能零点而且必须选在平衡位置，其他情况不成立.对于没有质量的弹簧根本没有势能而言，外力无法对其做功，此时质点的弹性势能为E =kx²，不是对于所有的参照系成立，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为0时，势能零点而且必须选在平衡位置，其他情况不成立.

势能不能直接对外做功，只有转化为动能才能对外做功.现在不少大中学教材甚至高考都提轻质弹簧的弹性势能，这是不严密的，建议教材一定说明.爱因斯坦认为：“我们关于物理实在的观念决不会是最终的.为了以逻辑上最完善的方式来正确地处理所感觉到的事实，我们必须经常准备改变这些观念——也就是说，准备改变物理学的公理基础.然而为了科学，就必须反反复复地批判这些基本概念，以免我们会不自觉地受它们支配.在传统的基本概念的贯彻使用碰到难以解决的矛盾而引起了观念的发展的那些情况下，这就变得特别明显.”

在弹簧振子中不少人错误地认为弹力的作用点在弹簧，才导致了这个问题争论了40多年^[18～^29]，弹簧振子类似于重力场，我们把地球对于重力场的作用力和重力场对于质点的作用力看做一个力计算，单摆问题中我们也不把悬挂点对于摆线的作用力和摆线对于摆锤的作用力看做两个力，因为摆线也不考虑质量.弹簧振子和单摆类似于质点(有质量无体积)是理想化模型，不存在所谓的实体模型，因为没有质量我们无法制作弹簧和摆线，这是为了研究问题的需要，抓住主要矛盾，忽略次要因素造成的.在某种意义上可以认为轻质弹簧和重力场、引力场一样可以传递力，因为它们也不考虑质量问题.

弹簧振子不是质点+实物弹簧，而是质点受到线性回复力，在水平面上受稳定约束的弹簧振子运动模型，实质上是一个与距离r成正比有心力作用下质点的运动问题^[30].现在不少教材没有注意强调这个问题，甚至研究弹簧具有质量的弹簧振子问题，有人误认为是弹簧具有质量，不考虑质量，但是具有弹力和内部结构，内部的力与墙壁的作用力相平衡，显然是错误的，没有质量哪来的内部？墙壁的作用力和内力除非始终是平衡力，否则加速度会出现无穷大，即使是平衡力各点都匀速运动，这显然不符合现实.在弹簧振子问题中约束反力和保守力是同一个力，类似于匀速圆周运动中约束反力和保守力是同一个力.不具有质量的弹簧问题称为谐振子，是质点动力学问题，可以在大中学教材中提出，弹簧具有质量可以供专家们研究.物理学家B.霍夫曼（Banesh Hoffmann）所言：“爱因斯坦的方法，虽然以渊博的物理学知识为基础，但在本质上，是美学的、直觉的.⋯⋯我们可以说，他是科学家，更是个科学的艺术家.”

参考文献：

[1]蔡伯濂.关于讲授功和能的几个问题[J]．工科物理教学，1981(1)：7～13．

[2]石东平.论功定义中的位移.重庆师专学报，1986年第2期：75～76.

[3]陆全民.关于功的定义问题.上海工程技术大学教育研究，2007（3）：46-47.

[4]孙后勤.物体的位移还是力作用点的位移——对功的定义中位移的理解.物理教学探讨，2011年第4期（上半月）：35～36.

[5]赵坚.如何正确理解功的定义中的位移“s”.物理教师，2010（1）：40～41.

[6]张瑶.对功的再认识.物理教学探讨，第33卷总第479期，2015（5）：47～48,51.

[7]张辉鹏.探究功定义式中位移的确切含义[J].物理教学，2012,34（5）：20～28.

[8]胡双根，刘燕.关于公式W=F.s中s物理意义的理解[J].物理通报，2013（6）：104～106.

[9]朱建廉. W=Fscosα中的“s”究竟应如何理解[J].物理通报，1996（9）：13～14.

[10]石东平.再谈“功”定义式中的位移[J].中学物理教学参考，1996（7）：12～13.

[12]马瑞芝.物体的位移与作用点的位移两个概念的区别.物理通报，1965（10）：469～471.

[13]刘明成，刘文芳，赵文桐.对“重力机械能守恒定律在各惯性系”的修正.物理通报，2017(12):111～113.

[14]李兴毅，陈健，赵佩章，赵文桐.伽利略变换的物理意义.河南师范大学学报（自然科学版），2002（2）：39～42.

[15]许忠诚.伯努力方程的使用条件.河池师专学报，1987年第一期（理总第五期）：37～41.

[16]陈美华，蒋毅.弹簧振子计及弹簧质量的误差分析.嘉应学院学报（自然科学版），2006（12）:27～30.

[17]李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04（下）：237～238.

[18]郑金.对一道物理竞赛题的两种互异解答的探讨.物理通报，2015（7）：109～112.

[19]高炳坤.力学中一个令人费解的问题[J].大学物理.1995（5）：20～24.

[20]朱如曾.弹簧振子相对于运动惯性系的机械能不守恒——关于‘对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷’的商榷[J]．物理通报，2015(4)：100～103．

[21]郑永令.力学[M]（第二版）．高等教育出版社，2002年：194．

[22]史玉昌.势能和机械能守恒定律[J]．大学物理，1988(7)：16～17．

[23]郑金.对一道物理竞赛题的两种互异解答的探讨[J]．物理通报，2015(7)：109～112．

[24]冉婷，余杰，兰小刚.惯性参照系的选择与机械能守恒.物理教学探讨，2017(9)：38～39.

[25]杨习志，赵坚.关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨.物理教师，第41卷第5期，2020（5）：65～67，72.

[26]赵坚.关于与机械能守恒相关的一些问题的探讨.物理教师，第40卷第5期，2019（5）：62～65.

[27]赵凯华.澄清对相对论性原理和协变性的误解.大学物理，2020年1月，12～13.

[28]朱如曾.力场与时间有关系统的功能定理及其应用.大学物理，2016（10）：11～16.

[29]叶邦角.机械能守恒定律协变性疑难讲义[J].中国科学技术大学物理学院《力学》教学组教学研讨会，2020.