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柯西-古萨积分基本定理与保守力定义 

摘要：首先回顾了复变函数中柯西-古萨积分基本定理，然后证明了稳定场都是保守力场，最后从留数定理推出了安培环路定理.

关键词：柯西-古萨积分基本定理；安培环路定理；保守力；稳定场；留数；留数定理

 1.柯西-古萨积分基本定理

数学是物理学的语言，是物理学的工具，也是物理学的目的(之一).华东师大朱鈜雄教授说得好：“与欧几里得几何学的‘公理’不同的是，与几何学相比，物理学有着附加的约束：它必须与真实世界相符.”理论物理学家在某种意义讲也是数学家，但由于他们思维导向是物理模型和物理实验结果（观察大自然得到的信息），数学（理论）模型往往是他们理论工具和思想表达方式，当有的“工具”使用不合适时，他们也会打开数学的另一扇门,开辟数学的一个新天地.爱因斯坦曾经提出过一个好奇的问题:“数学作为人类思维的产物，为什么能够如此完美地符合物理世界的现象？”

柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论的基本定理和公式，留数定理是复积分和复级数理论相结合的产物.

定理1：（柯西-古萨积分基本定理）设函数                                               在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则.

如果函数在的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理                 ，其中C为邻域内的任意一条简单闭合曲线.

杨振宁讲：“柯西积分定理是一个古怪的方程，积分转一圈，如果圈内没有奇点，积分结果等于零.这个定理的发现者一定觉得这个结论妙不可言；我想任何一个人真正懂了这个定理以后，都会觉得惊讶，这真是美妙极了.第一个发现这个公式的人一定激动并惊讶不已，因为这个结论太美妙了.按照复变函数理论，一个复变函数，如果是解析的，即在区域内连续可导，借助格林公式，则柯西积分定理是轻易可以导出的必然结果：.”.

2.留数（残数）的定义、留数定理

柯西积分公式：若函数在闭围道的内部及其上是解析的，又若是内部的点，则：.

但是如果是的一个孤立奇点，且周线C 全在的某个去心邻域内，并包围点，则积分的值，一般说来不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它的值来＝.我们把（留下的）这个积分值除以2ｉ后所得的数为在的留数,记作Res，即Res=，从而有Res=，此处的是函数通过洛朗级数展开的第负一次项系数.

定义1： 设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域内解析，则积分为f(z)在点a的留数或者残数（residue）,记为Resf(z).

定理2（留数定理）：f(z)在周线或复周线C所范围的区域D内，除外解析，在闭域上除外连续，则（“大范围”积分）

证明：以为心，充分小的正数为半径画圆周线，使这些圆周及其内部均含于D，并且彼此互相隔离（如图1.1）。应用复周线的柯西积分定理得：

图1

利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数.

定理3：如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么在所有各奇点（包括点）的留数的总和必等于零.

对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理解析函数沿内部有有限个极点的闭曲线的复积分问题，对于积分区线上有极点的情况没有提及．

当被积函数满足一定的条件，即区域D 的境界线为C，函数 在D 内解析且在C 上连续并满足Hölder 条件: ，(0＜1 ) ，其中K 、 都是实常数，、为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分的“积分主值”的计算公式: .鉴于留数定理和柯西公式之间的关系，可以将积分曲线上有限个极点的情况推广到留数定理上． 函数 在闭曲线 所围的区域上除具有有限个奇点外是解析的，此时，留数定理的结论可改写为 

经过这样的推广后，直接可以用到积分区间上有极点的实变函数无穷积分上，无需针对实轴上的极点取辅助曲线，使得这类积分的求解过程得以简化．

3.稳定场都是保守力场

普朗克曾说,“在科学史中,一个新概念从来都不会是一开头就以其完整的最后形式出现.”

如果对于力F可以表示为空间的函数，即F=F（r）,那么力场F称为稳定场.保守力是指在物理系统中，力所做的功与路径无关，仅取决于起始和终止位置的力，保守力沿任意闭合路径所做的功为零.

定义2：对于力F=F（r，t），如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0，那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场.

定理4：稳定场都是保守力场

证明：对于一元实变量函数，只要是连续函数，就是单连通区域，因此环路积分为0.下面换一个角度分析，由于在力学和物理学中对于稳定场F=F(r)而言，F=F(r)都是连续函数，因此黎曼可积，假设U(r)=F(r)，质点从A点沿任意路径从A点到B点，再从B点到A点环绕一周，力F对该质点所做的功为

∮F(r).dr=+=U(B)－U(A)+ U(A)－U(B)=0，因此稳定场都是保守力场.

对于非稳定场环路积分留数（残数）一般不等于0，可以把保守力定义简化为：只与空间位置有关的力.由于重力、浮力^[1～11]、静摩擦力^[12]、匀速圆周运动的向心力^[13]、理想单摆摆线拉力^[14]、弹簧弹力^[15～16]、万有引力^[17]、光滑斜面的支持力^[18～19]、惯性力、静电场等都是稳定场，因此这些力都是保守力.

根据dEp=（-f）dr（与F=等价）可以得出只要力场是空间坐标的函数（稳定场），此力一定是保守力，耗散力和显含时间的力不是空间坐标的函数，是非保守力.势能显含时间的充要条件是力场显含时间.

反之如果力场显含时间，就不再是单连通区域，一般情况下环路积分不等于0，就不是保守力场了，动电场、磁场是非保守力场.

在物理学史上,对同一物理问题的认识,由于客观事物的复杂性,看问题的角度不同等因素,研究者们往往因存在多种不同的看法而发生争论，这些争论促进了物理学的发展.广义能量守恒要求的不显含时间和拉氏量不与时间有关是完全不同的.能量守恒往往是普遍的，因为拉氏量通常是在稳定约束下写出的，也就是系统建立在稳定约束之上.但是每个拉氏量的广义坐标，因为彼此的独立性，本身只是一个与时间有关的函数.但是这不意味着拉氏量就必须显含时间，如果拉氏量不显含时间，固定系统在某一时刻的位形，也即广义坐标，同时给定广义速度不变，那么平移时间坐标，也就是说δL=0，这就是时间平移不变.

4.安培环路定理与留数定理

电磁学中安培环路定理的表述：磁感应强度B沿任何闭合线路L的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的 倍.即，其中电流I的正负规定如下；当穿过回路L的电流方向与回路L的环路方向服从右手法则时，I>O，反之，I<O.该定理与留数定理虽然是属于不同领域中的定理．但是它们在数学形式上有着极其相似的形式.

留数定理是适用于复数领域，而安培环路定理中的磁感应强度是矢量，因此不能直接将留数定理应用于电磁学中的安培环路定理，必须重新构造一个复数场才能应用.为此考虑一无限长截流导线周围空间的磁场分布，如图2所示.

                 图2  无限长截流导线周围空间的磁场分布 

设无限长载流导体中的电流为I，电流的方向指向纸面的外部．由电磁学知，空间的磁感应强度为                                                  （1）

其中 为极径.在直角坐标系中B可以写成分量形式，如下：

          ， ，           （2）

其中和分别为轴和轴的单位矢量.我们可以构造一个下面的复变量来代替（2）式.

                                                               （3）

函数和为满足柯希—— 里曼方程的解析函数．于是可以改写成如下形式：

                                         （4）

设回路中有个电流源通过.如图2所示,在C内除去点外的所有区域上是解析的.对于这个个点分别用回路包围，则按照按照柯希—— 里曼定理有：                        （5）

                     图3  回路C中有个电流源

而根据留数定理有                          (6)

又

        （7）

考虑到(5)式和（6)式，则可得                         （8）

和                                        （9）

以上是我们讨论回路中只有一个电流源的情况，下面我们将导出回路中包含有个电流源的情况： ，于是，即       （10）

到此为止，我们利用复变函数的方法推导出了电磁学中的安培环路定理，其方法比较简便，避免了一些教材中的复杂推导.从以上的推导过程我们可以看出．只要选择合适的复数来表示电磁学中的电学量和磁学量，便可以利用留数定理推导出电磁学中的一些有用结论.在前面的推导过程中，利用复数和留数定理得到方程(8)式和(9)式.(9)式即为安培环路定理.但方程(9)式我们还没有给出它们的物理意义.方程(8)式可以改写成=0.

对于二维情况表示的是一个“二维通量 ”，即表示通过长度的磁通量.因此方程(8)式可以看作磁学中的磁高斯定理，它表示通过环路C的总“二维磁通量”为零 这表明B线应该是闭合环线，这也就是我们通常所说的磁场为涡旋场.

对大自然的简洁认识方式有利于揭示物理世界深层次的秘密，杨振宁讲：“顿悟定格，至少要能读到一些切实国际热点、难点进展的好书.物理学的革命往往是从最简单、最根本的问题开始的.我们应该深究发生这些现象的原因，找出事物运动的内在规律.在每一个有创造性活动的领域里，一个人的爱憎，加上他的能力、脾气和机遇，决定了他的风格，而这种风格转过来又决定他的贡献.学一个东西不仅是要学到一些知识，学到技术上的特别的方法，更重要的是要对它的意义有一些了解，有一些欣赏，假如一个人在学了量子力学以后，他不觉得其中有的东西是重要的，有的东西是美妙的，有的东西是值得跟别人辩论得面红耳赤而不放手的，那么，他对这个东西并没有学进去，而只是学了很多可以参加考试得到好分数的知识，这不是真正做学问的精神，他没有把问题里面基本的价值掌握住.研究物理学好象看一幅很大的画.整个自然界的结构好比这幅画.看这一幅画可以有几种看法.适当的时候应当把这几种看法结合起来.一是必须在近距离仔细研究，因为这幅画画得很仔细，每一部分都不一样，因此你必须用放大镜仔细研究它的细部.一是你应当在远距离去看它，你可以看到近距离看不到的一种大范围的规律，还有中距离的看法，物理学需要近、中、远三种看法.当然，如果你能一下子就看出远距离所能看到的规律，这当然是大贡献，但是这种可能性很小，甚至不可能.所以必须从近距离开始，总之，知识的流向是由近到中、再到远的，而不是反过来.”

参考文献：

[1]杨子立.关于浮力的几点分析.绥化师专学报,2001（6）：99～100.

[2]胡毅,阮士军.关于浮力的几点讨论.郧阳师范高等专科学校学报, 2004(12),Vol.24.No.6:7～8.

[3]张晓森,肖玉林.一类浮力问题的规律性分析.中学物理,2011(5),Vol.29.No.5:16～17.

[4]郑金.弹性势能公式的妙用.新课程（中）,2011（8）：143.

[5]屈志红.浮力是否是保守力.锦州师范学院学报，第21卷第4期,2002（12）：67～68.

[12]照那木拉.关于浮力场概念的引入及其P的力能二重性.内蒙古民族大学学报（自然科学版），2002（6）:558～560.

[6]胡义嘎.浮力是保守力.赤峰学院学报（自然科学版），第28卷第11期（上），2012（11）:18.

[7]罗腊春.浮力与浮力做功.物理教师，第36卷第5期，2015（5）：96～97.

[8]胡义嘎.浮力势能.内蒙古师大学报自然科学（汉文）版,1999年12月,第28卷第4期（增刊）：31～33.

[9]胡义嘎.浮力势能及其四种表示方法.赤峰教育学院学报,2003年第5期：104,106.

[10]孙石,宋兆丽.水球浮力势能及弹射速度的计算.吉林师范大学学报（自然科学版）,2003（8）：108～109,113.

[11]高义华，鲁周超，李文川.阿基米德原理与浮力赝势能——在重力势能章节引入浮力之本质解释.物理，第50卷第6期，2021（6）：402～404.

[12]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程，高等教育出版社，2004年第二版，113～114.

[13]李学生.匀速圆周运动中的机械能守恒问题.论证与研究，2020年第8期：9.

[14]李学生.对一道困扰力学界五十多年习题的思考.百科论坛，2020年7月（上）:74～77.

[15]刘明成，刘文芳，赵文桐．弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109～111．

[16]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，2014（9）：119～120.

[17]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(6)：123～124．

[18]张翠．斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报，2016(9)：115～117.

[19]赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能守恒定律在各惯性系都成立.物理通报，2015(3):96～98.

Cauchy-Goursat integral fundamental theorem and the definition of conservative force

Abstract: Firstly, the fundamental theorem of Cauchy-Goursat integral in complex variable functions was reviewed. Then it was proved that all stable fields are conservative force fields. Finally, the Ampere's circuital theorem was derived from the residue theorem.

Key words: Fundamental theorem of Cauchy-Goursat integral; Ampere's circuital theorem; Conservative force; Stable field; Residue; Residue theorem.