6正确理解耗散力的功.docx

正确理解耗散力的功

耗散力是指对系统或物体作负功，而使之总机械能减少的力.非耗散力指能对系统或物体作正功，而且作功与路径有关的力.耗散力包括滑动摩擦力、滚动摩擦力和阻滞力等，本文以滑动摩擦力为例分析，其他耗散力类似，不再赘述.

1.摩擦力的起源

凹凸啮合说，是从15世纪至18世纪，科学家们提出的一种关于摩擦力本质的理论.啮合说认为摩擦是由相互接触的物体表面粗糙不平产生的.两个物体接触挤压时，接触面上很多凹凸部分就相互啮合.如果一个物体沿接触面滑动，两个接触面的凸起部分相互碰撞，产生断裂、磨损，就形成了对运动的阻碍.

粘附说，这是继凹凸啮合说之后的一种关于摩擦力本质的理论.最早由英国学者德萨左利厄斯于1734年提出.他认为两个表面抛得很光的金属，摩擦力会增大，可以用两个物体的表面充分接触时，它们的分子引力将增大来解释.上世纪以来，随着工业和技术的发展，对摩擦理论的研究进一步深入，到上世纪中期，诞生了新的摩擦粘附论.新的摩擦粘附论认为，两个相互接触的表面，无论做得多么光滑，从原子尺度看，还是粗糙的，有许多微小的凸起，把这样的两个表面放在一起，微凸起的顶部发生接触，微凸起之外的部分接触面间有10^-8m或更大的间隙.这样，接触的微凸起的顶部承受了接触面上的法向压力.如果这个压力很小，微凸起的顶部发生弹性形变；如果法向压力较大，超过某一数值（每个凸起上约千分之几牛顿），超过材料的弹性限度，微凸起的顶部便发生塑性形变，被压成平顶，这时互相接触的两个物体之间距离变小到分子（原子）引力发生作用的范围，于是，两个紧压着的接触面上产生了原子性黏合.这时，要使两个彼此接触的表面发生相对滑动，必须对其中的一个表面施加一个切向力，来克服分子（原子）间的引力，剪断实际接触区生成的接点，这就产生了摩擦.

人们通过不断试验和分析计算，发现上述两种理论提出的机理都能产生摩擦，其中粘附理论提的机理比啮合理论更普遍.但在不同的材料上，两种机理的表现有所偏向：金属材料，产生的摩擦以粘附作用为主；而对木材，产生的摩擦以啮合作用为主；实际上，关于摩擦力的本质，目前尚未有定论，仍在深入讨论中.在现代摩擦理论中，摩擦力产生的机理是极复杂的，是必须在分子尺度内才能加以说明的，由于分子力的电磁本性，摩擦力可以说是电磁相互作用而引起的.

美国著名物理教育家费曼曾经讲过：“滑动摩擦力是一个固体在另一个固体上滑动时产生的，摩擦力的起因十分复杂，从原子情况来看，相互接触的两个表面是不平整的，它们有许多接触点，原子好象粘接在一起，于是，当我们拉开一个正在滑动的物体时，原子啪的一下分开，随及发生振动.过去，把这种摩擦的机理想象得很简单，表面起因只不过布满凹凸不同的形状，摩擦起因于抬高滑动体越过突起部分，但是事实不可能是这样的，因为在这种情况中不会有能量损失，而实际是要消耗动力的.动力消耗的机理是当滑动体撞击突起部分时，突起部分发生形变，接着在两个物体中产生波和原子运动，过了一会儿，产生了热.”因此考虑滑动摩擦力做功产生内能的话，不能把物体看做质点，此时内部粒子的动能发生了变化，有时可以看作刚体（此时忽略物体的形变，即分子势能的变化）.

2.滑动摩擦力的作用效果

滑动摩擦力作用在物体上，可以产生多种效果：(1)改变物体的宏观机械运动状态；(2)使物体发生磨损；(3)使物体发生形变(此时分子势能发生变化，不能视为刚体)；(4)摩擦发声；(5)摩擦生热；(6)摩擦起电；(7)在物体的接触面上产生其他物理和化学变化.这些效果都可以同时产生.至于哪种效果的程度有多大，则由互相滑动摩擦的两个物体的物质结构和摩擦面上的物理状态等具体情况决定.物体产生上述各种效果所需的能量都来源于滑动摩擦力做的功.换句话说，滑动摩擦力做功所提供的能量可以转化成各种形式的能量，如平动动能、转动动能、形变能、弹性势能、声能、内能、电能… …等.滑动摩擦力做功应该是各种粒子做功之和的宏观效应.

关于摩擦力问题要分两种情况来分析，一种是物体间无滑动，即只有相对运动的趋势，没有相对运动，此时的摩擦力为静摩擦力.静摩擦力可根据物体处于平衡状态判断出摩擦力等于引起相对运动趋势的外力，另一种是物体间有滑动，即物体问有相对运动，此时的摩擦力为滑动摩擦力，其大小为 ，方向与相对运动方向相反.在研究静摩擦力时，摩擦力始终等于或小于最大静摩擦力，设被研究物体所受摩擦力为，则有.在小于最大静摩擦力的范围内，静摩擦力具有随着引起相对运动趋势的外力的大小和方向的变化而变化的特点，设引起相对运动趋势的外力为，则有，因此求解静摩擦力主要是求解物体引起相对运动趋势的外力的大小和方向.或者说静摩擦力在一对平衡力中是从动力，引起相对运动趋势的外力F是主动力.从动力随着主动力大小的变化而变化，方向始终与其相反.滑动摩擦的大小是不从动于其它力的，但是其方向从动于其它力.

摩擦力的方向总是与相对运动方向或者相对运动趋势相反，验证了任何物质都有保持原来状态的属性，类似于感应电动势的产生，是一种广义的惯性.

3.滑动摩擦力可以等效视为显含时间的力

对于相互摩擦的两个物体来说，质点的动能定理成立，但是机械能守恒定律不成立了，否则会造成佯谬，例如一滑块在外力的作用下，沿水平移动了S.设外力F等于滑块摩擦力f，则滑块做匀速直线运动，根据动能定理FS-fS=0，如果把滑块看做质点，滑块的动能不变，质点动能定理成立.

另一方面，由于摩擦力生热，滑块温度升高，内能增加.既然作用于滑块的外力做功与摩擦力做功相互抵消，那么滑块增加的内能从何而来?显然滑块增加的内能来自于摩擦力的功，滑块的机械能不守恒.此时滑块不能看做质点，质点不具有内能.如果此时非要把滑块看做质点，此时滑动摩擦力可以等效视为显含时间的力，因为滑动摩擦力的本质上也是电磁力，电磁力就是显含时间的力，这是一种数学处理手段.

在文献[1]例1中的严格讲两个小滑块不能视为质点，如果近似计算的话，可以把上面质量较小的滑块按照质点看待，下面的大滑块就不能视为质点、刚体了，必须考虑其内部粒子的运动问题.但是当相互摩擦的两个物体质量相差巨大时，如果研究对象仅仅是质量较小的物体的物体的话，较小的物体也可以视为质点，此时产生的热量必须看做被质量较大的物体（质量看做充分大）完全吸收，话句话说按照外场来处理，例如汽车在平直公路上行驶，汽车也可以视为质点，滑动摩擦力看做显含时间的外力，忽略滑动摩擦力对于汽车内能的影响，也可以利用质点动能定理，这只是一种简单化的处理方式.

梁昆淼老先生20世纪80年代在四川师范大学曾经指出滑动摩擦力做功与参照系存在不协调之处.例如有人提出这样一个实例—— 一个物体在两堵粗糙的墙之间匀速u下滑，滑动摩擦力恰好等于重力，在地面系看来机械能不守恒，但是如果从一个相对于地面匀速u降落的电梯系看来，滑动摩擦力不做功，重力也不做功，机械能守恒.有人认为滑动摩擦力做功必须是相互摩擦的两个物体之间的相对位移，因此在地面系和电梯系机械能都是不守恒的，这个问题可以参考文献[2～3].

笔者认为如果按照外场来处理，把小滑块看做质点，此时小滑块受到显含时间的力，在两个参照系机械能都不守恒.如果按照内场来处理，此时是一对滑动摩擦力的功，作用力与反作用力的功之和，具有伽利略变换的不变性，重力的功不具有伽利略变换的不变性，因此对于两个观察者而言滑块的机械能都不守恒.力学相对性原理成立.

1946年爱因斯坦在《自述》中写道:“自然定律应该表述为在连续坐标变换群下协变的方程.这个群替代了狭义相对论中的洛伦兹变换群，后者形成前者的一个子群.”“当然，这一要求自身作为导出物理的基本观念的出发点并不充分.⋯⋯广义相对性原理突出的启发式的意义在于它导致我们去寻求在广义协变形式下尽可能简单的方程组”.于是，他又提出了在广义协变形式下的“简单性”要求.著名相对论学者迈斯勒、索恩和惠勒在他们的名著《引力》一书中，这样来表述广义相对性原理和简单性要求:“‘物理量必需表述为(与坐标无关的)几何量，物理定律必需表述为这些几何量之间的几何关系.’这一物理观点，有时称为‘广义协变性原理’，遍及20世纪物理思维.

如果考虑到耗散力不是质量力和体积力，耗散力的功严格讲是对质点组的做功问题，与对单质点的功有区别，必须考虑它们之间的相互作用，通常说的滑动摩擦力的功是一个整体效应，也不能认为是刚体.文献[4]对于滑动摩擦力做功进行了详尽的分析，本文不再论述.

对于转化变换而言，功转变成热是自然方向；热转变成功是非自然方向.“熵增加原理”——自然界里的一切自发过程，总是沿着熵不减小的方向进行的.熵增加原理表明，自然过程中的不平衡态可以自动的趋向平衡态，而平衡态却不能自动的转化为非平衡态，也就是说，不同运动形式的转化在一个方向上存在着限制.例如机械能可以完全转化为热，而热却不可能自动的完全转化为机械能.笔者认为，之所以无法定义耗散力势能，是熵增原理的要求.

对于滚动摩擦力、非弹性碰撞中的弹力和流体的阻力等耗散力分析与滑动摩擦力类似不再说明，静摩擦力是保守力^[5]，与一般的保守力相同.

4.滑动摩擦力做功的特点

滑动摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关，如果考虑摩擦力做功的过程中与产生热能关系时，一个物体在另一个物体上相对滑动, 摩擦产生的热量“Q=f·s_相对”.此时是一对滑动摩擦力的功.

【特点】①只有滑动摩擦力才能产生内能,静摩擦力不会产生内能；②摩擦产生的内能等于滑动摩擦力与相对路程的乘积；③两物体速度相同时，发热产生的内能最大.

     【模型1】如图1所示，在光滑水平面上放一质量为M的长木板，质量为m的小物体从木板左侧以初速度v₀滑上木板，物体与木板之间的滑动摩擦系数为μ，求：⑴最终两者的速度

　　⑵系统发热产生的内能

〖解析〗⑴物体滑上木板后受摩擦阻力作用做减速运动，而木板受摩擦动力作用做加速运动，当两者速度相同时，无相对运动，滑动摩擦力消失，以后系统以共同的速度匀速运动

     根据动量定理：m v₀=（m+M）v

    解得：

    ⑵如图2所示，设物体对地的位移为s₁，木板对地的位移为s₂

    根据动能定理：

    对m：

    对M：  解得：

            =

可见：系统机械能的减少量全部转变成了内能.

发热损失的能量Q=μmgs_相对

【典案1】如图3所示，质量为M=1kg的平板车左端放一质量为m=2kg的物体与车的摩擦系数μ=0.5.开始车与物体同以v₀=6m/s的速度向右在光滑水平面上运动，并使车与墙发生正碰.设车与墙碰撞时间极短，且碰后车的速率与碰前相等，车身足够长.求：

⑴物体相对车的位移

⑵小车第一次与墙碰撞以后，小车运动的位移.

〖解析〗 (1)由于M＜m，且每次碰前它们的速率相等，且相对位移逐渐增大，发热产生的内能逐渐增加，机械能逐渐减小，所以在整个运动过程中，系统的总动量越来越小，但方向始终向右，最后小车一定停止于墙壁处.

系统的初动能全部转化为内能

因此：……①

解得物体相对于小车的总位移s₁=5.4m

(2)设小车每次与墙壁碰撞后,向左运动的最大位移分别为s₁、s₂、s₃……

则：小车运动的总路程为

S=2 S₁+2S₂+2S₃……②

由动能定理……③

得：……④

第二次碰撞后，设小车的速度为v₁

由动量定理得：……⑤

同理由④得：……⑥

……⑦

代入②得：S=2 S₁+2S₂+2S₃……

           =2〔〕=2×=4.05m

【典案2】如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M.现以地面为参照系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板.

（1）若已知A和B的初速度大小为v₀，求它们最后的速度大小和方向.

（2）若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的距离.

〖解析〗

方法1、用牛顿第二定律和运动学公式求解.

A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度，设此速度为v，经过时间为t，A、B间的滑动摩擦力为f.如图所示.

对A据牛顿第二定律和运动学公式有：

f=ma_A，   L₂=， v=-v₀+a_At；

对B据牛顿第二定律和运动学公式有：

f=Ma_B，  ，v=v₀-a_Bt；

由几何关系有：L₀+L₂=L；

由以上各式可求得它们最后的速度大小为

v＝. v₀，方向向右.

对A，向左运动的最大距离为.

方法2、用动能定理和动量定理求解.

A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度，设此速度为v，经过时间为t， A和B的初速度的大小为v₀，则据动量定理可得：

对A： ft= mv+mv₀             ①

对B：-ft=Mv－Mv₀          ②

解得：v＝v₀，方向向右

A在B板的右端时初速度向左，而到达B板左端时的末速度向右，可见A在运动过程中必须经历向左作减速运动直到速度为零，再向右作加速运动直到速度为v的两个阶段.设L₁为A开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程，L₂为A从速度为零增加到速度为v的过程中向右运动的路程，L₀为A从开始运动到刚好到达B的最左端的过程中B运动的路程，如图2所示，设A与B之间的滑动摩擦力为f，则由动能定理可得：

对于B ：    -fL₀=       ③

对于A ：    -fL₁= -              ④

            f（L₁-L₂）=          ⑤

由几何关系    L₀+L₂=L                 ⑥

由①、②、③、④、⑤、⑥联立求得L₁=.

方法3、用能量守恒定律和动量守恒定律求解.

A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度，设此速度为v， A和B的初速度的大小为v₀，则据动量守恒定律可得：

Mv₀－mv₀=（M+m）v

解得：v＝ v₀，方向向右

对系统的全过程，由能量守恒定律得：Q =fL=

对于A     fL₁=

由上述二式联立求得L₁=.

点评：从上述三种解法中，不难看出，解法三简洁明了，容易快速求出正确答案.因此我们在解决动力学问题时，应优先考虑使用能量守恒定律和动量守恒定律求解，其次是考虑使用动能定理和动量定理求解，最后才考虑使用牛顿第二定律和运动学公式求解.

点评：一个物体在另一个物体表面上相对运动时，发热产生的内能等于滑动摩擦力与两物体相对位移的积.

系统发热损失的能量Q=μmgS_相对=E_初-E_末(E_初和E_末分别为系统始末状态的机械能)

【体验1】质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度v₀冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止.求这过程弹簧的最大弹性势能E_P和全过程系统摩擦生热Q各多少？简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况.

〖解析〗全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：mv₀=(m+M)v；

第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能E_P恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以E_P是全过程摩擦生热Q的一半.又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔE_K=Q=2E_P

   而，  ∴

至于B相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：刚开始向右返回时刻，弹簧对B的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F也一定大于摩擦力f，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动.

【体验2】质量为M的足够长的木板，以速度在光滑的水平面上向左运动，一质量为m（）的小铁块以同样大小的速度从板的左端向右运动，最后二者以共同的速度做匀速运动.若它们之间的动摩擦因数为.求：

（1）小铁块向右运动的最大距离为多少？

（2）小铁块在木板上滑行多远？

〖解析〗小铁块滑上木板后，由于铁块相对木板向右滑动，铁块将受到向左的滑动摩擦力作用而减速，木板将受到向右的滑动摩擦力作用而减速.由于，所以当的速度减为零时，仍有向左的速度，相对于仍向右滑行，将在向左的滑动摩擦力作用下相对地面向左做初速为零的匀加速运动，木板继续向左减速，直到二者达到相同的速度，而后保持相对静止一起向左匀速运动.正确理解“小铁块向右运动的最大距离”和“在木板上滑行距离”的区别是解决问题的关键.

（答案：（1）；（2））

〖体验3〗一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，末画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切.现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h.稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L.每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）.已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N.这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦.求电动机的平均输出功率P.

〖解析〗电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能.摩擦生热可以由Q=f d求得，其中f是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d是这两个物体间相对滑动的路程.本题中设传送带速度一直是v，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动路程d和小货箱的实际位移s大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q=mv²/2.因此有W=mv²+mgh.又由已知，在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，所以有，vT=NL，带入后得到.

总之，功是一个过程量，滑动摩擦力对物体做功与路径有关.只要我们认真审题，善于发现问题，不断进行小结，就能发现滑动摩擦力做功规律，在规律下解题就会得心应手,随心所欲.

法国狄德罗认为：“质疑是迈向哲理的第一步.”帕斯卡尔也说过：“能嘲笑哲学，这才是真正的哲学思考.”物理学正是在未知领域探索的科学，物理学丰富的历史为这种思维艺术提供了丰富的范例.物理学家常常需要在缺乏合适概念的情况下思考问题，在不知道逻辑和数学如何发挥作用的情况下找到答案，并且发明适合描述未知世界的新概念和新语言.物理学思维的艺术就在于，我们需要在面对这类困难的情况下找到合适的方法获得答案，甚至在不知道答案为什么是正确的情况下得到正确的答案，然后再考虑如何完善打造出逻辑严密的理论体系.这是辉煌的智力成就，是高超的思维艺术.此外，正是在这种首先获得的少量可靠线索的指引之下，辨析概念和打造理论体系的努力才不会陷于概念的丛林之中而找不到正确的前进方向.这样才可能在还有许多问题没有被透彻理解的情况下就建立起可靠的理论体系，这也正是在物理学历史上多次发生的情况.

参考文献：

[2]龚劲涛.关于摩擦力几个问题的商榷.绵阳师范学院学报，第26卷第11期，2007（11），147～149，154.

[3]龚劲涛.对《滑动摩擦力做功问题再探》一文的质疑[J].物理教师，2007年第2期:27.